Biographie

La mère d’Élie Cartan était Anne Florentine Cottaz (1841-1927) et son père était Joseph Antoine Cartan (1837-1917) qui était forgeron. Remontons ces familles une génération de plus. Anne Cottaz est la fille de François Cottaz et Françoise Mallen tandis que Joseph Cartan est le fils de Benoît Bordel Cartan (qui était meunier) et de Jeanne Denard. Joseph et Anne Cartan ont eu quatre enfants : Jeanne Marie Cartan (1867-1931); Élie Joseph Cartan, le sujet de cette biographie; Léon Cartan (1872-1956), qui suit son père et rejoint l’entreprise familiale de forgeron ; et Anna Cartan (1878-1923), qui devient professeur de mathématiques. Élie vivait avec sa famille dans une maison du square Champ-de-Mars à Dolomieu. Il se souvient de son enfance passée avec le (cité dans): –

… coups d’enclume, qui ont commencé tous les matins dès l’aube. … sa mère, pendant ces rares minutes où elle était libre de s’occuper des enfants et de la maison, travaillait avec un rouet.

La famille était très pauvre et, comme Élie Cartan l’a dit plus tard, ses parents étaient (cités dans): –

… des paysans sans prétention qui, au cours de leur longue vie, ont démontré à leurs enfants un exemple de travail accompli joyeux et d’acceptation courageuse des fardeaux.

À la fin du 19ème siècle en France, il n’était pas possible pour les enfants de familles pauvres d’obtenir une éducation universitaire. Ce sont les capacités exceptionnelles d’Élie, ainsi que beaucoup de chance, qui lui ont permis une éducation de haute qualité. Quand il était à l’école primaire, il a montré ses talents remarquables qui ont impressionné ses professeurs M Collomb et M Dupuis. Ce dernier a déclaré: –

Élie Cartan était un garçon timide, mais ses yeux brillaient d’une lumière inhabituelle d’une grande intelligence, et cela était combiné avec une excellente mémoire.

Cartan ne serait peut-être jamais devenu un mathématicien de premier plan sans le jeune inspecteur d’école, plus tard homme politique important, Antonin Dubost (1844-1921). Dubost est alors employé comme inspecteur des écoles primaires et c’est lors d’une visite à l’école primaire de Dolomieu, dans les Alpes françaises, qu’il découvre le remarquable jeune Élie. Dubost encourage Élie à participer au concours pour obtenir des fonds de l’État afin de lui permettre de fréquenter un lycée. Son professeur M Dupuis le prépara à se présenter aux concours qui se tenaient à Grenoble. Une excellente performance lui permet d’entrer au Collège de Vienne qu’il fréquente pendant les cinq années 1880-1885. Tout au long de sa carrière scolaire, Dubost a continué à soutenir le jeune garçon et à obtenir un soutien financier supplémentaire pour lui. Après le Collège de Vienne, il étudie ensuite au Lycée de Genoble pendant les deux années 1885-87 avant de terminer ses études en passant une année au Lycée Janson-de-Sailly à Paris où il se spécialise en mathématiques. L’allocation d’État a été prolongée pour lui permettre d’étudier à l’École Normale Supérieure de Paris.

