det er noget pinligt, at jeg har skrevet om mine yndlingsrum i næsten tre år og ikke har inkluderet nogen minimale overflader endnu. Min rådgiver Mike ulv studerer minimale overflader. Selvom jeg ikke endte i det forskningsområde, lærte jeg nogle grundlæggende, og emnet kom nogle gange op, da jeg talte med mine akademiske søskende om deres arbejde. Så dette indlæg er længe forsinket.
ideen om en minimal overflade er, at hvis du tager en given grænsekurve, er der en overflade med mindst areal, der har den grænsekurve rundt om kanten. (Dette kaldes plateaus problem efter en fysiker ved navn Joseph Plateau, ikke fordi overfladerne ligner plateauer.) Matematikere og Plateau selv elsker især at bruge sæbebobler som et eksempel. Hvis du starter med en trådramme til boblen, vil sæben generelt antage en form, der minimerer filmens område med den trådgrænse, som Henry Segerman demonstrerer i denne video.
Hvis du gerne vil have en længere introduktion til sæbefilm og minimale overflader, så tjek denne tale, som min rådgiver gav om emnet. I dag henviser udtrykket minimal overflade til enhver overflade, der lokalt minimerer området. Ordet lokalt betyder, at hvis vi ser i en lille region omkring et hvilket som helst punkt på overfladen, er der ingen måde at reducere området i den lille region. Det betyder først, at vi ikke længere behøver at have en grænse på overfladen. Men der er også grænser, der gør det muligt for flere forskellige lokalt minimerede overflader at spænde over dem, som Segerman demonstrerer i videoen.
catenoid er en af de første minimale overflader, du vil støde på i et differentieret geometri kursus. Hvis du vil lave en ud af sæbefilm, vil du have din grænse lavet af to cirkler, der er parallelle med hinanden og adskilt af en kort afstand.
catenoiden er også overfladen af revolution, du får ved at dreje en kurve kaldet køreledningen omkring en akse. (Køreledningen er interessant i sig selv, men det er en historie for et andet blogindlæg.)
Du kan høre en katenoid kaldet en taljecylinder, fordi den kommer ind mod midten som mange menneskers talje. (Jeg kan godt lide at forestille mig, at unge catenoids talte om, hvordan de var såååå højt i sidste uge.)
Når vi undersøger katenoiden, kan vi begynde at bemærke et andet kendetegn ved minimale overflader. Først, Vi kan se på, hvad der sker med en sæbefilmkatenoid, når vi flytter de to grænsekredse væk fra hinanden, som i denne video.
i begyndelsen er køreledningen lige knap bøjet ind. Det er næsten en almindelig cylinder. Men når cirklerne bevæger sig, bliver taljen mere udtalt. (Til sidst er der bare ikke nok sæbefilm til at opretholde catenoiden, så den bryder og kollapser for at fylde de to cirkler i stedet, men matematisk vil vi fokusere på den tid, den bruger i catenoidkonformationen.) Gennem hele proceduren kan vi se, hvordan krumningen ændres. Jeg skrev om krumning i Vis noter til Jeanne Clelland episode af min favorit sætning. I catenoid vil vi se på kurvens krumninger, der går mellem de to grænsekredse og kurven, der går rundt om catenoidens talje.
når kurven, der løber mellem cirklerne, er tættere på at være flad, er taljekurven tættere på at være flad. Når cirklerne er flyttet fra hinanden, og kurven mellem dem er curvier, bliver taljen også curvier. Det sker, at disse to kurver, en bøjning “op” fra midtpunktet og en bøjning “ned”, altid balancerer hinanden perfekt. Det er ikke en tilfældighed, der bare sker for at arbejde for catenoid. Det viser sig, at en overflade med denne egenskab, der kaldes at have konstant gennemsnitlig krumning nul, er en anden måde at karakterisere minimale overflader på. På nogle steder kan de være meget kurvede og på nogle steder mere forsigtigt buede, så længe krumningerne balancerer perfekt.
selve katenoiden er en smukt symmetrisk, dejlig form, men den har en anden supermagt. Med kun et snit og en vis omhyggelig manipulation kan det omdannes til (en del af) en helicoid, en anden minimal overflade uden at strække eller klemme.
i 1776 var catenoid og helicoid de første nontriviale overflader vist sig at være minimal. (Et fladt plan eller en del deraf er det trivielle eksempel.) I århundreder siden har matematikere opdaget et menageri af stadig mere eksotiske minimale strukturer med smarte selvkryds, gentagne sektioner eller huller. Men for elegant enkelhed kan du ikke slå catenoiden.
Læs om flere af mine yndlingsrum:
Kantorsæt
fedt Kantor sæt
Topologens sinuskurve
Cantors utætte telt
Den uendelige Ørering
linjen med to oprindelser
huset med to værelser
Fano-flyet
Torus
De Tre-Torus
m-Kurvebåndet
Den lange linje
Pladsfyldningskurver
vægens sigte
To Tori limet langs en slids
det tomme sæt
det tomme sæt
Menger svamp
den tilsluttede sum af fire Hopf links
Borromean ringe
Sierpinski-trekanten
leksikografisk bestilling på enhedens firkant
SNCF-metrikken
Mandelbrot-sættet
Fatou ‘ s pandekage
pseudosfæren
douady Kanin
Poincar-Homologisfæren
Kovalevskaya-toppen
En 6-hulet Torus
det virkelige projektive plan
Den 1-dimensionelle sfære
Loch Ness-monsteret
Koch-snefnuget
Bicylinderen
