C’est un peu gênant que j’écris sur mes espaces préférés depuis près de trois ans et que je n’ai pas encore inclus de surfaces minimales. Mon conseiller Mike Wolf étudie les surfaces minimales. Bien que je ne me sois pas retrouvé dans ce domaine de recherche, j’ai appris quelques notions de base, et le sujet a parfois été abordé lorsque j’ai parlé de leur travail avec mes frères et sœurs universitaires. Donc, ce post est attendu depuis longtemps.

L’idée d’une surface minimale est que si vous prenez une courbe limite donnée, il y a une surface avec le moins d’aire qui a cette courbe limite autour du bord. (C’est ce qu’on appelle le problème de Plateau d’après un physicien nommé Joseph Plateau, pas parce que les surfaces ressemblent à des plateaux.) Les mathématiciens, et Plateau lui-même, aiment particulièrement utiliser les bulles de savon comme exemple. Si vous commencez avec un cadre métallique pour la bulle, le savon prendra généralement une forme qui minimise la surface du film avec cette limite de fil, comme le montre Henry Segerman dans cette vidéo.

Si vous souhaitez une introduction plus longue aux films de savon et aux surfaces minimales, consultez cette conférence que mon conseiller a donnée sur le sujet. Aujourd’hui, le terme surface minimale désigne toute surface qui minimise localement la surface. Le mot localement signifie que si nous regardons dans une petite région autour de n’importe quel point de la surface, il n’y a aucun moyen de réduire la zone dans cette petite région. Cela signifie d’abord que nous n’avons plus besoin d’avoir de limite à la surface. Mais il y a aussi des limites qui permettront à plusieurs surfaces minimisant localement la surface de les couvrir, comme le montre Segerman dans la vidéo.

Le caténoïde est l’une des premières surfaces minimales que vous rencontrerez dans un cours de géométrie différentielle. Si vous voulez en faire un à partir d’un film de savon, vous voudrez que votre limite soit constituée de deux cercles parallèles l’un à l’autre et séparés par une courte distance.

Le caténoïde est aussi la surface de révolution que l’on obtient en faisant tourner une courbe appelée caténaire autour d’un axe. (La caténaire est intéressante en soi, mais c’est une histoire pour un autre article de blog.)

Vous pouvez entendre un caténoïde appelé cylindre à taille car il entre vers le milieu comme la taille de nombreux humains. (J’aime imaginer de jeunes caténoïdes parler de la façon dont ils ont été tellement taillés le week-end dernier.)

En examinant le caténoïde, on peut commencer à remarquer une autre caractéristique des surfaces minimales. Tout d’abord, nous pouvons regarder ce qui arrive à un caténoïde de film de savon lorsque nous éloignons les deux cercles limites l’un de l’autre, comme dans cette vidéo.

Au début, la caténaire est à peine inclinée. C’est presque un cylindre ordinaire. Mais à mesure que les cercles bougent, la taille devient plus prononcée. (Finalement, il n’y a tout simplement pas assez de film de savon pour soutenir le caténoïde, donc il se casse et s’effondre pour remplir les deux cercles à la place, mais mathématiquement, nous allons nous concentrer sur le temps qu’il passe dans la conformation caténoïde.) Tout au long de la procédure, nous pouvons observer comment la courbure change. J’ai écrit sur la courbure dans le spectacle notes pour l’épisode de Jeanne Clelland de Mon Théorème préféré. Dans le caténoïde, nous examinerons les courbures de la courbe entre les deux cercles limites et la courbe autour de la taille du caténoïde.

Lorsque la courbe passant entre les cercles est plus proche d’être plate, la courbe de taille est plus proche d’être plate. Lorsque les cercles se sont écartés et que la courbe entre eux est plus courbée, la taille devient également plus courbée. Il arrive que ces deux courbes, l’une se penchant « vers le haut » à partir du point médian et l’autre se penchant « vers le bas », s’équilibrent toujours parfaitement. Ce n’est pas une coïncidence qui fonctionne juste pour le caténoïde. Il s’avère qu’une surface avec cette propriété, appelée courbure moyenne constante nulle, est une autre façon de caractériser des surfaces minimales. À certains endroits, ils peuvent être très courbés et à certains endroits plus légèrement incurvés, à condition que les courbures s’équilibrent parfaitement.

Le caténoïde lui-même est une belle forme symétrique, mais il a un autre superpuissance. Avec une seule coupe et une manipulation minutieuse, il peut se transformer en (partie de) un hélicoïde, une autre surface minimale, sans s’étirer ni s’écraser.

En 1776, le caténoïde et l’hélicoïde étaient les premières surfaces non triviales montrées minimales. (Un plan plat ou une partie de celui-ci est l’exemple trivial.) Au cours des siècles qui ont suivi, les mathématiciens ont découvert une ménagerie de structures minimales de plus en plus exotiques avec des auto-intersections fantaisistes, des sections répétitives ou des trous. Mais pour une simplicité élégante, vous ne pouvez pas battre le caténoïde.

En savoir plus sur mes espaces préférés:
L’Ensemble de Cantor
Ensembles de Cantor Gras
La Courbe Sinusoïdale du Topologue
La Tente Qui Fuit de Cantor
La Boucle d’Oreille Infinie
La Ligne à Deux Origines
La Maison à Deux Pièces
Le Plan de Fano
Le Tore
Le Trois-Tore
La Bande de Möbius
La Longue Ligne
Courbes de Remplissage d’Espace
Le Tamis Wallis
Deux Tores Collés le long d’une Fente
L’Ensemble Vide
Le Menger Éponge
La Somme Connectée de Quatre Liens Hopf
Anneaux Borroméens
Le Triangle de Sierpinski
Ordre Lexicographique sur le Carré Unitaire
La Métrique SNCF
L’Ensemble de Mandelbrot
La Crêpe de Fatou
La Pseudosphère
La Douady Lapin
La Sphère D’Homologie De Poincaré
Le Sommet De Kovalevskaya
Un Tore À 6 Trous
Le Plan Projectif Réel
La Sphère À 1 Dimension
Le Monstre Du Loch Ness
Le Flocon De Neige De Koch
Le Bicylindre