biografie
Élie Cartan ‘ s moeder was Anne Florentine Cottaz (1841-1927) en zijn vader was Joseph Antoine Cartan (1837-1917) die een smid was. Laten we deze families nog één generatie traceren. Anne Cottaz was de dochter van François Cottaz en Françoise Mallen, terwijl Joseph Cartan de zoon was van Benoît Bordel Cartan (die Molenaar was) en Jeanne Denard. Joseph en Anne Cartan kregen vier kinderen: Jeanne Marie Cartan (1867-1931); Élie Joseph Cartan, het onderwerp van deze biografie; Léon Cartan (1872-1956), die zijn vader volgde en zich bij de familie smidenbusiness aansloot; en Anna Cartan (1878-1923), die wiskundeleraar werd. Élie woonde met zijn familie in een huis op het Champ-de-Marsplein in Dolomieu. Hij herinnerde zich zijn jeugd doorgebracht met de (Geciteerd in ):-
… slagen van het aambeeld, die elke ochtend begon vanaf de dageraad. … zijn moeder, tijdens die zeldzame minuten dat ze vrij was van de zorg voor de kinderen en het huis, werkte met een spinnewiel.
de familie was zeer arm en, zoals Élie Cartan later zei, zijn ouders waren (Geciteerd in ):-
… pretentieloze boeren die tijdens hun lange leven aan hun kinderen een voorbeeld van vreugdevol volbracht werk en moedige acceptatie van lasten demonstreerden.
aan het eind van de 19e eeuw was het voor kinderen uit arme gezinnen niet mogelijk een universitaire opleiding te volgen. Het waren Élie ‘ s uitzonderlijke vaardigheden, samen met veel geluk, die een hoogwaardig onderwijs voor hem mogelijk maakten. Toen hij op de lagere school zat toonde hij zijn opmerkelijke talenten die indruk maakten op zijn leraren m Collomb en M Dupuis. De laatste zei:-
Élie Cartan was een verlegen jongen, maar zijn ogen straalden met een ongewoon licht van grote intelligentie, en dit werd gecombineerd met een uitstekend geheugen.
Cartan zou nooit een vooraanstaand wiskundige zijn geworden zonder de jonge schoolinspecteur, later belangrijk politicus, Antonin Dubost (1844-1921). Dubost was op dat moment werkzaam als inspecteur van de lagere scholen en tijdens een bezoek aan de lagere school in Dolomieu, in de Franse Alpen, ontdekte hij de opmerkelijke jonge Élie. Dubost moedigde Élie aan om deel te nemen aan de wedstrijd om staatsfondsen om Élie toe te staan een Lycée bij te wonen. Zijn leraar M Dupuis bereidde hem voor op de competitieve examens die in Grenoble werden gehouden. Een uitstekende uitvoering maakte het mogelijk om het Collège de Vienne te betreden, waar hij vijf jaar 1880-1885 aanwezig was. Tijdens zijn schoolcarrière bleef Dubost de jongen steunen en kreeg hij verdere financiële steun voor hem. Na het Collège de Vienne studeerde hij twee jaar 1885-87 aan het Lycée in Genoble voordat hij zijn schoolopleiding afrondde door een jaar door te brengen aan het Janson-de-Sailly Lycée in Parijs, waar hij zich specialiseerde in wiskunde. De staatstipendium werd verlengd om hem in staat te stellen om te studeren aan de École Normale Supérieure in Parijs.Cartan werd student aan de École Normale Supérieure in 1888, waar hij cursussen volgde van vooraanstaande wiskundigen van die tijd, waaronder Henri Poincaré, Charles Hermite, Jules Tannery, Gaston Darboux, Paul Appell, Émile Picard en Édouard Goursat. Cartan studeerde af in 1891 en diende vervolgens een jaar in het leger voordat hij zijn studies voortzette voor zijn doctoraat aan de École Normale Supérieure. Terwijl Cartan in het leger zat, waar hij de rang van sergeant bereikte, studeerde zijn vriend Arthur Tresse (1868-1958) onder Sophus Lie in Leipzig. Bij zijn terugkeer vertelde Tresse Cartan over Wilhelm Killing ‘ s opmerkelijke werk over de structuur van eindige continue transformatiegroepen. Cartan begon met het voltooien van Killing ‘ s classificatie en hij was in staat om veel te profiteren van een zes maanden durende bezoek van Sophus Lie aan Parijs in 1892. In de twee jaar 1892-94 dat Cartan aan zijn proefschrift werkte, werd hij ondersteund door een prestigieuze beurs van de Peccot Foundation. Cartans proefschrift uit 1894 bevat een belangrijke bijdrage