kissé kínos, hogy majdnem három éve írok a kedvenc tereimről, és még nem tartalmaztam minimális felületeket. Tanácsadóm, Mike Wolf minimális felületeket tanulmányoz. Bár nem kerültem ebbe a kutatási területbe, megtanultam néhány alapot, és a téma néha akkor merült fel, amikor akadémiai testvéreimmel beszéltem a munkájukról. Tehát ez a poszt már régóta esedékes.

a minimális felület elképzelése az, hogy ha egy adott határgörbét veszünk, akkor van egy olyan felület, amelynek legkisebb területe van, amelynek a határgörbéje az él körül van. (Ezt hívják fennsík problémájának egy Joseph Plateau nevű fizikus után, nem azért, mert a felületek fennsíkoknak tűnnek.) Matematikusok, és Plateau maga, különösen szeretnek használni szappanbuborékok példaként. Ha a buborék drótkeretével kezdi, a szappan általában olyan alakot vesz fel, amely minimalizálja a film területét azzal a huzalhatárral, amint azt Henry Segerman bemutatja ebben a videóban.

ha hosszabb bevezetést szeretne a szappanfilmekhez és a minimális felületekhez, nézze meg ezt a beszélgetést, amelyet tanácsadóm adott a témában. Ma a minimális felület kifejezés minden olyan felületre utal, amely lokálisan minimalizálja a területet. A lokális szó azt jelenti, hogy ha egy kis területet vizsgálunk a felszín bármely pontja körül, akkor nincs mód arra, hogy csökkentsük a területet abban a kis régióban. Ez először azt jelenti, hogy már nem kell határnak lennie a felszínen. De vannak olyan határok is, amelyek lehetővé teszik, hogy több különböző, helyi területet minimalizáló felület átfogja őket, amint azt Segerman a videóban bemutatja.

a catenoid az egyik első minimális felület, amellyel a differenciálgeometria során találkozhat. Ha szappanfilmből szeretne készíteni egyet, akkor azt szeretné, ha a határ két körből állna, amelyek párhuzamosak egymással, és rövid távolságra vannak egymástól.

a catenoid a forradalom felülete is, amelyet a felsővezetéknek nevezett görbe tengely körüli forgatásával kapunk. (A felsővezeték önmagában is érdekes, de ez egy másik blogbejegyzés története.)

lehet hallani egy catenoid nevű derekú henger, mert jön a közepe felé, mint sok ember derekát. (Szeretem elképzelni, hogy a fiatal catenoidok arról beszélnek, hogy a múlt hétvégén mennyire derekúak voltak.)

a catenoidot vizsgálva elkezdhetjük észrevenni a minimális felületek egy másik jellemzőjét. Első, megnézhetjük, mi történik egy szappanfilm-katenoiddal, amikor elmozdítjuk a két határkört egymástól, mint ebben a videóban.

az elején a felsővezeték alig hajlik be. Ez majdnem egy normál henger. De ahogy a körök mozognak, a derék egyre hangsúlyosabbá válik. (Végül egyszerűen nincs elég szappanfilm a catenoid fenntartásához, ezért eltörik és összeomlik, hogy kitöltse a két kört, de matematikailag arra az időre fogunk összpontosítani, amelyet a catenoid konformációban tölt.) Az egész eljárás során megfigyelhetjük, hogyan változik a görbület. Írtam görbület a show jegyzetek Jeanne Clelland epizód kedvenc tétel. A catenoidban megnézzük a görbe görbületeit, amelyek a két határkör között haladnak, és a görbe a catenoid dereka körül.

amikor a körök között futó görbe közelebb van a laposhoz, a derékgörbe közelebb van a laposhoz. Amikor a körök elmozdultak egymástól, és a köztük lévő görbe görbültebb,a derék is görbül. Előfordul, hogy ez a két görbe, az egyik a középponttól “felfelé”, a másik pedig “lefelé” hajlik, mindig tökéletesen kiegyensúlyozza egymást. Ez nem véletlen, hogy csak a catenoidnak dolgozik. Kiderül, hogy az ezzel a tulajdonsággal rendelkező felület, amelyet állandó átlagos görbületi nullának neveznek, egy másik módja a minimális felületek jellemzésének. Egyes foltokban nagyon görbék lehetnek, egyes foltokban pedig finoman íveltek, mindaddig, amíg a görbületek tökéletesen kiegyensúlyozottak.

maga a catenoid egy gyönyörűen szimmetrikus, szép forma, de van egy másik szuperhatalma. Csak egy vágással és némi gondos manipulációval átalakulhat egy helikoid (egy része), egy másik minimális felület, nyújtás vagy squishing nélkül.

1776-ban a catenoid és a helicoid voltak az első nem triviális felületek, amelyekről kimutatták, hogy minimálisak. (A sík sík vagy annak egy része a triviális példa.) Az azóta eltelt évszázadok során a matematikusok felfedezték az egyre egzotikusabb minimális struktúrák menagerie-jét, díszes önkereszteződésekkel, ismétlődő szakaszokkal vagy lyukakkal. De az elegáns egyszerűség érdekében nem lehet legyőzni a catenoidot.

További információ a kedvenc helyeimről:
a Cantor Set
Fat Cantor készletek
A Topológus szinusz görbe
Cantor szivárgó sátor
A végtelen fülbevaló
A vonal két eredete
A ház két szoba
A Fano sík
a tórusz
A három-tórusz
A M Xhambius szalag
a hosszú sor
tér-kitöltő görbék
A Wallis Szita
két Tori ragasztott mentén egy rés
Az üres készlet
a tórusz
A Menger sponge
a kapcsolódó összege négy Hopf linkek
Borromean Gyűrűk
a Sierpinski háromszög
lexikográfiai rendezés az egység négyzet
az SNCF metrikus
a Mandelbrot Set
Fatou palacsinta
A pseudosphere
A Douady Nyúl
A Poincar homogén szféra
A Kovalevskaya felső
A 6-lyukú tórusz
Az igazi projektív sík
Az 1-dimenziós gömb
A Loch Ness-i szörny
A Koch hópehely
A Bicylinder