Biografie
Élie Cartans Mutter war Anne Florentine Cottaz (1841-1927) und sein Vater war Joseph Antoine Cartan (1837-1917), der Schmied war. Lassen Sie uns diese Familien eine weitere Generation zurückverfolgen. Anne Cottaz war die Tochter von François Cottaz und Françoise Mallen, während Joseph Cartan der Sohn von Benoît Bordel Cartan (der ein Müller war) und Jeanne Denard war. Joseph und Anne Cartan hatten vier Kinder: Jeanne Marie Cartan (1867-1931); Élie Joseph Cartan, das Thema dieser Biographie; Léon Cartan (1872-1956), der seinem Vater folgte und in die Schmiede der Familie eintrat; und Anna Cartan (1878-1923), die Mathematiklehrerin wurde. Élie lebte mit seiner Familie in einem Haus am Platz Champ-de-Mars in Dolomieu. Er erinnerte sich an seine Kindheit mit dem (zitiert in ):-
… schläge des Ambosses, die jeden Morgen von der Morgendämmerung an begannen. … seine Mutter arbeitete in diesen seltenen Minuten, in denen sie sich nicht um die Kinder und das Haus kümmerte, mit einem Spinnrad.
Die Familie war sehr arm und, wie Élie Cartan später sagte, waren seine Eltern (zitiert in ):-
… unprätentiöse Bauern, die ihren Kindern während ihres langen Lebens ein Beispiel für freudig geleistete Arbeit und mutige Akzeptanz von Lasten zeigten.
Im Frankreich des späten 19.Jahrhunderts war es Kindern aus armen Familien nicht möglich, eine Universitätsausbildung zu erhalten. Es waren Élies außergewöhnliche Fähigkeiten, zusammen mit viel Glück, die ihm eine qualitativ hochwertige Ausbildung ermöglichten. Als er in der Grundschule war, zeigte er seine bemerkenswerten Talente, die seine Lehrer M Collomb und M Dupuis beeindruckten. Letzterer sagte: –
Élie Cartan war ein schüchterner Junge, aber seine Augen leuchteten mit einem ungewöhnlichen Licht von großer Intelligenz, und dies wurde mit einem ausgezeichneten Gedächtnis kombiniert.
Ohne den jungen Schulinspektor und späteren wichtigen Politiker Antonin Dubost (1844-1921) wäre Cartan vielleicht nie ein führender Mathematiker geworden. Dubost war zu dieser Zeit als Inspektor von Grundschulen angestellt und entdeckte bei einem Besuch der Grundschule in Dolomieu in den französischen Alpen die bemerkenswerte junge Élie. Dubost ermutigte Élie, am Wettbewerb um staatliche Mittel teilzunehmen, damit Élie ein Lycée besuchen konnte. Sein Lehrer M Dupuis bereitete ihn auf die in Grenoble abgehaltenen Auswahlprüfungen vor. Eine hervorragende Leistung ermöglichte es ihm, das Collège de Vienne zu betreten, das er für die fünf Jahre 1880-1885 besuchte. Während seiner Schullaufbahn unterstützte Dubost den Jungen weiterhin und erhielt weitere finanzielle Unterstützung für ihn. Nach dem Collège de Vienne, studierte er dann an der Lycée in Genoble für die zwei Jahre 1885-87 vor Abschluss seiner Schulbildung, indem er ein Jahr an der Janson-de-Sailly Lycée in Paris, wo er sich auf Mathematik. Das Staatsstipendium wurde verlängert, um ihm ein Studium an der École Normale Supérieure in Paris zu ermöglichen.Cartan wurde ein Student an der École Normale Supérieure im Jahre 1888, wo er Kurse von den führenden Mathematikern des Tages, darunter Henri Poincaré, Charles Hermite, Jules Tannery, Gaston Darboux, Paul Appell, Émile Picard und Édouard Goursat. Cartan graduierte 1891 und diente dann für ein Jahr in der Armee, bevor er sein Studium für seine Promotion an der École Normale Supérieure fortsetzte. Während Cartan in der Armee war, wo er den Rang eines Sergeanten erreichte, studierte sein Freund Arthur Tresse (1868-1958) bei Sophus Lie in Leipzig. Nach seiner Rückkehr