Cartan devient étudiant à l’École Normale Supérieure en 1888 où il suit les cours des plus grands mathématiciens de l’époque dont Henri Poincaré, Charles Hermite, Jules Tannery, Gaston Darboux, Paul Appell, Émile Picard et Édouard Goursat. Cartan obtient son diplôme en 1891, puis sert pendant un an dans l’armée avant de poursuivre ses études pour son doctorat à l’École Normale Supérieure. Pendant que Cartan était dans l’armée, où il atteignit le grade de sergent, son ami Arthur Tresse (1868-1958) étudiait auprès de Sophus Lie à Leipzig. À son retour, Tresse a parlé à Cartan des travaux remarquables de Wilhelm Killing sur la structure des groupes continus finis de transformations. Cartan entreprit de compléter la classification de Killing et il put bénéficier grandement d’une visite de six mois de Sophus Lie à Paris en 1892. Pendant les deux années 1892-94 que Cartan a passées à travailler sur sa thèse de doctorat, il a été soutenu par une bourse prestigieuse de la Fondation Peccot. La thèse de doctorat de Cartan de 1894 contient une contribution majeure aux algèbres de Lie où il a terminé la classification des algèbres semi-simples sur le champ complexe que Killing avait essentiellement trouvé. Cependant, bien que Killing ait montré que seules certaines algèbres simples exceptionnelles étaient possibles, il n’avait pas prouvé qu’en fait ces algèbres existaient. Cela a été démontré par Cartan dans sa thèse lorsqu’il a construit chacune des algèbres de Lie simples exceptionnelles sur le champ complexe. Ses premiers articles, publiés en 1893, étaient deux notes indiquant ses résultats sur les groupes de lie simples. Robert Bryant écrit en cela dans la note de 1893: –

… Über die einfachen Transformationgruppen… il annonce notamment avoir trouvé des exemples de groupes de Lie correspondant à chacun des systèmes racinaires  » exceptionnels  » trouvés par Killing. Une des choses que je trouve remarquables dans ce travail est la façon dont Cartan a trouvé des interprétations des groupes exceptionnels en tant que groupes de transformation.

Cartan a publié tous les détails de la classification dans un troisième article qui était essentiellement sa thèse de doctorat. Il obtient son doctorat en 1894 à la Faculté des sciences de la Sorbonne. Il est ensuite nommé à l’Université de Montpellier où il enseigne de 1894 à 1896. Il est ensuite nommé maître de conférences à l’Université de Lyon, où il enseigne de 1896 à 1903. En 1903, il épouse à Lyon Marie-Louise Bianconi (1880-1950), fille de Pierre-Louis Bianconi, professeur de chimie devenu inspecteur à Lyon. Élie et Marie-Louise Cartan ont eu quatre enfants : Henri Paul Cartan; Jean Cartan; Louis Cartan; et Hélène Cartan. Le fils aîné, Henri Cartan, devait produire de brillants travaux en mathématiques et a une biographie dans ces archives. Les deux autres fils sont morts tragiquement. Jean, compositeur de musique fine, meurt de la tuberculose en 1932 à l’âge de 25 ans tandis que leur fils Louis devient physicien à l’Université de Poitiers. Il était membre de la Résistance combattant en France contre les forces d’occupation allemandes. Après son arrestation en février 1943, la famille n’a plus de nouvelles mais elle craint le pire. Ce n’est qu’en mai 1945 qu’ils ont appris qu’il avait été décapité par les nazis en décembre 1943. Au moment où ils reçurent la nouvelle du meurtre de Louis par les Allemands, Cartan avait 75 ans et ce fut un coup dévastateur pour lui. Leur quatrième enfant est une fille Hélène qui devient professeur de mathématiques au Lycée Fénelon.

En 1903, Cartan est nommé professeur à l’Université de Nancy mais il enseigne également à l’Institut de Génie Électrique et de Mécanique Appliquée. Il y reste jusqu’en 1909, date à laquelle il s’installe à Paris : –

En 1909 Cartan construit une maison dans son village natal de Dolomieu, où il passe régulièrement ses vacances. À Dolomieu, Cartan poursuit ses recherches scientifiques mais se rend parfois à la forge familiale et aide son père et son frère à souffler le soufflet du forgeron.

