este oarecum jenant că scriu despre spațiile mele preferate de aproape trei ani și nu am inclus încă suprafețe minime. Consilierul meu Mike Wolf studiază suprafețe minime. Deși nu am ajuns în acea zonă de cercetare, am învățat câteva elemente de bază, iar subiectul a apărut uneori când am vorbit cu frații mei academici despre munca lor. Deci, acest post este așteptat de mult.

ideea unei suprafețe minime este că dacă luați o curbă limită dată, există o suprafață cu cea mai mică suprafață care are acea curbă limită în jurul marginii. (Aceasta se numește problema Plateau după un fizician pe nume Joseph Plateau, nu pentru că suprafețele arată ca platouri.) Matematicienilor și Plateau însuși, le place în special să folosească bule de săpun ca exemplu. Dacă începeți cu un cadru de sârmă pentru bule, săpunul va lua, în general, o formă care minimizează zona filmului cu acea limită de sârmă, așa cum demonstrează Henry Segerman în acest videoclip.

Dacă doriți o introducere mai lungă a filmelor de săpun și a suprafețelor minime, consultați această discuție pe care consilierul meu a dat-o pe această temă. Astăzi, termenul suprafață minimă se referă la orice suprafață care minimizează local zona. Cuvântul local înseamnă că dacă privim într-o regiune mică în jurul oricărui punct de pe suprafață, nu există nicio modalitate de a reduce zona din acea regiune mică. Aceasta înseamnă mai întâi că nu mai trebuie să avem o limită la suprafață. Dar există, de asemenea, limite care vor permite mai multe suprafețe diferite de minimizare a zonei locale pentru a le întinde, așa cum demonstrează Segerman în videoclip.

catenoidul este una dintre primele suprafețe minime pe care le veți întâlni într-un curs de geometrie diferențială. Dacă doriți să faceți unul din film de săpun, veți dori ca limita dvs. să fie formată din două cercuri paralele între ele și separate de o distanță scurtă.

catenoidul este, de asemenea, suprafața Revoluției pe care o obțineți rotind o curbă numită catenară în jurul unei axe. (Catenarul este interesant în sine, dar aceasta este o poveste pentru o altă postare pe blog.)

este posibil să auziți un catenoid numit cilindru cu talie, deoarece vine spre mijloc ca talia multor oameni. (Îmi place să-mi imaginez tineri catenoizi vorbind despre modul în care au fost atât de waisted weekendul trecut.)

examinând catenoidul, putem începe să observăm o altă caracteristică a suprafețelor minime. În primul rând, ne putem uita la ce se întâmplă cu un catenoid de film de săpun în timp ce îndepărtăm cele două cercuri de graniță unul de celălalt, ca în acest videoclip.

la început, catenarul abia se înclină. Este aproape un cilindru obișnuit. Dar, pe măsură ce cercurile se mișcă, talia devine mai pronunțată. (În cele din urmă, nu există suficient film de săpun pentru a susține catenoidul, așa că se rupe și se prăbușește pentru a umple cele două cercuri, dar matematic ne vom concentra asupra timpului petrecut în conformația catenoidului.) De-a lungul întregii proceduri, putem urmări cum se schimbă curbura. Am scris despre curbură în notele de spectacol pentru episodul lui Jeanne Clelland din teorema mea preferată. În catenoid, ne vom uita la curburile curbei care merge între cele două cercuri limită și curba care merge în jurul taliei catenoidului.

când curba care rulează între cercuri este mai aproape de a fi plană, curba taliei este mai aproape de a fi plană. Când cercurile s-au îndepărtat și curba dintre ele este mai curbată, talia devine și mai curbată. Se întâmplă ca aceste două curbe, una îndoită „în sus” de la punctul de mijloc și una îndoită „în jos”, să se echilibreze întotdeauna perfect. Asta nu e o coincidență că doar se întâmplă să lucreze pentru catenoid. Se pare că o suprafață cu această proprietate, care se numește curbură medie constantă zero, este un alt mod de a caracteriza suprafețele minime. În unele locuri, ele pot fi foarte curbate și în unele locuri mai ușor curbate, atâta timp cât curburile se echilibrează perfect.catenoidul în sine este o formă frumos simetrică, frumoasă, dar are o altă superputere. Cu o singură tăietură și o manipulare atentă, se poate transforma într-o parte a unui helicoid, o altă suprafață minimă, fără întindere sau strivire.

în 1776, catenoidul și helicoidul au fost primele suprafețe netriviale care s-au dovedit a fi minime. (Un plan plat sau o porțiune a acestuia este exemplul banal.) În secolele de atunci, matematicienii au descoperit o menajerie de structuri minime din ce în ce mai exotice, cu auto-intersecții fanteziste, secțiuni repetate sau găuri. Dar pentru o simplitate elegantă, nu puteți bate catenoidul.

Citeste mai multe despre spatiile mele preferate:Cantor set Fat Cantor seturi curba sinus Topolog lui Cantor cort neetanșe Cercel infinit linia cu două origini casa cu două camere planul Fano Torus Three-Tor banda m Unktibius linia lungă curbele de umplere spațiu Wallis sită două Tori lipite de-a lungul unei fante setul gol Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor three-Tor Menger burete
suma conectat de patru link-uri Hopf
Borromean inele
triunghiul Sierpinski
ordonarea lexicografic pe unitatea pătrat
metrica SNCF
Mandelbrot Set
Fatou Pancake
pseudosfera
Douady Iepure
sfera omologie Poincar Inqu
partea de sus Kovalevskaya
Un Torus cu 6 găuri
planul proiectiv Real
sfera 1-dimensională
monstrul din Loch Ness
fulgul de zăpadă Koch
Bicilindrul