erzählte Tresse Cartan von Wilhelm Killings bemerkenswerten Arbeiten zur Struktur endlicher kontinuierlicher Transform-gruppen. Cartan machte sich daran, Killings Klassifikation abzuschließen, und er konnte von einem sechsmonatigen Besuch von Sophus Lie in Paris im Jahr 1892 sehr profitieren. In den zwei Jahren 1892-94, in denen Cartan an seiner Doktorarbeit arbeitete, wurde er von einem renommierten Stipendium der Peccot Foundation unterstützt. Cartan’s Doktorarbeit von 1894 enthält einen wichtigen Beitrag zur Lie-Algebren, wo er die Klassifizierung der semisimple Algebren über das komplexe Feld, das er im wesentlichen gefunden hatte. Obwohl Killing gezeigt hatte, dass nur bestimmte außergewöhnliche einfache Algebren möglich waren, hatte er nicht bewiesen, dass diese Algebren tatsächlich existieren. Dies zeigte Cartan in seiner Dissertation, als er jede der außergewöhnlichen einfachen Lie-Algebren über das komplexe Feld konstruierte. Seine ersten Arbeiten, die 1893 veröffentlicht wurden, waren zwei Notizen, die seine Ergebnisse zu einfachen Lügengruppen darlegten. Robert Bryant schreibt darin in der Notiz von 1893: –
… Über die einfachen Transformationsgruppen … er kündigt insbesondere an, dass er Beispiele für Lie-Gruppen gefunden hat, die jedem der ‚außergewöhnlichen‘ Wurzelsysteme entsprechen, die durch Töten gefunden wurden. Eines der Dinge, die ich an dieser Arbeit bemerkenswert finde, ist die Art und Weise, wie Cartan Interpretationen der Ausnahmegruppen als Transformationsgruppen fand.
Cartan veröffentlichte alle Details der Klassifizierung in einem dritten Papier, das im Wesentlichen seine Doktorarbeit war. Er promovierte 1894 an der Naturwissenschaftlichen Fakultät der Sorbonne. Anschließend wurde er an die Universität Montpellier berufen, wo er von 1894 bis 1896 lehrte. Anschließend wurde er als Dozent an die Universität Lyon berufen, wo er von 1896 bis 1903 lehrte. In Lyon heiratete er 1903 Marie-Louise Bianconi (1880-1950), die Tochter von Pierre-Louis Bianconi, der Professor für Chemie gewesen war, aber Inspektor in Lyon geworden war. Élie und Marie-Louise Cartan hatten vier Kinder: Henri Paul Cartan; Jean Cartan; Louis Cartan; und Hélène Cartan. Der älteste Sohn, Henri Cartan, war brillante Arbeit in Mathematik zu produzieren und hat eine Biographie in diesem Archiv. Die beiden anderen Kinder starben auf tragische Weise. Jean, ein Komponist der schönen Musik, starb 1932 im Alter von 25 Jahren an Tuberkulose, während ihr Sohn Louis Physiker an der Universität von Poitiers wurde. Er war Mitglied des Widerstands, der in Frankreich gegen die deutschen Besatzungstruppen kämpfte. Nach seiner Verhaftung im Februar 1943 erhielt die Familie keine weiteren Nachrichten, befürchtete aber das Schlimmste. Erst im Mai 1945 erfuhren sie, dass er im Dezember 1943 von den Nazis enthauptet worden war. Als sie die Nachricht von Louis ‚Ermordung durch die Deutschen erhielten, war Cartan 75 Jahre alt und es war ein verheerender Schlag für ihn. Ihr viertes Kind war eine Tochter Hélène, die Mathematiklehrerin am Lycée Fénelon wurde.1903 wurde Cartan Professor an der Universität Nancy, lehrte aber auch am Institut für Elektrotechnik und Angewandte Mechanik. Er blieb dort bis 1909, als er nach Paris zog : –
1909 baute Cartan in seinem Heimatdorf Dolomieu ein Haus, in dem er regelmäßig seine Ferien verbrachte. In Dolomieu setzte Cartan seine wissenschaftlichen Forschungen fort, ging aber manchmal zur Familienschmiede und half seinem Vater und seinem Bruder, den Blasebalg des Schmieds zu blasen.