Sa nomination en 1909 à Paris était comme maître de conférences à la Sorbonne, mais trois ans plus tard, il fut nommé à la Chaire de Calcul Différentiel et Intégral à Paris. De 1915 à 1918, pendant la Première Guerre mondiale, il est enrôlé dans l’armée où il conserve son ancien grade de sergent. Il a pu poursuivre sa carrière mathématique et, en même temps, travailler à l’hôpital militaire rattaché à l’École Normale Supérieure. Il est nommé Professeur de Mécanique Rationnelle en 1920, puis Professeur de Géométrie Supérieure de 1924 à 1940. Il prend sa retraite en 1940 mais n’arrête pas d’enseigner à ce moment-là car il enseigne ensuite à l’École Normale Supérieure pour filles.
Cartan a travaillé sur les groupes continus, les algèbres de Lie, les équations différentielles et la géométrie. Son travail a réalisé une synthèse entre ces domaines. Il ajouta beaucoup à la théorie des groupes continus qui avait été initiée par Lie. Après les travaux de sa thèse sur les groupes de Lie continus finis, il classa plus tard les algèbres de Lie semi-simples sur le champ réel et trouva toutes les représentations linéaires irréductibles des algèbres de Lie simples. Il s’est tourné vers la théorie des algèbres associatives et a étudié la structure de ces algèbres sur le champ réel et complexe. Joseph Wedderburn complétera le travail de Cartan dans ce domaine.
Il s’est ensuite intéressé aux représentations de groupes de Lie semi-simples. Son travail est une synthèse saisissante de la théorie du mensonge, de la géométrie classique, de la géométrie différentielle et de la topologie qui se retrouvait dans tous les travaux de Cartan. Il a appliqué l’algèbre de Grassmann à la théorie des formes différentielles extérieures. Il a développé cette théorie entre 1894 et 1904 et a appliqué sa théorie des formes différentielles extérieures à une grande variété de problèmes de géométrie différentielle, de dynamique et de relativité. Dieudonné écrit dans :-

Il a discuté d’un grand nombre d’exemples, les traitant dans un style extrêmement elliptique qui n’a été rendu possible que par son étrange perspicacité algébrique et géométrique et qui a déconcerté deux générations de mathématiciens.

En 1899 Cartan publie son premier article sur le problème de Pfaff Sur certaines expressions différentes et le problème de Pfaff Ⓣ. Dans cet article, Cartan a donné la première définition formelle d’une forme différentielle. Victor Katz écrit : –

Sa définition était « purement symbolique »; a savoir, il a défini les « expressions différentielles » comme des expressions homogènes formées par un nombre fini d’additions et de multiplications des différentiels dx, dy, d z,. ., et certaines fonctions de coefficients différentiables.

Au cours des années suivantes, il a écrit plusieurs autres articles importants sur ce sujet, notamment Sur l’intégration de certains systèmes de Pfaff de caractère deux Ⓣ (1901). En 1936-37, il donne une série de conférences à la Sorbonne qui couvrent ses contributions au sujet. Les conférences ont été publiées en 1945 dans le livre Les systèmes différents extérieurs et leurs applications géométriques Ⓣ.
Les articles de Cartan sur les équations différentielles sont à bien des égards son travail le plus impressionnant. Encore une fois, son approche était totalement innovante et il formulait des problèmes de sorte qu’ils étaient invariants et ne dépendaient pas des variables particulières ou des fonctions inconnues. Cela a permis à Cartan de définir ce qu’est réellement la solution générale d’un système différentiel arbitraire, mais il ne s’est pas seulement intéressé à la solution générale car il a également étudié des solutions singulières. Il l’a fait en passant d’un système donné à un nouveau système associé dont la solution générale a donné les solutions singulières au système d’origine. Cependant, il n’a pas réussi à montrer que toutes les solutions singulières étaient données par sa technique, et cela n’a été réalisé que quatre ans après sa mort.
À partir de 1916, il publie principalement sur la géométrie différentielle. Le « programme Erlanger » de Klein a été jugé inadéquat en tant que description générale de la géométrie par Weyl et Veblen, et Cartan devait jouer un rôle majeur. Il a examiné un espace agi par un groupe arbitraire de transformations de Lie, développant une théorie des cadres en mouvement qui généralise la théorie cinématique de Darboux. En fait, ce travail a conduit Cartan à la notion de faisceau de fibres, bien qu’il n’en donne pas une définition explicite dans son travail.
Cartan a également contribué à la géométrie avec sa théorie des espaces symétriques qui trouvent leurs origines dans des articles qu’il a écrits en 1926. Il y développe des idées étudiées pour la première fois par Clifford et Cayley et utilise des méthodes topologiques développées par Weyl en 1925. Ce travail a été achevé en 1932 et fournit ainsi: –

… l’un des rares cas où l’initiateur d’une théorie mathématique était également celui qui l’a menée à son terme.

