to trochę żenujące, że piszę o moich ulubionych przestrzeniach od prawie trzech lat i nie uwzględniłem jeszcze żadnych minimalnych powierzchni. Mój doradca Mike Wolf bada Minimalne powierzchnie. Chociaż nie skończyłem w tym obszarze badawczym, nauczyłem się kilku podstaw, a temat pojawiał się czasami, gdy rozmawiałem z moim rodzeństwem akademickim o ich pracy. Więc ten post jest już dawno spóźniony.

idea minimalnej powierzchni polega na tym, że jeśli weźmiemy daną krzywą graniczną, istnieje powierzchnia o najmniejszym obszarze, która ma tę krzywą graniczną wokół krawędzi. (Nazywa się to problemem Plateau od fizyka o nazwisku Joseph Plateau, a nie dlatego, że powierzchnie wyglądają jak płaskowyże.) Matematycy, a także sam Plateau, szczególnie uwielbiają używać baniek mydlanych jako przykładu. Jeśli zaczniesz od ramki z drutu dla bańki, mydło na ogół przyjmie kształt, który minimalizuje obszar filmu z tą granicą drutu,jak pokazuje Henry Segerman w tym filmie.

Jeśli chcesz mieć dłuższe wprowadzenie do filmów mydlanych i minimalnych powierzchni, sprawdź ten wykład, który wygłosił mój doradca na ten temat. Obecnie termin minimalna powierzchnia odnosi się do każdej powierzchni, która lokalnie minimalizuje powierzchnię. Słowo lokalnie oznacza, że jeśli spojrzymy na mały obszar wokół dowolnego punktu na powierzchni, nie ma możliwości zmniejszenia obszaru w tym małym obszarze. Oznacza to najpierw, że nie musimy już mieć granicy na powierzchni. Ale istnieją również granice, które pozwolą na rozciągnięcie wielu różnych powierzchni minimalizujących obszar lokalny, jak pokazuje Segerman na filmie.

katenoida jest jedną z pierwszych minimalnych powierzchni, które napotkasz na kursie geometrii różniczkowej. Jeśli chcesz zrobić jeden z folii mydlanej, będziesz chciał, aby granica była złożona z dwóch równoległych do siebie okręgów oddzielonych niewielką odległością.

katenoid jest również powierzchnią obrotu, którą otrzymujesz obracając krzywą zwaną katenoid wokół osi. (Sieć trakcyjna jest interesująca sama w sobie, ale to historia dla innego wpisu na blogu.)

możesz usłyszeć katenoidę zwaną cylindrem w talii, ponieważ wchodzi ona w środek, jak wiele talii ludzkich. (Lubię wyobrażać sobie Młode kotenoidy mówiące o tym, jak były soooo zwężone w ostatni weekend.)

badając katenoidę, możemy zacząć dostrzegać kolejną cechę minimalnych powierzchni. Po pierwsze, możemy przyjrzeć się temu, co dzieje się z katenoidem z filmu mydlanego, gdy odsuwamy od siebie dwa okręgi graniczne, jak w tym filmie.

na poczatku katenary ledwo sie kłaniaja. To prawie zwykły cylinder. Ale gdy kręgi się poruszają, talia staje się bardziej wyraźna. (Ostatecznie nie ma wystarczającej ilości folii mydlanej do podtrzymania katenoidu, więc pęka i zapada się, wypełniając dwa okręgi, ale matematycznie skupimy się na czasie, jaki spędza w konformacji katenoidu.) Podczas całej procedury możemy obserwować, jak zmienia się krzywizna. O krzywiźnie pisałem w notatkach do odcinka mojego ulubionego twierdzenia Jeanne Clelland. W katenoidzie przyjrzymy się krzywiznom krzywej przechodzącej między dwoma kołami granicznymi a krzywą wokół talii katenoidy.

gdy krzywa biegnąca między kołami jest bliżej płaska, krzywa talii jest bliżej płaska. Gdy kręgi się od siebie i Krzywa między nimi jest krzywizna, talia staje się krzywizna, jak również. Zdarza się, że te dwie krzywe, jedna zginająca się „w górę” od środka i jedna zginająca się „w dół”, zawsze doskonale się balansują. To nie przypadek, że działa na katenoidy. Okazuje się, że powierzchnia o tej własności, która nazywa się stałą średnią krzywizną zero, jest innym sposobem scharakteryzowania minimalnych powierzchni. W niektórych miejscach mogą być bardzo kręte, a w niektórych bardziej delikatnie zakrzywione, o ile krzywizny idealnie się równoważą.

sam kotenoid jest pięknie symetryczną, uroczą formą, ale ma jeszcze jedną supermoc. Za pomocą jednego cięcia i starannej manipulacji może przekształcić się w (część) helikoid, inną minimalną powierzchnię, bez rozciągania lub zgniatania.

w 1776 roku katenoid i helikoid były pierwszymi powierzchniami nietrywialnymi, które okazały się minimalne. (Płaska płaszczyzna lub jej część jest banalnym przykładem.) W ciągu następnych stuleci matematycy odkryli menażerię coraz bardziej egzotycznych minimalnych struktur z fantazyjnymi samo-przecięciami, powtarzającymi się sekcjami lub dziurami. Ale dla eleganckiej prostoty nie można pokonać katenoidy.

Przeczytaj więcej o moich ulubionych miejscach:
The Cantor Set
Fat Cantor Sets
The Topologist ’ s Sinus Curve
The Infinite Earring
The Line with Two Origins
The House with Two Rooms
The Fano Plane
the Torus
The Three-Torus
The Möbius Strip
The Long Line
space-Filling Curves
The Wallis Sito
Two Tori sklejone wzdłuż szczeliny
The Empty Set
The Menger sponge
połączona suma czterech ogniw Hopfa
pierścienie Borromejskie
trójkąt Sierpińskiego
uporządkowanie leksykograficzne na Placu jednostkowym
Metryka SNCF
zbiór Mandelbrota
naleśnik fatou
pseudosfera
douady Rabbit
The Poincaré Homology Sphere
The Kovalevskaya Top
a 6-Holed Torus
The Real Projective Plane
The 1-Dimensional Sphere
The Loch Ness Monster
The Koch Snowflake
The Bicylinder