Es ist etwas peinlich, dass ich seit fast drei Jahren über meine Lieblingsräume schreibe und noch keine minimalen Oberflächen aufgenommen habe. Mein Berater Mike Wolf studiert minimale Oberflächen. Obwohl ich nicht in diesem Forschungsgebiet gelandet bin, habe ich einige Grundlagen gelernt, und das Thema kam manchmal auf, als ich mit meinen akademischen Geschwistern über ihre Arbeit sprach. Dieser Post ist also längst überfällig.

Die Idee einer minimalen Oberfläche ist, dass, wenn Sie eine gegebene Grenzkurve nehmen, es eine Oberfläche mit der geringsten Fläche gibt, die diese Grenzkurve um die Kante herum hat. (Dies wird Plateaus Problem nach einem Physiker namens Joseph Plateau genannt, nicht weil die Oberflächen wie Plateaus aussehen.) Mathematiker und Plateau selbst lieben es besonders, Seifenblasen als Beispiel zu verwenden. Wenn Sie mit einem Drahtrahmen für die Blase beginnen, nimmt die Seife im Allgemeinen eine Form an, die den Bereich des Films mit dieser Drahtgrenze minimiert, wie Henry Segerman in diesem Video demonstriert.

Wenn Sie eine längere Einführung in Seifenfilme und minimale Oberflächen wünschen, lesen Sie diesen Vortrag, den mein Berater zu diesem Thema gehalten hat. Heute bezieht sich der Begriff minimale Oberfläche auf jede Oberfläche, die lokal die Fläche minimiert. Das Wort lokal bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, die Fläche in dieser kleinen Region zu reduzieren, wenn wir in einer kleinen Region um einen beliebigen Punkt auf der Oberfläche schauen. Dies bedeutet zunächst, dass wir keine Grenze mehr an der Oberfläche haben müssen. Aber es gibt auch Grenzen, die es mehreren verschiedenen lokal flächenminimierenden Oberflächen ermöglichen, sie zu überspannen, wie Segerman im Video demonstriert.

Das Catenoid ist eine der ersten minimalen Oberflächen, die Sie in einem Differentialgeometriekurs finden. Wenn Sie einen aus Seifenfilm machen möchten, möchten Sie, dass Ihre Grenze aus zwei Kreisen besteht, die parallel zueinander sind und durch eine kurze Entfernung voneinander getrennt sind.

Das Catenoid ist auch die Oberfläche der Revolution, die Sie erhalten, wenn Sie eine Kurve namens Oberleitung um eine Achse drehen. (Die Oberleitung ist an und für sich interessant, aber das ist eine Geschichte für einen anderen Blogbeitrag.)

Sie können ein Catenoid hören, das als taillierter Zylinder bezeichnet wird, weil es wie die Taillen vieler Menschen in die Mitte kommt. (Ich stelle mir gerne junge Catenoids vor, die darüber reden, wie sie letztes Wochenende soooo tailliert waren.)

Wenn wir das Catenoid untersuchen, können wir ein weiteres Merkmal minimaler Oberflächen feststellen. Zuerst können wir uns ansehen, was mit einem Seifenfilm-Catenoid passiert, wenn wir die beiden Grenzkreise wie in diesem Video voneinander wegbewegen.

Zu Beginn ist die Oberleitung gerade noch eingeknickt. Es ist fast ein normaler Zylinder. Aber wenn sich die Kreise bewegen, wird die Taille ausgeprägter. (Schließlich gibt es einfach nicht genug Seifenfilm, um das Catenoid zu erhalten, also bricht es und kollabiert, um stattdessen die beiden Kreise zu füllen, aber mathematisch werden wir uns auf die Zeit konzentrieren, die es in der Catenoid-Konformation verbringt.) Während des gesamten Verfahrens können wir beobachten, wie sich die Krümmung ändert. Ich schrieb über Krümmung in den Shownotizen für Jeanne Clellands Episode von My Favorite Theorem. Im Catenoid betrachten wir die Krümmungen der Kurve zwischen den beiden Grenzkreisen und der Kurve um die Taille des Catenoids.

Wenn die Kurve, die zwischen den Kreisen verläuft, näher an der Ebene liegt, ist die Taillenkurve näher an der Ebene. Wenn sich die Kreise auseinander bewegt haben und die Kurve zwischen ihnen kurviger ist, wird auch die Taille kurviger. Es kommt vor, dass diese beiden Kurven, eine Biegung „nach oben“ vom Mittelpunkt und eine Biegung „nach unten“, sich immer perfekt ausbalancieren. Das ist kein Zufall, der zufällig für das Catenoid funktioniert. Es stellt sich heraus, dass eine Oberfläche mit dieser Eigenschaft, die als konstante mittlere Krümmung Null bezeichnet wird, eine andere Möglichkeit ist, minimale Oberflächen zu charakterisieren. An einigen Stellen können sie sehr kurvig und an einigen Stellen sanfter gebogen sein, solange sich die Krümmungen perfekt ausbalancieren.

Das Catenoid selbst ist eine wunderschön symmetrische, schöne Form, aber es hat eine andere Supermacht. Mit nur einem Schnitt und sorgfältiger Manipulation kann es sich in ein Helicoid verwandeln, eine andere minimale Oberfläche, ohne sich zu dehnen oder zu quetschen.

1776 waren das Catenoid und das Helicoid die ersten nicht-trivialen Oberflächen, von denen gezeigt wurde, dass sie minimal sind. (Eine flache Ebene oder ein Teil davon ist das triviale Beispiel. In den Jahrhunderten seitdem haben Mathematiker eine Menagerie zunehmend exotischer minimaler Strukturen mit ausgefallenen Selbstkreuzungen, sich wiederholenden Abschnitten oder Löchern entdeckt. Aber für elegante Einfachheit können Sie das Catenoid nicht schlagen.

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