é um pouco embaraçoso que eu tenho escrito sobre os meus espaços favoritos por quase três anos e ainda não incluí nenhuma superfície mínima. O meu conselheiro Mike Wolf estuda superfícies mínimas. Embora eu não acabei naquela área de pesquisa, eu aprendi algumas noções básicas, e o tópico surgiu às vezes quando eu falei com meus irmãos acadêmicos sobre o seu trabalho. Então este post está atrasado há muito tempo.

a ideia de uma superfície mínima é que se você tomar uma dada curva de contorno, há uma superfície com a menor área que tem essa curva de contorno em torno da aresta. (Isto é chamado de problema de Plateau em homenagem a um físico chamado Joseph Plateau, não porque as superfícies se parecem com planaltos.) Matemáticos, e o próprio Plateau, particularmente gostam de usar bolhas de sabão como exemplo. Se você começar com uma moldura de fio para a bolha, o sabão geralmente assumirá uma forma que minimiza a área do filme com essa fronteira de fio, como Henry Segerman demonstra neste vídeo.se quiser uma introdução mais longa a telenovelas e superfícies mínimas, veja esta palestra que o meu conselheiro deu sobre o tema. Hoje, o termo superfície mínima refere-se a qualquer superfície que minimiza localmente a área. A palavra localmente significa que se olharmos em uma pequena região em torno de qualquer ponto da superfície, não há maneira de reduzir a área nessa pequena região. Isto significa, em primeiro lugar, que já não temos de ter uma fronteira na superfície. Mas também existem limites que permitirão várias áreas locais diferentes-minimizando superfícies para os cobrir, como Segerman demonstra no vídeo.

o catenóide é uma das primeiras superfícies mínimas que você vai encontrar em um curso de geometria diferencial. Se você quiser fazer um de telenovela, você vai querer que seu limite seja feito de dois círculos que são paralelos um ao outro e separados por uma curta distância.

o catenóide é também a superfície da revolução que você obtém girando uma curva chamada catenária em torno de um eixo. (O catenário é interessante por si só, mas isso é uma história para outro post no blog.)

Você pode ouvir um catenoid chamado de cintura cilindro porque ele vem em direção ao meio como muitos seres humanos’ cinturas. (Eu gosto de imaginar jovens catenóides falando sobre como eles foram suooo waisted no fim de semana passado.)

examinando o catenóide, podemos começar a notar outra característica das superfícies mínimas. Primeiro, podemos olhar para o que acontece com um catenóide de telenovela enquanto movemos os dois círculos de fronteira para longe um do outro, como neste vídeo.no início, a catenária mal se inclina. É quase um cilindro normal. Mas à medida que os círculos se movem, a cintura fica mais pronunciada. (Eventualmente, não há filme de sabão suficiente para sustentar o catenóide, então ele quebra e colapsa para encher os dois círculos em vez disso, mas matematicamente vamos focar no tempo que ele passa na conformação catenoide.) Ao longo de todo o procedimento, podemos observar como a curvatura muda. Escrevi sobre curvatura nas notas da série para o episódio de Jeanne Clelland do meu Teorema favorito. No catenóide, vamos ver as curvaturas da curva indo entre os dois círculos de fronteira e a curva indo em torno da cintura do catenóide.

Quando a curva entre os círculos está mais perto de ser plana, a curva da cintura está mais perto de ser plana. Quando os círculos se afastam e a curva entre eles é mais curvilínea, a cintura fica curvilínea também. Acontece que estas duas curvas, uma dobrando-se do ponto médio e outra dobrando-se para baixo, sempre equilibram-se perfeitamente. Não é coincidência que funcione para o catenóide. Acontece que uma superfície com esta propriedade, que é chamada de ter constante média curvatura zero, é outra maneira de caracterizar superfícies mínimas. Em alguns pontos, eles podem ser muito curvados e em alguns pontos mais delicadamente curvados, desde que as curvaturas se equilibrem perfeitamente.

O catenóide em si é uma forma belamente simétrica, adorável, mas tem outro superpoder. Com apenas um corte e alguma manipulação cuidadosa, ele pode se transformar em (parte de) um Helicóide, outra superfície mínima, sem alongamentos ou squishing.

em 1776, o catenóide e o Helicóide foram as primeiras superfícies não triviais mostradas como mínimas. (Um plano plano plano ou parte dele é o exemplo trivial. Nos séculos seguintes, os matemáticos descobriram uma coleção de estruturas mínimas cada vez mais exóticas com auto-intersecções extravagantes, seções repetitivas ou buracos. Mas para uma simplicidade elegante, não se pode vencer o catenóide.

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