E ‘un po’ imbarazzante che ho scritto circa i miei spazi preferiti per quasi tre anni e non hanno incluso alcuna superficie minima ancora. Il mio consulente Mike Wolf studia superfici minime. Anche se non sono finito in quell’area di ricerca, ho imparato alcune nozioni di base e l’argomento è emerso a volte quando ho parlato con i miei fratelli accademici del loro lavoro. Quindi questo post è atteso da tempo.

L’idea di una superficie minima è che se si prende una determinata curva di confine, c’è una superficie con un’area minima che ha quella curva di confine attorno al bordo. (Questo è chiamato problema di Plateau dopo un fisico di nome Joseph Plateau, non perché le superfici sembrano altipiani. I matematici, e lo stesso Plateau, amano particolarmente usare le bolle di sapone come esempio. Se inizi con una cornice metallica per la bolla, il sapone assumerà generalmente una forma che minimizza l’area del film con quel limite di filo, come dimostra Henry Segerman in questo video.

Se desideri un’introduzione più lunga ai film di sapone e alle superfici minime, dai un’occhiata a questo discorso che il mio consulente ha dato sull’argomento. Oggi, il termine superficie minima si riferisce a qualsiasi superficie che minimizza localmente l’area. La parola localmente significa che se guardiamo in una piccola regione intorno a qualsiasi punto della superficie, non c’è modo di ridurre l’area in quella piccola regione. Ciò significa innanzitutto che non dobbiamo più avere un confine sulla superficie. Ma ci sono anche dei confini che consentiranno a più superfici locali di minimizzare l’area di coprirle, come dimostra Segerman nel video.

La catenoide è una delle prime superfici minime che incontrerai in un corso di geometria differenziale. Se vuoi farne uno con la pellicola di sapone, vorrai che il tuo confine sia fatto di due cerchi paralleli tra loro e separati da una breve distanza.

La catenoide è anche la superficie di rivoluzione che si ottiene ruotando una curva chiamata catenaria attorno ad un asse. (La catenaria è interessante di per sé, ma questa è una storia per un altro post sul blog.)

Potresti sentire un catenoide chiamato cilindro a vita perché entra verso il centro come la vita di molti umani. (Mi piace immaginare i giovani catenoidi che parlano di come sono stati veramente a vita lo scorso fine settimana.)

Esaminando la catenoide, possiamo iniziare a notare un’altra caratteristica delle superfici minime. Per prima cosa, possiamo guardare cosa succede a una pellicola di sapone catenoide mentre spostiamo i due cerchi di confine l’uno dall’altro, come in questo video.

All’inizio, la catenaria è appena piegata. È quasi un cilindro normale. Ma mentre i cerchi si muovono, la vita diventa più pronunciata. (Alla fine, non c’è abbastanza film di sapone per sostenere la catenoide, quindi si rompe e collassa per riempire i due cerchi, ma matematicamente ci concentreremo sul tempo che trascorre nella conformazione catenoide.) Durante l’intera procedura, possiamo osservare come cambia la curvatura. Ho scritto sulla curvatura nelle note dello spettacolo per l’episodio di Jeanne Clelland del mio teorema preferito. Nel catenoide, vedremo le curvature della curva che va tra i due cerchi di confine e la curva che va intorno alla vita del catenoide.

Quando la curva che corre tra i cerchi è più vicina ad essere piatta, la curva della vita è più vicina ad essere piatta. Quando i cerchi si sono allontanati e la curva tra di loro è curvier, la vita diventa curvier pure. Succede che queste due curve, una che si piega” verso l’alto “dal punto medio e una che si piega” verso il basso”, si bilanciano sempre perfettamente. Non è una coincidenza che funzioni per la catenoide. Si scopre che una superficie con questa proprietà, che è chiamata con curvatura media costante zero, è un altro modo per caratterizzare superfici minime. In alcuni punti, possono essere molto sinuosi e in alcuni punti più delicatamente curvi, purché le curvature si bilancino perfettamente.

La catenoide stessa è una forma meravigliosamente simmetrica e adorabile, ma ha un’altra superpotenza. Con un solo taglio e qualche attenta manipolazione, può trasformarsi in (parte di) un elicoide, un’altra superficie minima, senza stiramento o schiacciamento.

Nel 1776, il catenoide e l’elicoide furono le prime superfici non banali dimostrate minime. (Un piano piatto o parte di esso è l’esempio banale.) Nei secoli successivi, i matematici hanno scoperto un serraglio di strutture minime sempre più esotiche con auto-intersezioni fantasiose, sezioni ripetute o buchi. Ma per una semplicità elegante, non puoi battere il catenoide.

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