Théorème de Cantor, en théorie des ensembles, le théorème selon lequel la cardinalité (taille numérique) d’un ensemble est strictement inférieure à la cardinalité de son ensemble de puissance, ou collection de sous-ensembles. En symboles, un ensemble fini S à n éléments contient 2n sous-ensembles, de sorte que la cardinalité de l’ensemble S est n et son ensemble de puissance P(S) est 2n. Bien que cela soit clair pour les ensembles finis, personne n’avait sérieusement envisagé le cas pour les ensembles infinis avant que le mathématicien allemand Georg Cantor — qui est universellement reconnu comme le fondateur de la théorie moderne des ensembles — ne commence à travailler dans ce domaine vers la fin du 19ème siècle.

La preuve de 1891 du théorème de Cantor pour les ensembles infinis reposait sur une version de son argument dit de diagonalisation, qu’il avait précédemment utilisé pour prouver que la cardinalité des nombres rationnels est la même que la cardinalité des entiers en les mettant dans une correspondance un à un. L’idée que, dans le cas d’ensembles infinis, la taille d’un ensemble puisse être la même que l’un de ses sous-ensembles propres n’était pas trop surprenante, car avant Cantor, presque tout le monde supposait qu’il n’y avait qu’une seule taille pour l’infini. Cependant, la preuve de Cantor que certains ensembles infinis sont plus grands que d’autres — par exemple, les nombres réels sont plus grands que les entiers — était surprenante, et elle a d’abord rencontré une grande résistance de la part de certains mathématiciens, en particulier l’Allemand Leopold Kronecker. De plus, la preuve de Cantor que l’ensemble de puissance de tout ensemble, y compris tout ensemble infini, est toujours plus grand que l’ensemble d’origine l’a conduit à créer une hiérarchie toujours croissante de nombres cardinaux, ℵ0, ℵ1, ℵ2…, connus sous le nom de nombres transfinites. Cantor a proposé qu’il n’y ait pas de nombre transfinite entre le premier nombre transfinite ℵ0, ou la cardinalité des entiers, et le continuum (c), ou la cardinalité des nombres réels; en d’autres termes, c = ℵ1. C’est maintenant connu sous le nom d’hypothèse du continu, et il a été démontré qu’il s’agissait d’une proposition indécidable en théorie des ensembles standard.