Det er litt pinlig at jeg har skrevet om mine favoritt mellomrom i nesten tre år og har ikke tatt med noen minimale overflater ennå. Min rådgiver Mike Wolf studerer minimale overflater. Selv om jeg ikke endte opp i det forskningsområdet, lærte jeg noen grunnleggende, og emnet kom opp noen ganger da jeg snakket med mine akademiske søsken om deres arbeid. Så dette innlegget er lang forfallen.ideen om en minimal overflate er at hvis du tar en gitt grensekurve, er det en overflate med minst område som har den grensekurven rundt kanten. (Dette kalles Plateau ‘ s problem etter en fysiker Som heter Joseph Plateau, ikke fordi overflatene ser ut som platåer.) Matematikere, Og Plateau selv, elsker spesielt å bruke såpebobler som et eksempel. Hvis du starter med en ledningsramme for boblen, vil såpen generelt anta en form som minimerer filmens område med den trådgrensen, Som Henry Segerman demonstrerer i denne videoen.

hvis du vil ha en lengre introduksjon til såpefilmer og minimale overflater, sjekk ut dette foredraget min rådgiver ga om emnet. I dag refererer begrepet minimal overflate til enhver overflate som lokalt minimerer området. Ordet lokalt betyr at hvis vi ser i en liten region rundt et hvilket som helst punkt på overflaten, er det ingen måte å redusere området i den lille regionen. Dette betyr først at vi ikke lenger trenger å ha en grense på overflaten. Men det er også grenser som vil tillate flere forskjellige lokalt områdeminimerende overflater å spenne dem, som Segerman demonstrerer i videoen.

catenoid er en av de første minimale overflatene du møter i et differensial geometri kurs. Hvis du vil lage en ut av såpefilm, vil du at grensen din skal være laget av to sirkler som er parallelle med hverandre og adskilt av kort avstand.

catenoiden er også overflaten av revolusjonen du får ved å rotere en kurve kalt kontaktledningen rundt en akse. (The catenary er interessant i seg selv, men det er en historie for et annet blogginnlegg.)

du kan høre en catenoid kalt en midjesylinder fordi den kommer inn mot midten som mange menneskers midjer. (Jeg liker å forestille seg unge catenoids snakker om hvordan de var såååå waisted sist helg.)

Ved Å Undersøke catenoid, kan vi begynne å legge merke til en annen egenskap ved minimale overflater. Først kan vi se på hva som skjer med en såpefilm catenoid når vi flytter de to grensesirklene vekk fra hverandre, som i denne videoen.

i begynnelsen er kontaktledningen bare knapt bøyd inn. Det er nesten en vanlig sylinder. Men når sirklene beveger seg, blir midjen mer uttalt. (Til slutt er det bare ikke nok såpefilm for å opprettholde catenoid, så det bryter og kollapser for å fylle de to sirklene i stedet, men matematisk skal vi fokusere på tiden den bruker i catenoidkonformasjonen.) Gjennom hele prosedyren kan vi se hvordan krumningen endres. Jeg skrev om krumning i showet notater For Jeanne Clellands episode Av My Favorite Theorem. I catenoid ser vi på kurvaturene i kurven som går mellom de to grensesirklene og kurven som går rundt katenoidens midje.

når kurven som går mellom sirklene er nærmere å være flat, er midjekurven nærmere å være flat. Når sirklene har flyttet fra hverandre og kurven mellom dem er curvier, blir midjen curvier også. Det skjer at disse to kurvene, en bøyer «opp «fra midtpunktet og en bøyer» ned», alltid balanserer hverandre perfekt. Det er ikke en tilfeldighet som bare skjer for catenoid. Det viser seg at en overflate med denne egenskapen, som kalles å ha konstant gjennomsnittlig krumning null, er en annen måte å karakterisere minimal overflater på. På noen steder kan de være veldig buede og på noen steder mer forsiktig buede, så lenge krumningene balanserer perfekt.

catenoid selv er en vakkert symmetrisk, nydelig form, men den har en annen supermakt. Med bare ett kutt og litt forsiktig manipulasjon, kan den forvandle seg til (del av) en helikoid, en annen minimal overflate, uten å strekke eller knuse.

i 1776 var katenoid og helikoid de første ikke-trivielle overflatene vist å være minimale. (Et flatt plan eller del derav er det trivielle eksemplet. I århundrene siden har matematikere oppdaget en menasjeri av stadig mer eksotiske minimale strukturer med fancy selvkryss, gjentatte seksjoner eller hull. Men for elegant enkelhet, kan du ikke slå catenoid.

Les om flere av mine favorittområder:
Cantor Set
Fat Cantor Sett
Topologens Sinus Kurve
Cantor Er Lekk Telt
Den Uendelige Ørering
Huset med To Opprinnelse
Fano Flyet
Torus
De Tre-Torus
Den Mö Stripe
Den Lange Linjen
Plassfyllingskurver
Wallis Sil
To Tori Limt langs En Slit
Det Tomme Settet
Den Menger svamp
den tilkoblede summen Av Fire Hopf Lenker
Borromean Ringer
sierpinski triangle
leksikografisk Bestilling På enheten torget
sncf Metriske
Mandelbrot set
Fatou pannekake
Pseudosphere
Douady Kanin
Den Poincaré Homologi Sfære
Den Kovalevskaya Toppen
En 6-Holed Torus
Den Virkelige Projektive Planet
Den 1-Dimensjonale Sfære
Loch Ness Monster
Koch Snøfnugg
Bicylinder