私はほぼ三年間私のお気に入りのスペースについ 私の顧問のマイク-ウルフは最小限の表面を研究しています。 私はその研究分野で終わることはありませんでしたが、私はいくつかの基礎を学び、私は彼らの仕事について私の学術兄弟と話をしたときに話題 だから、この投稿は長年の懸案です。最小サーフェスの考え方は、与えられた境界曲線を取ると、エッジの周りにその境界曲線を持つ面積が最も小さいサーフェスがあるということです。

（これは、表面がプラトーのように見えるからではなく、ジョセフ-プラトーという名前の物理学者の後にプラトーの問題と呼ばれています。）数学者、およびプラトー自身は、特に例として石鹸の泡を使用するのが大好きです。 バブルのワイヤーフレームから始めると、Henry Segermanがこのビデオで示しているように、石鹸は一般的にそのワイヤー境界を持つフィルムの面積を最小化する形あなたは石鹸フィルムと最小限の表面に長い紹介をしたい場合は、私の顧問がトピックに与えたこの話をチェックしてください。

今日では、最小表面という用語は、局所的に面積を最小化する任意の表面を指す。 ローカルという言葉は、表面上の任意の点の周りの小さな領域を見ると、その小さな領域の面積を減らす方法がないことを意味します。 これは、表面に境界を持たなくてもよいことを最初に意味します。 しかし、Segermanがビデオで示しているように、複数の異なる局所的に領域最小化されたサーフェスをそれらにまたがることを可能にする境界もあります。

カテノイドは、微分幾何学のコースで最初に遭遇する最小曲面の1つです。 石鹸フィルムから1つを作成する場合は、境界が互いに平行で短い距離で区切られた2つの円で構成されるようにします。

カテノイドは、軸の周りにカテナリーと呼ばれる曲線を回転させることによって得られる回転の表面でもあります。 （カテナリーはそれ自体興味深いですが、それは別のブログ記事の話です。)

多くの人間の腰のように中央に向かって来るので、腰筒と呼ばれるカテノイドが聞こえるかもしれません。 （私は若いカテノイドが先週末にどのように腰を下ろしたかについて話しているのを想像したい。)

カテノイドを調べると、最小表面の別の特性に気づくことができます。 まず、このビデオのように、2つの境界円を互いに離して移動すると、石鹸フィルムのカテノイドに何が起こるかを見ることができます。

冒頭で、カテナリーはかろうじてお辞儀されています。 それはほとんど規則的なシリンダーである。 しかし、円が動くにつれて、腰はより顕著になります。 （最終的には、カテノイドを維持するのに十分な石鹸フィルムがないので、代わりに2つの円を埋めるために壊れて崩壊しますが、数学的にはカテノイド配座に費やす時間に焦点を当てます。）全体の手順を通して、曲率がどのように変化するかを見ることができます。 曲率については、Jeanne ClellandのMy Favorite Theoremのエピソードのショーノートに書いています。 カテノイドでは、2つの境界円の間を通る曲線と、カテノイドの腰の周りを通る曲線の曲率を見ていきます。

円の間を走る曲線が平らに近い場合、腰の曲線は平らに近い。 円が離れて移動し、それらの間の曲線が曲線になると、腰も曲線になります。 これらの2つの曲線、1つは中点から「上」に曲がり、1つは「下」に曲がり、常に互いに完全にバランスをとります。 それはちょうどカテノイドのために働くことを起こる偶然ではありません。 この特性を有する表面は、一定の平均曲率ゼロを有すると呼ばれ、最小表面を特徴付ける別の方法であることが判明した。 ある点では、曲率が完全にバランスをとる限り、それらは非常に曲がりくねっている場合もあり、ある点でより穏やかに曲がる。

カテノイド自体は美しく対称的で美しい形ですが、別の超大国を持っています。 ただ一つのカットといくつかの慎重な操作で、それはストレッチやスクイッシングすることなく、ヘリコイド、別の最小限の表面（の一部）に変換するこ

1776年に、カテノイドとヘリコイドは、最小であることが示された最初の非自明な表面でした。 （平坦な平面またはその一部は自明な例である。）以来、何世紀にもわたって、数学者は、派手な自己交差、繰り返しのセクション、または穴を持つますますエキゾチックな最小限の構造の動物園を発見し しかし優雅な簡易性のために、catenoidを打つことができない。私のお気に入りのスペースの詳細について読む

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