aan Lie-algebra ‘s, waar hij de classificatie van de halfvolledige algebra’ s voltooide over het complexe veld dat doden in wezen had gevonden. Hoewel het doden had aangetoond dat slechts bepaalde uitzonderlijke enkelvoudige algebra ’s mogelijk waren, had hij echter niet bewezen dat deze algebra’ s in feite bestaan. Dit werd aangetoond door Cartan in zijn proefschrift toen hij elk van de uitzonderlijke enkelvoudige Lie-algebra ‘ s over het complexe veld construeerde. Zijn eerste papers, gepubliceerd in 1893, waren twee aantekeningen over zijn resultaten op eenvoudige Lie-groepen. Robert Bryant schrijft dat in 1893: –
… Über die einfachen Transformationgruppen … hij kondigt in het bijzonder aan dat hij voorbeelden heeft gevonden van Lie-groepen die overeenkomen met elk van de ‘uitzonderlijke’ wortelsystemen die door het doden zijn gevonden. Een van de dingen die ik Opmerkelijk vind aan dit werk is de manier waarop Cartan interpretaties vond van de uitzonderlijke groepen als transformatiegroepen.
Cartan publiceerde alle details van de classificatie in een derde paper dat in wezen zijn proefschrift was. Hij promoveerde in 1894 aan de Faculteit der Wetenschappen van de Sorbonne. Hij werd vervolgens benoemd aan de Universiteit van Montpellier, waar hij van 1894 tot 1896 doceerde. Daarna werd hij benoemd tot docent aan de Universiteit van Lyon, waar hij les gaf van 1896 tot 1903. In 1903 trouwde hij in Lyon met Marie-Louise Bianconi (1880-1950), de dochter van Pierre-Louis Bianconi die hoogleraar scheikunde was geweest, maar Inspecteur was geworden in Lyon. Élie en Marie-Louise Cartan kregen vier kinderen: Henri Paul Cartan, Jean Cartan, Louis Cartan en Hélène Cartan. De oudste zoon, Henri Cartan, zou briljant werk in de wiskunde produceren en heeft een biografie in dit archief. De twee andere zonen stierven tragisch. Jean, een componist van goede muziek, stierf aan tuberculose in 1932 op de leeftijd van 25, terwijl hun zoon Louis werd een fysicus aan de Universiteit van Poitiers. Hij was lid van het verzet dat in Frankrijk vocht tegen de Duitse bezetter. Na zijn arrestatie in februari 1943 kreeg de familie geen nieuws meer, maar ze vreesden het ergste. Pas in mei 1945 hoorden ze dat hij in december 1943 door de nazi ‘ s was onthoofd. Tegen de tijd dat ze het nieuws kregen van Louis’ moord door de Duitsers, was Cartan 75 jaar oud en het was een verwoestende klap voor hem. Hun vierde kind was een dochter Hélène die wiskundeleraar werd aan het Lycée Fénelon.in 1903 werd Cartan benoemd tot hoogleraar aan de Universiteit van Nancy, maar hij doceerde ook aan het Institute of Electrical Engineering and Applied Mechanics. Hij bleef daar tot 1909 toen hij naar Parijs verhuisde :-
In 1909 bouwde Cartan een huis in zijn geboortedorp Dolomieu, waar hij regelmatig zijn vakanties doorbracht. In Dolomieu zette Cartan zijn wetenschappelijk onderzoek voort, maar ging soms naar de familie smid en hielp zijn vader en broer om de Blaasbalg van de smid op te blazen.zijn aanstelling in 1909 in Parijs was als assistent-docent aan de Sorbonne, maar drie jaar later werd hij benoemd tot leerstoel Differentiaalrekening en integrale Calculus in Parijs. Van 1915 tot 1918, tijdens de Eerste Wereldoorlog, werd hij opgeroepen in het leger waar hij zijn vroegere rang van sergeant bleef behouden. Hij kon zijn wiskundige carrière voortzetten en tegelijkertijd werken in het militaire ziekenhuis van de École Normale Supérieure. In 1920 werd hij benoemd tot hoogleraar in de rationele mechanica en van 1924 tot 1940 tot hoogleraar in de hogere meetkunde. Hij ging met pensioen in 1940, maar stopte niet met lesgeven op dit punt, want hij ging lesgeven aan de École Normale Supérieure voor meisjes.Cartan werkte aan continue groepen, Lie-algebra ‘ s, differentiaalvergelijkingen en meetkunde. Zijn werk bereikte een synthese tussen deze gebieden. Hij voegde veel toe aan de theorie van continue groepen die was geïnitieerd door Lie. Na het werk van zijn proefschrift over eindige continue Lie-groepen, classificeerde