je To poněkud trapné, že jsem psal o mých oblíbených míst za téměř tři roky a nebyly zahrnuty žádné minimální plochy. Můj poradce Mike Wolf studuje minimální povrchy. I když jsem neskončil v této oblasti výzkumu, naučil jsem se některé základy, a téma přišlo někdy, když jsem mluvil se svými akademickými sourozenci o jejich práci. Takže tento příspěvek je dávno zpožděn.

myšlenka, minimální plocha je, že pokud budete mít dané hranice křivky, je plocha s nejmenší oblast, která má, že hraniční křivka kolem okraje. (Tomu se říká Plateau ‚ s problem po fyzikovi jménem Joseph Plateau, ne proto, že povrchy vypadají jako plošiny.) Matematici, a Plateau sám, obzvláště rádi používají mýdlové bubliny jako příklad. Pokud začnete s drát rám pro bublina, mýdlo se obecně předpokládat, že tvar, který minimalizuje plochu filmu se, že drát hranice, jako Henry ani nešlo ukazuje v tomto videu.

Pokud byste chtěli delší úvod do mýdlových filmů a minimálních povrchů, podívejte se na tuto přednášku, kterou můj poradce přednesl na toto téma. Dnes termín minimální povrch označuje jakýkoli povrch, který lokálně minimalizuje plochu. Slovo lokálně znamená, že pokud se podíváme do malé oblasti kolem jakéhokoli bodu na povrchu, neexistuje způsob, jak zmenšit oblast v této malé oblasti. To nejprve znamená, že již nemusíme mít hranici na povrchu. Existují však také hranice, které jim umožní překlenout více různých povrchů minimalizujících lokálně plochu, jak ukazuje Segerman ve videu.

katenoid je jedním z prvních minimálních povrchů, se kterými se setkáte v kurzu diferenciální geometrie. Pokud chcete vytvořit jeden z mýdlového filmu, budete chtít, aby vaše hranice byla vyrobena ze dvou kruhů, které jsou navzájem rovnoběžné a oddělené krátkou vzdáleností.

catenoid je také povrch revoluci se dostanete otáčením křivku zvanou řetězovka kolem osy. (Trolejbus je zajímavý sám o sobě, ale to je příběh pro další blogový příspěvek.)

můžete slyšet catenoid nazývá pasem válce, protože jde směrem ke středu, jako mnoho lidí pasu. (Rád si představuji mladé katenoidy, jak mluví o tom, jak byli minulý víkend v pase.)

při zkoumání katenoidu můžeme začít pozorovat další charakteristiku minimálních povrchů. Nejprve se můžeme podívat na to, co se stane s katenoidem mýdlového filmu, když posuneme dva hraniční kruhy od sebe, jako v tomto videu.

na začátku je trolejbus jen stěží ukloněný. Je to skoro normální válec. Ale jak se kruhy pohybují, pas se stává výraznějším. (Nakonec, tam prostě není dost, mýdlo film k udržení catenoid, tak se to zlomí a zhroutí se na plnění dvou kruhů místo, ale matematicky budeme soustředit na čas, který stráví v catenoid konformaci.) V průběhu celého postupu můžeme sledovat, jak se zakřivení mění. O zakřivení jsem psal v poznámkách k epizodě mé oblíbené věty Jeanne Clellandové. V katenoidu se podíváme na zakřivení křivky mezi dvěma hraničními kruhy a křivkou kolem pasu katenoidu.

když je křivka probíhající mezi kruhy blíže k rovině, křivka pasu je blíže k rovině. Když se kruhy posunuly od sebe a křivka mezi nimi je zakřivená, pas se také zakřiví. Stává se, že tyto dvě křivky, jedna ohýbání „nahoru“ od středu a jedna ohýbání „dolů“, se vždy dokonale vyrovnávají. To není náhoda, která by náhodou fungovala pro katenoid. Ukazuje se, že povrch s touto vlastností, který se nazývá konstantní střední zakřivení nula, je dalším způsobem, jak charakterizovat minimální povrchy. Na některých místech mohou být velmi zakřivené a na některých místech jemněji zakřivené, pokud se zakřivení dokonale vyrovná.

samotný katenoid je krásně symetrický, krásný tvar, ale má další supervelmoc. Jen s jedním řezem a nějakou pečlivou manipulací se může přeměnit na (část) helicoid, další minimální povrch, aniž by se protáhl nebo stlačil.

V roce 1776, catenoid a helicoid byli první netriviální povrchy ukázala být minimální. (Triviálním příkladem je plochá rovina nebo její část.) V následujících stoletích objevili matematici zvěřinec stále exotičtějších minimálních struktur s efektními průsečíky, opakujícími se úseky nebo otvory. Ale pro elegantní jednoduchost nemůžete porazit katenoid.

Přečtěte si o mých oblíbených mezerách:
Cantor Set
Tuk Cantor Sady
Topologický je Sinusová Křivka
Cantor je Děravý Stan
Nekonečné Náušnice
Řádek s Dvěma Původ
Dům se Dvěma pokoji
Fano Letadlo
Torus
Tři-Torus,
möbiova páska
Dlouhý Řádek
Prostor-Vyplňování Křivky
Wallis Síta
Dva Tori Lepené podél Štěrbiny
Prázdná množina
Mengerova Houba
Spojené Součtu Čtyř Hopf Odkazy
Boromejské Prsteny
Sierpinského Trojúhelník
Lexikografické Uspořádání na Jednotku Metr
SNCF Metrické
Mandelbrot Set
Fatou Pancake
Pseudosphere
Douady Králík
Poincaré Homologie Koule
Kovalevskaya Top
6-Zalezlý Torus
Reálné Projektivní Rovině
-1-Dimenzionální Sféry
Loch Ness Netvor
Koch sněhová Vločka
Bicylinder