on hieman noloa, että olen kirjoittanut suosikkitiloistani lähes kolme vuotta, enkä ole vielä ottanut mukaan minimaalisia pintoja. Neuvonantajani Mike Wolf tutkii minimaalisia pintoja. Vaikka en päätynytkään sille tutkimusalueelle, opin joitakin perusasioita, ja aihe nousi esiin joskus, kun juttelin akateemisten sisarusteni kanssa heidän työstään. Joten tämä viesti on myöhässä.

ajatus minimaalisesta pinnasta on, että jos otetaan tietty rajakäyrä, on olemassa pinta, jonka pinta-ala on pienin, jolla on kyseinen rajakäyrä reunan ympärillä. (Tätä kutsutaan Plateaun ongelmaksi fyysikko Joseph Plateaun mukaan, ei siksi, että pinnat näyttävät tasankoilta.) Matemaatikot, ja Plateau itse, erityisesti rakastavat käyttää saippuakuplia esimerkkinä. Jos aloitat kuplan rautalankakehyksestä, saippua saa yleensä muodon, joka minimoi elokuvan alueen tuolla johtorajalla, kuten Henry Segerman havainnollistaa tässä videossa.

Jos haluat pitemmän johdannon saippuaelokuviin ja minimaalisiin pintoihin, tsekkaa tämä puhe, jonka neuvonantajani piti aiheesta. Nykyään termillä minimipinta tarkoitetaan mitä tahansa pintaa, joka paikallisesti minimoi pinta-alan. Sana paikallisesti tarkoittaa, että jos katsomme pientä aluetta jonkin pinnan pisteen ympärillä, ei ole mitään keinoa pienentää aluetta tuolla pienellä alueella. Tämä tarkoittaa ensinnäkin sitä, että meillä ei enää tarvitse olla rajaa pinnalla. Mutta on myös rajoja, jotka mahdollistavat useiden erilaisten paikallisesti pinta-alaa minimoivien pintojen ulottamisen niihin, kuten Segerman havainnollistaa videolla.

catenoidi on ensimmäisiä differentiaaligeometriassa kohtaamiasi minimipintoja. Jos haluat tehdä yhden saippuafilmistä, haluat rajasi muodostuvan kahdesta ympyrästä, jotka ovat yhdensuuntaisia ja lyhyen matkan päässä toisistaan.

katenoidi on myös vallankumouksen pinta, jonka saat pyörittämällä kaarta, jota kutsutaan ajojohtimeksi akselin ympäri. (Catenary on mielenkiintoinen sinänsä, mutta se on tarina toiseen blogikirjoitukseen.)

saatat kuulla kaiteen nimeltä waisted lieriö, koska se tulee keskelle kuten monet ihmisten waistit. (Haluan kuvitella nuorten catenoids puhua siitä, miten ne olivat nioo waisted viime viikonloppuna.)

tutkimalla katenoidia, voimme alkaa huomata toisen ominaisuuden minimaalisille pinnoille. Ensin voimme katsoa, mitä tapahtuu saippuaelokuvalle catenoid, kun liikutamme kahta reunaympyrää poispäin toisistaan, kuten tässä videossa.

alussa kaitaliina taipuu juuri ja juuri. Se on melkein tavallinen sylinteri. Mutta kun ympyrät liikkuvat, vyötärö korostuu. (Lopulta, ei vain ole tarpeeksi saippuafilmiä ylläpitämään catenoid, joten se hajoaa ja romahtaa täyttämällä kaksi ympyrää sen sijaan, mutta matemaattisesti aiomme keskittyä aikaan, jonka se viettää catenoid konformaatio.) Koko menettelyn ajan voimme seurata, miten kaarevuus muuttuu. Kirjoitin kaarevuudesta Jeanne Clellandin Suosikkilauseeni jaksoon. Catenoidissa tarkastellaan kahden rajaympyrän väliin menevän käyrän ja catenoidin vyötäröä kiertävän käyrän kaaria.

kun ympyröiden välissä kulkeva käyrä on lähempänä tasaista, vyötärökäyrä on lähempänä tasaista. Kun ympyrät ovat liikkuneet erilleen ja niiden välinen käyrä on kurvikkaampi, myös vyötärö muuttuu kurvikkaammaksi. Se tapahtuu niin, että nämä kaksi käyrää, yksi taivutus ” ylös ”alkaen midpoint Ja yksi taivutus” alas, ” aina täydellisesti tasapainottaa toisiaan. Se ei ole sattuma, joka sattuu toimimaan catenoidilla. On käynyt ilmi, että pinta, jolla on tämä ominaisuus, jota kutsutaan vakiolla keskimääräisellä kaarevuudella nolla, on toinen tapa luonnehtia minimipintoja. Joissakin kohdissa ne voivat olla hyvin kurvikkaita ja joissakin kohdissa loivammin kaartuvia, kunhan kurvit tasapainottuvat täydellisesti.

itse catenoidi on kauniisti symmetrinen, ihana muoto, mutta sillä on toinenkin supervoima. Vain yksi leikkaus ja joitakin huolellista manipulointia, se voi muuttua (osa) helicoid, toinen minimaalinen pinta, venyttämättä tai litistämällä.

vuonna 1776 katenoidi ja helikoidi olivat ensimmäiset nontriviaalipinnat, jotka oli osoitettu minimaalisiksi. (Tasainen taso tai sen osa on triviaali esimerkki.) Sen jälkeisinä vuosisatoina matemaatikot ovat löytäneet ihmisarmeijan, joka koostuu yhä eksoottisemmista minimaalisista rakennelmista, joissa on hienoja itsensä risteymiä, toistuvia osia tai reikiä. Mutta elegantin yksinkertaisuuden vuoksi et voi voittaa catenoidia.

Lue lisää lempipaikoistani:
The Cantor Set
The Fat Cantor Set
The Topologist ’ s Sine Curve
The Infinite Earring
the Line with Two Origins
the House with Two Rooms
The Fano Plane
the Torus
The Three-Torus
The Möbius Strip
The Long Line
Space-Filling Curves
The Wallis Sieve
Two Tori liimattu pitkin rakoa
the Empty Set
The Menger sponge
the connected sum of four Hopfin links
Borromean Rings
the Sierpinskin kolmio
lexicographic ordering on the unit Square
the SNCF metric
the Mandelbrot Set
Fatoun pannukakku
the pseudosphere
The Douady Rabbit
The Poincaré Homology Sphere
The Kovalevskaja Top
A 6-Holed Torus
the Real Projective Plane
the 1-Dimensional Sphere
the Loch Nessin Monster
the Koch Snowflake
The Bicylinder