Het is enigszins gênant dat ik al bijna drie jaar over mijn favoriete spaties schrijf en nog geen minimale oppervlakken heb opgenomen. Mijn adviseur Mike Wolf bestudeert minimale oppervlakken. Hoewel ik niet in dat onderzoeksgebied belandde, leerde ik een aantal basics, en het onderwerp kwam soms ter sprake toen ik met mijn academische broers en zussen over hun werk sprak. Dus deze post is veel te laat.

het idee van een minimale oppervlakte is dat als je een gegeven grenscurve neemt, er een oppervlak is met de kleinste oppervlakte die die grenscurve rond de rand heeft. (Dit wordt plateaus probleem genoemd naar een natuurkundige genaamd Joseph Plateau, niet omdat de oppervlakken op plateaus lijken. Wiskundigen, en Plateau zelf, houden er vooral van om zeepbellen als voorbeeld te gebruiken. Als je begint met een draadframe voor de zeepbel, zal de zeep over het algemeen een vorm aannemen die het oppervlak van de film met die draadgrens minimaliseert, zoals Henry Segerman in deze video laat zien.

Als u een langere introductie wilt over soapfilms en minimale oppervlakken, bekijk dan deze talk die mijn adviseur gaf over het onderwerp. Tegenwoordig verwijst de term minimaal oppervlak naar elk oppervlak dat lokaal gebied minimaliseert. Het woord lokaal betekent dat als we kijken in een klein gebied rond een punt op het oppervlak, er geen manier is om het gebied in dat kleine gebied te verminderen. Dit betekent ten eerste dat we niet langer een grens aan het oppervlak hoeven te hebben. Maar er zijn ook grenzen die het mogelijk maken meerdere verschillende lokaal gebied-minimaliseren oppervlakken om ze te overspannen, zoals Segerman laat zien in de video.

De catenoïde is een van de eerste minimale oppervlakken die je tegenkomt in een cursus differentiaalmeetkunde. Als je er een wilt maken van zeepfilm, wil je dat je grens wordt gemaakt van twee cirkels die evenwijdig aan elkaar zijn en gescheiden door een korte afstand.

De catenoïde is ook het oppervlak van de omwenteling die je krijgt door een kromme die de catenary wordt genoemd om een as te draaien. (De bovenleiding is op zichzelf interessant, maar dat is een verhaal voor een andere blogpost.)

u kunt een catenoid horen die een getailleerde cilinder wordt genoemd omdat deze naar het midden komt zoals veel mensen’ taille’. (Ik stel me graag jonge catenoïden praten over hoe ze waren zoooo taille afgelopen weekend.)

wanneer we de catenoïde onderzoeken, kunnen we een ander kenmerk van minimale oppervlakken opmerken. Eerst kunnen we kijken naar wat er gebeurt met een zeepfilm catenoïde terwijl we de twee grenscirkels van elkaar af bewegen, zoals in deze video.

aan het begin is de bovenleiding nauwelijks ingebogen. Het is bijna een gewone cilinder. Maar als de cirkels bewegen, wordt de taille meer uitgesproken. (Uiteindelijk is er gewoon niet genoeg zeepfilm om de catenoïde te ondersteunen, dus het breekt en instort om de twee cirkels te vullen in plaats daarvan, maar wiskundig gaan we ons richten op de tijd die het doorbrengt in de catenoïde Bouw. Gedurende de hele procedure kunnen we kijken hoe de kromming verandert. Ik schreef over kromming in de show notities voor Jeanne Clelland ‘ s aflevering van mijn favoriete stelling. In de catenoïde kijken we naar de kromming van de kromming tussen de twee grenscirkels en de kromming rond de taille van de catenoïde.

wanneer de kromme die tussen de cirkels loopt dichter vlak is, is de taillekromme dichter vlak. Wanneer de cirkels uit elkaar zijn bewogen en de curve ertussen is curvier, wordt de taille curvier ook. Het gebeurt dat deze twee krommen, één die “omhoog” buigt vanuit het middelpunt en één die “omlaag” buigt, elkaar altijd perfect uitbalanceren. Dat is geen toeval dat toevallig voor de catenoid werkt. Het blijkt dat een oppervlak met deze eigenschap, die constante gemiddelde kromming nul wordt genoemd, een andere manier is om minimale oppervlakken te karakteriseren. Op sommige plekken kunnen ze erg bochtig zijn en op sommige plekken zachter gekromd, zolang de krommingen perfect in balans zijn.

De catenoïde zelf is een prachtig symmetrische, mooie vorm, maar heeft een andere superkracht. Met slechts één snee en wat zorgvuldige manipulatie kan het veranderen in (een deel van) een helicoid, een ander minimaal oppervlak, zonder uit te rekken of te knijpen.

In 1776 waren de catenoïde en helicoïde de eerste niet-triviale oppervlakken waarvan werd aangetoond dat ze minimaal waren. (Een vlak vlak of gedeelte daarvan is het triviale voorbeeld. In de eeuwen daarna hebben wiskundigen een menagerie ontdekt van steeds exotische minimale structuren met fancy zelf-kruispunten, herhalende secties of gaten. Maar voor elegante eenvoud kun je de catenoid niet verslaan.

Lees meer over mijn favoriete spaties:
De Cantor Set
het Vet Cantor Sets
De Topoloog de Sinus Curve
Cantor ‘ s Lekkende Tent
De Oneindige Earring
De Lijn met Twee Oorsprong
Het Huis met Twee Kamers
Het Fano Vlak
De Torus
De Drie-Torus
De Möbius Strip
De Lange Lijn
Ruimte-Vulling Curves
Wallis Zeef
Twee Tori Gelijmd langs een Spleet
De Lege verzameling
De Menger Sponge
De Aangesloten Som van Vier Hopf Links
Borromeaanse Ringen
De Sierpinski-Driehoek
Lexicographic Bestellen op de Eenheid Plein
Het SNCF-Metrische
De Mandelbrot Set
Fatou ‘ s Pannenkoek
De Pseudosphere
De Douady Konijn
De Poincaré-Homologiebol
de top van de Kovalevskaya
Een Torus met 6 Gaten
Het reële Projectieve vlak
De eendimensionale Bol
Het monster van Loch Ness
De Koch-Sneeuwvlok
De Bicylinder