Seine Ernennung im Jahr 1909 in Paris war als Assistant Lecturer an der Sorbonne, aber drei Jahre später wurde er auf den Lehrstuhl für Differential-und Integralrechnung in Paris. Von 1915 bis 1918, während des Ersten Weltkriegs, wurde er in die Armee eingezogen, wo er weiterhin seinen früheren Rang eines Sergeanten innehatte. Er konnte seine mathematische Karriere fortsetzen und gleichzeitig im Militärkrankenhaus der École Normale Supérieure arbeiten. 1920 wurde er Professor für Rationale Mechanik und von 1924 bis 1940 Professor für Höhere Geometrie. Er ging 1940 in den Ruhestand, hörte aber zu diesem Zeitpunkt nicht auf zu unterrichten, da er an der École Normale Supérieure für Mädchen unterrichtete.Cartan arbeitete an kontinuierlichen Gruppen, Lie-Algebren, Differentialgleichungen und Geometrie. Seine Arbeit erreichte eine Synthese zwischen diesen Bereichen. Er fügte hinzu, stark auf die Theorie der kontinuierlichen Gruppen, die von Lie initiiert worden war. Nach der Arbeit seiner Dissertation über endliche kontinuierliche Lie-Gruppen klassifizierte er später die Semisimple Lie-Algebren über das reale Feld und fand alle irreduziblen linearen Darstellungen der einfachen Lie-Algebren. Er wandte sich der Theorie der assoziativen Algebren zu und untersuchte die Struktur dieser Algebren über das reale und komplexe Feld. Joseph Wedderburn würde Cartans Arbeit in diesem Bereich vervollständigen.
Er wandte sich dann der Darstellung semisimpler Lie-Gruppen zu. Seine Arbeit ist eine auffallende Synthese von Lie-Theorie, klassischer Geometrie, Differentialgeometrie und Topologie, die in allen Cartans Arbeiten zu finden war. Er wandte die Grassmann-Algebra auf die Theorie der äußeren Differentialformen an. Er entwickelte diese Theorie zwischen 1894 und 1904 und wandte seine Theorie der äußeren Differentialformen auf eine Vielzahl von Problemen in der Differentialgeometrie, Dynamik und Relativitätstheorie an. Dieudonné schreibt in :-
Er diskutierte eine große Anzahl von Beispielen und behandelte sie in einem extrem elliptischen Stil, der nur durch seine unheimliche algebraische und geometrische Einsicht möglich wurde und der zwei Generationen von Mathematikern verblüfft hat.
1899 veröffentlichte Cartan sein erstes Papier über das Pfaff-Problem Sur certaines expressions différentielles et le probleme de Pfaff Ⓣ. In diesem Papier Cartan gab die erste formale Definition einer Differentialform. Victor Katz schreibt:-
Seine Definition war eine „rein symbolische“; nämlich, er definierte „Differentialausdrücke“ als homogene Ausdrücke, die durch eine endliche Anzahl von Additionen und Multiplikationen der Differentiale dx gebildet werden, dy, d z, . . und bestimmte differenzierbare Koeffizientenfunktionen.
In den folgenden Jahren schrieb er mehrere andere wichtige Arbeiten zu diesem Thema, darunter Sur l’intégration de certaines systèmes de Pfaff de caractère deux Ⓣ (1901). In den Jahren 1936-37 hielt er eine Reihe von Vorträgen an der Sorbonne, die seine Beiträge zum Thema abdeckten. Die Vorträge wurden 1945 in dem Buch Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques Ⓣ veröffentlicht.
Cartan’s papers on differential equations sind in vielerlei Hinsicht seine beeindruckendste Arbeit. Auch hier war sein Ansatz völlig innovativ und er formulierte Probleme so, dass sie invariant waren und nicht von den jeweiligen Variablen oder unbekannten Funktionen abhingen. Dies ermöglichte Cartan zu definieren, was die allgemeine Lösung eines beliebigen Differentialsystems wirklich ist, aber er interessierte sich nicht nur für die allgemeine Lösung, sondern studierte auch singuläre Lösungen. Er tat dies, indem er von einem gegebenen System zu einem neuen zugehörigen System wechselte, dessen allgemeine Lösung die singulären Lösungen für das ursprüngliche System ergab. Er konnte jedoch nicht zeigen, dass alle singulären Lösungen durch seine Technik gegeben waren, und dies wurde erst vier Jahre nach seinem Tod erreicht.Ab 1916 veröffentlichte er hauptsächlich über Differentialgeometrie. Klein ’s ‚Erlanger-Programm‘ wurde als unzureichend als allgemeine Beschreibung der Geometrie von Weyl und Veblen, und Cartan war eine wichtige Rolle spielen. Er untersuchte einen Raum, auf den eine willkürliche Lie-Gruppe von Transformationen einwirkte, und entwickelte eine Theorie bewegter Rahmen, die die kinematische Theorie von Darboux verallgemeinert. Tatsächlich führte diese Arbeit Cartan zum Begriff eines Faserbündels, obwohl er das Konzept in seiner Arbeit nicht explizit definiert.Cartan trug weiter zur Geometrie mit seiner Theorie der symmetrischen Räume, die ihren Ursprung in Papieren schrieb er im Jahr 1926. In diesen entwickelte er Ideen, die zuerst von Clifford und Cayley untersucht wurden, und verwendete 1925 von Weyl entwickelte topologische Methoden. Diese Arbeit wurde 1932 abgeschlossen und bietet daher: –
… einer der wenigen Fälle, in denen der Initiator einer mathematischen Theorie auch derjenige war, der sie zur Vollendung brachte.
