det är lite pinsamt att jag har skrivit om mina favoritutrymmen i nästan tre år och har inte inkluderat några minimala ytor än. Min rådgivare Mike Wolf studerar minimala ytor. Även om jag inte hamnade i det forskningsområdet lärde jag mig några grunder, och ämnet kom upp ibland när jag pratade med mina akademiska syskon om deras arbete. Så det här inlägget är länge försenat.

tanken med en minimal yta är att om du tar en given gränskurva finns det en yta med minst område som har den gränskurvan runt kanten. (Detta kallas platåens problem efter en fysiker som heter Joseph Plateau, inte för att ytorna ser ut som platåer.) Matematiker, och platå själv, särskilt älskar att använda såpbubblor som ett exempel. Om du börjar med en trådram för bubblan, kommer tvålen i allmänhet att anta en form som minimerar filmens yta med den trådgränsen, som Henry Segerman demonstrerar i den här videon.

Om du vill ha en längre introduktion till tvålfilmer och minimala ytor, kolla in det här samtalet som min rådgivare gav om ämnet. Idag avser termen minimal yta någon yta som lokalt minimerar området. Ordet lokalt betyder att om vi tittar i en liten region runt någon punkt på ytan, finns det inget sätt att minska området i den lilla regionen. Det betyder först att vi inte längre behöver ha en gräns på ytan. Men det finns också gränser som gör det möjligt för flera olika lokala ytor att minimera dem, vilket Segerman visar i videon.

catenoiden är en av de första minimala ytorna du kommer att stöta på i en differentiell geometrikurs. Om du vill göra en av tvålfilm vill du att din gräns ska vara gjord av två cirklar som är parallella med varandra och åtskilda av ett kort avstånd.

catenoiden är också ytan på revolutionen du får genom att rotera en kurva som kallas kontaktledningen runt en axel. (Kedjan är intressant i sig, men det är en historia för ett annat blogginlägg.)

Du kan höra en catenoid som kallas en midjecylinder eftersom den kommer in mot mitten som många människors midjor. (Jag gillar att föreställa mig unga catenoider som pratar om hur de var sååå midjade förra helgen.)

När vi undersöker catenoiden kan vi börja märka en annan egenskap hos minimala ytor. Först kan vi titta på vad som händer med en tvålfilmkatenoid när vi flyttar de två gränscirklarna bort från varandra, som i den här videon.

i början är kontaktledningen bara knappt böjd in. Det är nästan en vanlig cylinder. Men när cirklarna rör sig blir midjan mer uttalad. (Så småningom finns det inte tillräckligt med tvålfilm för att upprätthålla catenoiden, så det bryter och kollapsar för att fylla de två cirklarna istället, men matematiskt kommer vi att fokusera på den tid det spenderar i catenoidkonformationen.) Under hela proceduren kan vi se hur krökningen förändras. Jag skrev om krökning i shownoterna för Jeanne Clellands avsnitt av My Favorite Theorem. I catenoiden tittar vi på kurvaturerna i kurvan som går mellan de två gränscirklarna och kurvan som går runt catenoidens midja.

när kurvan som löper mellan cirklarna är närmare att vara platt, är midjekurvan närmare att vara platt. När cirklarna har flyttat isär och kurvan mellan dem är kurvigare, midjan blir kurvigare samt. Det händer att dessa två kurvor, en böjning” upp ”från mittpunkten och en böjning” ner”, alltid balanserar varandra perfekt. Det är inte en slump som bara råkar arbeta för catenoid. Det visar sig att en yta med den här egenskapen, som kallas med konstant medelkurvatur noll, är ett annat sätt att karakterisera minimala ytor. På vissa ställen kan de vara väldigt kurviga och på vissa ställen mer försiktigt böjda, så länge krökningarna balanserar perfekt.

själva catenoiden är en vackert symmetrisk, härlig form, men den har en annan superkraft. Med bara ett snitt och en noggrann manipulation kan den förvandlas till (en del av) en helicoid, en annan minimal yta, utan att sträcka eller klämma.

år 1776 var catenoid och helicoid de första icke-triviala ytorna visade sig vara minimala. (Ett platt plan eller del därav är det triviala exemplet. Under århundradena sedan har matematiker upptäckt ett menageri av alltmer exotiska minimala strukturer med snygga självkorsningar, upprepande sektioner eller hål. Men för elegant enkelhet kan du inte slå catenoid.

Läs mer om mina favoritplatser:
Cantor Set
Fat Cantor set
Topologen Sine kurva
Cantor s Leaky tält
Den oändliga Örhänge
linjen med två Ursprung
huset med två rum
Fano Planet
Torus
De tre-Torus
Den m Mikhaibius Strip
Den långa raden
Rymdfyllningskurvor
Wallis Sieve
Två Tori limmade längs en slits
Den tomma uppsättningen
Den långa raden
Rymdfyllningskurvor
Wallis Sieve
Två Tori limmade längs en slits
Den tomma uppsättningen
Den Menger svamp
den anslutna summan av fyra Hopf länkar
Borromean ringar
Den Sierpinski triangeln
lexikografisk beställning på enheten kvadrat
SNCF metriska
Mandelbrot set
Fatou pannkaka
pseudosfären
Den Douady Kanin
Den Poincar Brasiliens homologi sfär
Den Kovalevskaya toppen
en 6-hålad Torus
Den verkliga projektiva Planet
Den 1-dimensionella sfären
Den Loch Ness Monster
Den Koch snöflinga
Den Bicylinder