Cartan a ensuite examiné des problèmes sur un sujet d’abord étudié par Poincaré. À ce stade, son fils, Henri Cartan, apportait des contributions majeures aux mathématiques et Élie Cartan a pu s’appuyer sur des théorèmes prouvés par son fils. Henri Cartan il a dit :-

en savait plus que moi sur les groupes de Lie, et il était nécessaire d’utiliser cette connaissance pour la détermination de tous les domaines cerclés bornés qui admettent un groupe transitif. Nous avons donc écrit un article sur le sujet ensemble. Mais en général, mon père travaillait dans son coin et moi dans le mien.

Cartan a découvert la théorie des spineurs en 1913. Ce sont des vecteurs complexes qui sont utilisés pour transformer les rotations tridimensionnelles en représentations bidimensionnelles et ils ont ensuite joué un rôle fondamental en mécanique quantique. Cartan publie l’ouvrage en deux volumes Leçons sur la théorie des spineurs Ⓣ en 1938 : –

Dans la préface des deux volumes… M Cartan souligne que, sous leur forme mathématique la plus générale, les spinors ont été découverts par lui en 1913 dans son travail sur les représentations linéaires de groupes simples, et il souligne leur lien… avec des nombres hypercomplexes de Clifford-Lipschitz. … Le livre de M Cartan sera indispensable aux mathématiciens intéressés par les aspects géométriques et physiques de la théorie des groupes, donnant, comme il le fait, une enquête complète et faisant autorité sur la théorie algébrique des spineurs traités d’un point de vue géométrique.

Nous avons donné une liste aussi complète que possible de tous les livres français ou anglais de Cartan sur CE LIEN.
Nous avons donné de brefs extraits de critiques de certains de ces livres à CE LIEN.
Quant à ses capacités d’enseignement, Shiing-Shen Chern et Claude Chevalley écrivent :-

Cartan était un excellent professeur; ses conférences étaient des expériences intellectuelles gratifiantes, ce qui laissait à l’étudiant une idée généralement erronée qu’il avait saisi tout ce qu’il y avait sur le sujet. Il est donc d’autant plus surprenant que pendant longtemps ses idées n’ont pas exercé l’influence qu’elles méritaient si richement d’avoir sur les jeunes mathématiciens. Cela était peut-être en partie dû à l’extrême modestie de Cartan. Contrairement à Poincaré, il n’a pas essayé d’éviter de faire travailler des élèves sous sa direction. Cependant, il avait trop de sens de l’humour pour organiser autour de lui le genre de fanatisme enthousiaste qui aide à former une école de mathématiques.

Il est certainement l’un des mathématiciens les plus importants de la première moitié du XXe siècle. Dieudonné écrit dans: –

La reconnaissance de Cartan en tant que mathématicien de premier ordre ne lui est venue que dans sa vieillesse; avant 1930, Poincaré et Weyl étaient probablement les seuls mathématiciens éminents à évaluer correctement ses pouvoirs et sa profondeur inhabituels. Cela était dû en partie à son extrême modestie et en partie au fait qu’en France, la principale tendance de la recherche mathématique après 1900 était dans le domaine de la théorie des fonctions, mais surtout à son extraordinaire originalité. Ce n’est qu’après 1930 qu’une jeune génération a commencé à explorer le riche trésor d’idées et de résultats enfouis dans ses papiers. Depuis lors, son influence n’a cessé d’augmenter, et à l’exception de Poincaré et de Hilbert, personne d’autre n’a probablement fait autant pour donner aux mathématiques de notre époque sa forme et ses points de vue actuels.

