Es algo vergonzoso que haya estado escribiendo sobre mis espacios favoritos durante casi tres años y no haya incluido ninguna superficie mínima todavía. Mi asesor Mike Wolf estudia superficies mínimas. Aunque no terminé en esa área de investigación, aprendí algunos conceptos básicos, y el tema surgió a veces cuando hablé con mis hermanos académicos sobre su trabajo. Por lo tanto, este post está pendiente desde hace mucho tiempo.

La idea de una superficie mínima es que si se toma una curva de contorno dada, hay una superficie con el área menor que tiene esa curva de contorno alrededor del borde. (Esto se llama el problema de Plateau por un físico llamado Joseph Plateau, no porque las superficies parezcan mesetas. A los matemáticos, y al propio Plateau, les encanta usar pompas de jabón como ejemplo. Si comienza con un marco de alambre para la burbuja, el jabón generalmente asumirá una forma que minimiza el área de la película con ese límite de alambre, como Henry Segerman demuestra en este video.

Si desea una introducción más larga a las películas de jabón y las superficies mínimas, eche un vistazo a esta charla que mi asesor dio sobre el tema. Hoy en día, el término superficie mínima se refiere a cualquier superficie que minimice localmente el área. La palabra localmente significa que si miramos en una pequeña región alrededor de cualquier punto de la superficie, no hay forma de reducir el área en esa pequeña región. Esto significa primero que ya no tenemos que tener un límite en la superficie. Pero también hay límites que permitirán abarcar múltiples superficies locales que minimizan el área, como Segerman demuestra en el video.

El catenoide es una de las primeras superficies mínimas que encontrará en un curso de geometría diferencial. Si quieres hacer uno de película de jabón, querrás que tu límite esté hecho de dos círculos paralelos entre sí y separados por una corta distancia.

El catenoide es también la superficie de revolución que se obtiene girando una curva llamada catenaria alrededor de un eje. (La catenaria es interesante en sí misma, pero esa es una historia para otra publicación de blog.)

Puedes escuchar un catenoide llamado cilindro de cintura porque viene hacia el centro como la cintura de muchos humanos. (Me gusta imaginar a los jóvenes catenoides hablando de cómo estaban tan entallados el fin de semana pasado.)

Examinando el catenoide, podemos empezar a notar otra característica de las superficies mínimas. En primer lugar, podemos ver lo que le sucede a una película de jabón catenoide a medida que alejamos los dos círculos limítrofes uno del otro, como en este video.

Al principio, la catenaria apenas está inclinada. Es casi un cilindro normal. Pero a medida que los círculos se mueven, la cintura se vuelve más pronunciada. (Eventualmente, simplemente no hay suficiente película de jabón para sostener el catenoide, por lo que se rompe y colapsa para llenar los dos círculos, pero matemáticamente nos centraremos en el tiempo que pasa en la conformación catenoide.) A lo largo de todo el procedimiento, podemos observar cómo cambia la curvatura. Escribí sobre la curvatura en las notas para el episodio de Jeanne Clelland de Mi Teorema favorito. En el catenoide, veremos las curvaturas de la curva que va entre los dos círculos limítrofes y la curva que va alrededor de la cintura del catenoide.

Cuando la curva que corre entre los círculos está más cerca de ser plana, la curva de la cintura está más cerca de ser plana. Cuando los círculos se han apartado y la curva que hay entre ellos es de curvas, la cintura se presenta curvas así. Sucede que estas dos curvas, una curva «hacia arriba» desde el punto medio y otra curva «hacia abajo», siempre se equilibran perfectamente entre sí. No es una coincidencia que funcione para el catenoide. Resulta que una superficie con esta propiedad, que se llama tener curvatura media constante cero, es otra forma de caracterizar superficies mínimas. En algunos puntos, pueden ser muy curvados y en otros más suavemente curvados, siempre y cuando las curvaturas se equilibren perfectamente.

El catenoide en sí es una forma bellamente simétrica y encantadora, pero tiene otro superpoder. Con un solo corte y una manipulación cuidadosa, puede transformarse en (parte de) un helicoide, otra superficie mínima, sin estirarse ni aplastarse.

En 1776, el catenoide y el helicoide fueron las primeras superficies no triviales que se mostraron mínimas. (Un plano plano o parte de él es el ejemplo trivial. En los siglos transcurridos desde entonces, los matemáticos han descubierto una colección de estructuras mínimas cada vez más exóticas con intersecciones de fantasía, secciones repetitivas o agujeros. Pero para una simplicidad elegante, no se puede superar el catenoide.

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