hij later de half-enkelvoudige Lie-algebra ’s over het reële veld en vond hij alle onherleidbare lineaire representaties van de enkelvoudige Lie-algebra’ s. Hij wendde zich tot de theorie van de associatieve algebra ’s en onderzocht de structuur van deze algebra’ s over het reële en complexe veld. Joseph Wedderburn zou Cartans werk op dit gebied voltooien.vervolgens richtte hij zijn aandacht op representaties van halfvolledige Lie-groepen. Zijn werk is een opvallende synthese van de Lie-theorie, de klassieke meetkunde, de differentiaalmeetkunde en de topologie die in al Cartans werk te vinden was. Hij paste Grassmann-algebra toe op de theorie van buitendifferentiële vormen. Hij ontwikkelde deze theorie tussen 1894 en 1904 en paste zijn theorie van externe differentiaalvormen toe op een grote verscheidenheid aan problemen in de differentiaalmeetkunde, dynamica en relativiteit. Dieudonné schrijft in :-
hij besprak een groot aantal voorbeelden, waarbij hij ze behandelde in een extreem elliptische stijl die alleen mogelijk werd gemaakt door zijn griezelige algebraïsche en geometrische inzicht en die twee generaties wiskundigen verbijsterd heeft.
in 1899 publiceerde Cartan zijn eerste artikel over het Pfaff probleem Sur certaines expressions différentielles et le probleme de Pfaff Ⓣ. In dit artikel gaf Cartan de eerste formele definitie van een differentiële vorm. Victor Katz schrijft: –
zijn definitie was een “zuiver symbolisch”; hij definieerde “differentiële expressies” namelijk als homogene expressies gevormd door een eindig aantal toevoegingen en vermenigvuldigingen van de Differentialen dx, dy, d z , . ., en bepaalde differentieerbare coëfficiënt functies.
in de daaropvolgende jaren schreef hij verschillende andere belangrijke artikelen over dit onderwerp, waaronder Sur l ‘ intégration de certaines systèmes de Pfaff de caractère deux Ⓣ (1901). In 1936-37 gaf hij een reeks lezingen aan de Sorbonne waarin hij zijn bijdragen aan het onderwerp behandelde. De lezingen werden in 1945 gepubliceerd in het boek Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques Ⓣ.Cartans artikelen over differentiaalvergelijkingen zijn in veel opzichten zijn meest indrukwekkende werk. Opnieuw was zijn aanpak totaal vernieuwend en formuleerde hij problemen zodat ze invariant waren en niet afhankelijk waren van de specifieke variabelen of Onbekende functies. Dit stelde Cartan in staat om te definiëren wat de algemene oplossing van een willekeurig differentieel systeem werkelijk is, maar hij was niet alleen geïnteresseerd in de algemene oplossing want hij bestudeerde ook enkelvoudige oplossingen. Hij deed dit door over te gaan van een bepaald systeem naar een nieuw geassocieerd systeem waarvan de algemene oplossing de bijzondere oplossingen voor het oorspronkelijke systeem gaf. Hij slaagde er echter niet in aan te tonen dat alle afzonderlijke oplossingen door zijn techniek werden gegeven, en dit werd pas vier jaar na zijn dood bereikt.vanaf 1916 publiceerde hij voornamelijk over de differentiaalmeetkunde. Kleins ‘Erlanger-programma’ werd door Weyl en Veblen als een algemene beschrijving van de meetkunde ontoereikend geacht en Cartan zou een belangrijke rol spelen. Hij onderzocht een ruimte die werd beïnvloed door een willekeurige lie-groep transformaties en ontwikkelde een theorie van bewegende frames die de kinematische theorie van Darboux generaliseert. In feite leidde dit werk Cartan tot de notie van een vezelbundel, hoewel hij in zijn werk geen expliciete definitie van het concept geeft.Cartan droeg verder bij aan de meetkunde met zijn theorie van symmetrische ruimten die hun oorsprong hebben in artikelen die hij in 1926 schreef. Hierin ontwikkelde hij ideeën die voor het eerst werden bestudeerd door Clifford en Cayley en gebruikte hij topologische methoden die in 1925 door Weyl werden ontwikkeld. Dit werk werd in 1932 voltooid en levert dus: –
… een van de weinige gevallen waarin de initiator van een wiskundige theorie ook degene was die het tot voltooiing bracht.