Cartan untersuchte dann Probleme zu einem Thema, das zuerst von Poincaré untersucht wurde. Zu diesem Zeitpunkt sein Sohn, Henri Cartan, machte wichtige Beiträge zur Mathematik und Élie Cartan konnte auf Theoreme von seinem Sohn bewiesen zu bauen. Henri Cartan sagte :-
wusste mehr als ich über Lie-Gruppen, und es war notwendig, dieses Wissen für die Bestimmung aller begrenzten eingekreisten Domänen zu verwenden, die eine transitive Gruppe zulassen. Also haben wir gemeinsam einen Artikel zu diesem Thema geschrieben . Aber im Allgemeinen arbeitete mein Vater in seiner Ecke und ich in meiner.
Cartan entdeckte 1913 die Theorie der Spinoren. Dies sind komplexe Vektoren, die verwendet werden, um dreidimensionale Rotationen in zweidimensionale Darstellungen umzuwandeln, und sie spielten später eine grundlegende Rolle in der Quantenmechanik. Cartan veröffentlichte 1938 das zweibändige Werk Leçons sur la théorie des spineurs Ⓣ :-
Im Vorwort zu den beiden Bänden … M Cartan weist darauf hin, dass Spinoren in ihrer allgemeinsten mathematischen Form 1913 von ihm in seiner Arbeit über lineare Darstellungen einfacher Gruppen entdeckt wurden, und er betont ihre Verbindung … mit Clifford-Lipschitz hyperkomplexen Zahlen. … M Cartans Buch wird für Mathematiker, die sich für die geometrischen und physikalischen Aspekte der Gruppentheorie interessieren, unverzichtbar sein und einen vollständigen und maßgeblichen Überblick über die algebraische Theorie der Spinoren geben, die aus geometrischer Sicht behandelt wird.
Wir haben unter DIESEM LINK eine möglichst vollständige Liste aller französischen oder englischen Bücher von Cartan gegeben.
Wir haben kurze Auszüge aus Rezensionen einiger dieser Bücher unter DIESEM LINK gegeben.
In Bezug auf seine Lehrfähigkeiten schreiben Shiing-Shen Chern und Claude Chevalley :-
Cartan war ein ausgezeichneter Lehrer; Seine Vorlesungen waren erfreuliche intellektuelle Erfahrungen, die den Schüler mit einer allgemein falschen Vorstellung zurückließen, dass er alles verstanden hatte, was es zu diesem Thema gab. Umso überraschender ist es, dass seine Ideen lange Zeit nicht den Einfluss ausübten, den sie auf junge Mathematiker so reich verdient hatten. Dies lag vielleicht teilweise an Cartans extremer Bescheidenheit. Im Gegensatz zu Poincaré versuchte er nicht zu vermeiden, dass Studenten unter seiner Leitung arbeiteten. Allerdings hatte er zu viel von einem Sinn für Humor zu organisieren, um sich die Art von begeisterten Fanatismus, die hilft, eine mathematische Schule zu bilden.
Er ist sicherlich einer der bedeutendsten Mathematiker der ersten Hälfte des 20. Dieudonné schreibt in : –
Cartans Anerkennung als erstklassiger Mathematiker kam ihm erst in seinem Alter; Vor 1930 waren Poincaré und Weyl wahrscheinlich die einzigen prominenten Mathematiker, die seine ungewöhnlichen Kräfte und seine Tiefe richtig einschätzten. Dies lag zum Teil an seiner extremen Bescheidenheit und zum Teil an der Tatsache, dass in Frankreich der Haupttrend der mathematischen Forschung nach 1900 auf dem Gebiet der Funktionstheorie lag, vor allem aber an seiner außergewöhnlichen Originalität. Erst nach 1930 begann eine jüngere Generation, den reichen Schatz an Ideen und Ergebnissen zu erforschen, der in seinen Papieren begraben lag. Seitdem hat sein Einfluss stetig zugenommen, und mit Ausnahme von Poincaré und Hilbert hat wahrscheinlich niemand sonst so viel getan, um der Mathematik unserer Zeit ihre heutige Form und Sichtweise zu geben.