J H C Whitehead écrit : –

Élie Cartan est l’un des grands architectes des mathématiques contemporaines.

Les auteurs de écrivent: –

Cartan était l’un des principaux mathématiciens de sa génération, particulièrement influent pour ses travaux sur la géométrie et la théorie des algèbres de Lie. Dans les années sombres qui ont suivi la Première Guerre mondiale, il était l’un des mathématiciens les plus éminents de France. Il finit par avoir une influence notable sur le groupe Bourbaki, dont son fils Henri, un autre mathématicien distingué, était l’un des sept membres fondateurs.

William Hodge considère Cartan comme : –

… un grand génie des mathématiques prenant la scène dans une vaste enquête, et choisissant l’essentiel, de sorte qu’avec un coup de maître, il va droit au cœur d’un problème. Sa connaissance d’innombrables cas particuliers, et sa maîtrise de l’argumentation complexe, lui a permis de faire avancer son sujet à pas de géant, et de marquer durablement la vaste gamme d’efforts mathématiques. Par sa mort, le monde a en effet perdu l’un des grands architectes des mathématiques modernes

Robert Hermann écrit :-

Cartan est certainement l’un des esprits les plus grands et les plus originaux des mathématiques, dont les travaux sur les groupes de Lie, la géométrie différentielle et la théorie géométrique des équations différentielles sont à la base d’une grande partie de ce que nous faisons aujourd’hui. À mon avis, sa place en mathématiques est similaire à celle des grands maîtres du début du siècle dans d’autres domaines de la vie intellectuelle. Tout comme Freud a été influencé par la vision du monde mécaniste de la science du 19ème siècle, mais a utilisé ce contexte pour créer quelque chose de nouveau et de révolutionnaire qui a profondément influencé la pensée du 20ème siècle, Cartan a construit, sur une base des mathématiques qui était à la mode dans les années 1890 à Paris, Berlin et Göttingen, un édifice mathématique dont nous étudions encore les implications. Son travail était très intuitif et géométrique, mais reposait également sur une formidable combinaison de méthodes originales de calcul et d’analyse, allant de l’expertise mathématique de l’algèbre à la topologie.

Pour ses contributions exceptionnelles, Cartan a reçu de nombreux honneurs, mais comme Dieudonné l’a expliqué dans la citation ci-dessus, ceux-ci ne sont arrivés qu’à la fin de sa carrière. Il a reçu des diplômes honorifiques de l’Université de Liège en 1934 et de l’Université Harvard en 1936. En 1947, il reçoit trois diplômes honorifiques de l’Université Libre de Berlin, de l’Université de Bucarest et de l’Université catholique de Louvain. L’année suivante, il reçoit un doctorat honorifique de l’Université de Pise. Il est élu à l’Académie polonaise des Sciences en 1921, à l’Académie norvégienne des Sciences et des Lettres en 1926, à l’Accademia dei Lincei en 1927 et élu membre de la Royal Society de Londres le 1er mai 1947. Élu à l’Académie des Sciences le 9 mars 1931, il en est vice-président en 1945 et Président en 1946. Il est devenu membre honoraire de la London Mathematical Society en 1939. Un cratère sur la lune porte son nom.
Une célébration a eu lieu le 18 mai 1939 à la Sorbonne pour célébrer le 70e anniversaire de Cartan. De nombreux hommages ont été rendus par des amis et des collègues qui ont décrit ses contributions à un large éventail de domaines différents des mathématiques. En 1969, pour célébrer le 100e anniversaire de la naissance de Cartan, une conférence a eu lieu à Bucarest. Les actes ont été publiés et notre liste de références contient plusieurs articles présentés lors de cette conférence, à savoir , , , ,,, et. La conférence « Le Patrimoine Mathématique d’Élie Cartan » s’est tenue à Lyon, en France, du 25 au 29 juin 1984 pour célébrer le 115e anniversaire de la naissance de Cartan.