Cartan ging vervolgens verder met het onderzoeken van problemen over een onderwerp dat Voor het eerst door Poincaré werd bestudeerd. In dit stadium leverde zijn zoon Henri Cartan belangrijke bijdragen aan de wiskunde en Élie Cartan kon voortbouwen op stellingen die door zijn zoon waren bewezen. Henri Cartan zei :-
wist meer dan ik wist over Lie-groepen, en het was noodzakelijk om deze kennis te gebruiken voor het bepalen van alle Begrensd omcirkelde domeinen die een transitieve groep toelaten. We schreven er samen een artikel over . Maar in het algemeen werkte mijn vader in zijn hoek, en ik in de mijne.
Cartan ontdekte de spinortheorie in 1913. Dit zijn complexe vectoren die worden gebruikt om driedimensionale rotaties om te zetten in tweedimensionale representaties en ze speelden later een fundamentele rol in de kwantummechanica. Cartan publiceerde het tweedelige werk Leçons sur la théorie des spineurs Ⓣ in 1938: –
In het voorwoord bij de twee delen … M. Cartan wijst erop dat spinoren, in hun meest algemene wiskundige vorm, door hem in 1913 werden ontdekt in zijn werk over lineaire representaties van eenvoudige groepen, en Hij benadrukt hun samenhang … met Clifford-Lipschitz hypercomplexnummers. … Cartan ‘ s boek zal onmisbaar zijn voor wiskundigen die geïnteresseerd zijn in de meetkundige en fysische aspecten van de groepentheorie en een compleet en gezaghebbend overzicht geven van de algebraïsche theorie van spinoren die vanuit een meetkundig oogpunt worden behandeld.
we hebben een zo volledig mogelijke lijst gegeven van alle Franse of Engelse boeken van Cartan op deze LINK.
We hebben korte uittreksels gegeven van recensies van sommige van deze boeken op deze LINK.Shiing-Shen Chern en Claude Chevalley schrijven over zijn onderwijscapaciteiten :-Cartan was een uitstekende leraar; zijn lezingen waren verheugende intellectuele ervaringen, die de student met een algemeen verkeerd idee dat hij had begrepen alles wat er over het onderwerp. Het is daarom des te verrassender dat zijn ideeën lange tijd niet de invloed uitoefenden die ze zo rijk verdienden te hebben op jonge wiskundigen. Dit was misschien deels te wijten aan Cartans extreme bescheidenheid. In tegenstelling tot Poincaré probeerde hij niet te vermijden dat studenten onder zijn leiding zouden werken. Hij had echter te veel gevoel voor humor om rond zichzelf het soort enthousiaste fanatisme te organiseren dat helpt om een wiskundige school te vormen.
hij is zeker een van de belangrijkste wiskundigen van de eerste helft van de 20e eeuw. Dieudonné schrijft in :-
Cartans erkenning als een eersteklas wiskundige kwam pas op zijn oude dag tot hem; vóór 1930 waren Poincaré en Weyl waarschijnlijk de enige vooraanstaande wiskundigen die zijn ongewone krachten en diepte correct beoordeelden. Dit was deels te wijten aan zijn extreme bescheidenheid en deels aan het feit dat in Frankrijk de belangrijkste trend van het wiskundig onderzoek na 1900 zich op het gebied van de functietheorie bevond, maar vooral aan zijn buitengewone originaliteit. Pas na 1930 begon een jongere generatie de rijke schat aan ideeën en resultaten te verkennen die in zijn papieren begraven lag. Sindsdien is zijn invloed gestaag toegenomen, en met uitzondering van Poincaré en Hilbert heeft waarschijnlijk niemand anders zoveel gedaan om de wiskunde van onze tijd zijn huidige vorm en gezichtspunten te geven.