Jh C Whitehead schreibt :-
Élie Cartan ist einer der großen Architekten der zeitgenössischen Mathematik.
Die Autoren von write:-
Cartan war einer der führenden Mathematiker seiner Generation, besonders einflussreich für seine Arbeit über Geometrie und die Theorie der Lie-Algebren. In den trostlosen Jahren nach dem Ersten Weltkrieg war er einer der prominentesten Mathematiker in Frankreich. Er wurde schließlich ein bemerkenswerter Einfluss auf die Bourbaki-Gruppe, von denen sein Sohn Henri, ein weiterer angesehener Mathematiker, war einer der sieben Gründungsmitglieder.
William Hodge betrachtet Cartan als :-
… ein großes mathematisches Genie, das die Szene in einer breiten Übersicht aufgreift und das Wesentliche herausgreift, so dass er mit einem Meisterschlag direkt zum Kern eines Problems geht. Seine Kenntnis unzähliger Sonderfälle und seine Beherrschung komplizierter Argumente ermöglichten es ihm, sein Thema mit großen Schritten voranzubringen und das breite Spektrum mathematischer Bestrebungen nachhaltig zu prägen. Mit seinem Tod hat die Welt tatsächlich einen der großen Architekten der modernen Mathematik verloren
Robert Hermann schreibt :-
Cartan ist sicherlich einer der größten und originellsten Köpfe der Mathematik, dessen Arbeit über Lie-Gruppen, Differentialgeometrie und die geometrische Theorie der Differentialgleichungen die Grundlage für vieles ist, was wir heute tun. Aus meiner Sicht ähnelt sein Platz in der Mathematik dem der großen Meister der Jahrhundertwende in anderen Bereichen des intellektuellen Lebens. So wie Freud von der mechanistischen Weltanschauung der Wissenschaft des 19.Jahrhunderts beeinflusst wurde, aber diesen Hintergrund nutzte, um etwas Neues und Revolutionäres zu schaffen, das das Denken des 20.Jahrhunderts zutiefst beeinflusst hat, so baute Cartan auf einer Grundlage der Mathematik, die in den 1890er Jahren in Paris, Berlin und Göttingen in Mode war, ein mathematisches Gebäude, dessen Implikationen wir noch untersuchen. Seine Arbeit war sehr intuitiv und geometrisch, basierte aber auch auf einer beeindruckenden Kombination origineller Berechnungs- und Analysemethoden, deren mathematisches Fachwissen von Algebra bis Topologie reichte.
Für seine herausragenden Beiträge erhielt Cartan viele Auszeichnungen, aber wie Dieudonné im obigen Zitat erklärte, kamen diese erst spät in seiner Karriere. Er erhielt Ehrentitel von der Universität Lüttich im Jahr 1934 und von der Harvard University im Jahr 1936. 1947 erhielt er drei Ehrentitel der Freien Universität Berlin, der Universität Bukarest und der Katholischen Universität Löwen. Im folgenden Jahr erhielt er die Ehrendoktorwürde der Universität Pisa. Er wurde 1921 in die Polnische Akademie der Wissenschaften, 1926 in die Norwegische Akademie der Wissenschaften, 1927 in die Accademia dei Lincei und am 1. Mai 1947 in die Royal Society of London gewählt. Am 9. März 1931 in die Französische Akademie der Wissenschaften gewählt, war er 1945 Vizepräsident der Akademie und 1946 Präsident. 1939 wurde er Ehrenmitglied der London Mathematical Society. Ein Krater auf dem Mond ist nach ihm benannt.Am 18.Mai 1939 fand in der Sorbonne eine Feier zu Cartans 70.Geburtstag statt. Viele Ehrungen wurden von Freunden und Kollegen, die seine Beiträge zu einem breiten Spektrum von verschiedenen Bereichen der Mathematik beschrieben. 1969 fand zur Feier des 100-jährigen Bestehens von Cartan eine Konferenz in Bukarest statt. Das Verfahren wurde veröffentlicht und unsere Referenzliste enthält mehrere auf dieser Konferenz gelieferte Artikel, nämlich , , , , , , , und . Die Konferenz ‚The Mathematical Heritage of Élie Cartan‘ fand vom 25. Juni bis 29.Juni 1984 in Lyon statt, um den 115.