J H C Whitehead schrijft:-
Élie Cartan is een van de grote architecten van de hedendaagse wiskunde.
De auteurs van write:-
Cartan was een van de toonaangevende wiskundigen van zijn generatie, met name invloedrijk voor zijn werk over meetkunde en de theorie van Lie-algebra ‘ s. In de sombere jaren na de Eerste Wereldoorlog was hij een van de meest prominente wiskundigen in Frankrijk. Hij werd een belangrijke invloed op de Bourbaki groep, waarvan zijn zoon Henri, een andere vooraanstaande wiskundige, een van de zeven stichters was.
William Hodge beschouwt Cartan als:-
… een groot wiskundig genie neemt de scène in een breed overzicht, en het uitkiezen van de essentie, zodat met een meesterslag gaat hij direct naar de kern van een probleem. Zijn kennis van ontelbare bijzondere gevallen, en zijn beheersing van ingewikkelde argumentatie, stelde hem in staat zijn onderwerp met grote stappen vooruit te brengen, en een blijvend stempel te drukken op de enorme waaier van wiskundige inspanningen. Door zijn dood heeft de wereld inderdaad een van de grote architecten van de moderne wiskunde verloren
Robert Hermann schrijft :-
Cartan is zeker een van de grootste en meest originele geesten van de wiskunde, wiens werk over Lie-groepen, differentiaalmeetkunde en de meetkundige theorie van differentiaalvergelijkingen aan de basis ligt van veel van wat we vandaag de dag doen. Naar mijn mening is zijn plaats in de wiskunde vergelijkbaar met die van de grote meesters van rond de eeuwwisseling op andere gebieden van het intellectuele leven. Net zoals Freud werd beïnvloed door het mechanistische wereldbeeld van de 19de-eeuwse wetenschap, maar deze achtergrond gebruikte om iets nieuws en revolutionair te creëren dat het denken van de 20ste eeuw grondig heeft beïnvloed, zo bouwde Cartan, op een fundering van de wiskunde die in de jaren 1890 in Parijs, Berlijn en Göttingen in de mode was, een wiskundig bouwwerk waarvan we de implicaties nog steeds onderzoeken. Zijn werk was zeer intuïtief en Meetkundig, maar was ook gebaseerd op een formidabele combinatie van originele methoden van berekening en analyse, variërend in wiskundige expertise van algebra tot topologie.
voor zijn uitstekende bijdragen ontving Cartan vele onderscheidingen, maar zoals Dieudonné in het bovenstaande citaat uitlegde, kwamen deze pas laat in zijn carrière. Hij ontving eredoctoraten van de Universiteit van Luik in 1934 en van Harvard in 1936. In 1947 ontving hij drie eredoctoraten van de Vrije Universiteit van Berlijn, de Universiteit van Boekarest en de Katholieke Universiteit Leuven. In het jaar daarop ontving hij een eredoctoraat van de Universiteit van Pisa. Hij werd verkozen tot lid van de Poolse Academie van Wetenschappen in 1921, de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren in 1926, de Accademia dei Lincei in 1927 en verkozen tot Fellow van de Royal Society of London op 1 mei 1947. Op 9 maart 1931 werd hij verkozen tot lid van de Franse Academie van Wetenschappen. In 1939 werd hij erelid van de London Mathematical Society. Een krater op de maan is naar hem vernoemd.op 18 mei 1939 werd Cartans 70ste verjaardag gevierd in de Sorbonne. Veel eerbetuigingen werden gemaakt door vrienden en collega ‘ s die zijn bijdragen aan een breed scala van verschillende gebieden van de wiskunde beschreven. In 1969, ter gelegenheid van de honderdste geboortedag van Cartan, werd een conferentie gehouden in Boekarest. Het verslag werd gepubliceerd en onze lijst van referenties bevat verschillende documenten die op die conferentie zijn uitgebracht, namelijk,,,,,, en . De conferentie “het wiskundige erfgoed van Élie Cartan” werd van 25 juni tot en met 29 juni 1984 in Lyon (Frankrijk) gehouden om de 115e geboortedag van Cartan te vieren.
