Considérez le jeu suivant: J’écris un nombre réel aléatoire entre 0 et 1, et je vous demande de le deviner. Quelle est la probabilité que vous le deviniez correctement? La réponse est zéro. Vous pourriez vous demander: « Mais il est possible pour moi de deviner la bonne réponse! Cela signifie que la probabilité doit être supérieure à zéro! »et vous seriez justifié de vous demander, mais vous auriez tort. Il est vrai que les événements impossibles ont une probabilité nulle, mais l’inverse n’est pas vrai en général. Dans le reste de cet article, nous montrons pourquoi la réponse ci-dessus était en fait nulle, et pourquoi cela n’a pas besoin de causer des dommages irréparables à votre vision du monde actuelle.

Commençons par montrer que la probabilité que vous deviniez mon nombre à droite est nulle. Soit la probabilité en question. L’idée est de montrer que pour tout nombre réel positif . Nous savons que , et s’il est plus petit que N’importe QUEL nombre positif, alors il doit être nul! L’argument est le suivant. Appelons le numéro que j’ai choisi au hasard . Imaginez que l’intervalle soit peint en blanc. Choisissez n’importe quel nombre réel positif . Ensuite, il existe un sous-intervalle de longueur dans l’intervalle contenant . Imaginez que ce sous-intervalle soit peint en noir, donc maintenant nous avons une bande noire de longueur sur la bande blanche d’origine, et le numéro que j’ai choisi était dans la bande noire. Quelle est la probabilité que votre supposition atterrisse sur la bande noire? Il doit s’agir de , car c’est la proportion de la bande blanche qui est recouverte. Mais pour que votre supposition soit égale à mon nombre , il doit atterrir dans la bande noire, donc votre probabilité de deviner ne peut pas être supérieure à la probabilité de deviner un nombre sur la bande noire! Par conséquent, .

Vous devriez maintenant être convaincu que cet événement a en effet une probabilité nulle de se produire, mais c’est toujours vrai. Ce phénomène est dû au fait géométrique suivant: il est possible d’avoir un ensemble non vide avec un « volume » nul. Le terme « volume » dépend du contexte; dans le cas du point sur l’intervalle, « volume » est la longueur. La probabilité d’un événement mesuré sur l’intervalle est égale à sa longueur, et un seul point sur l’intervalle a une longueur nulle, mais c’est toujours un sous-ensemble non vide de l’intervalle! La probabilité est essentiellement une mesure du « volume » où l’espace entier a un « volume » égal à 1. En définissant la probabilité de cette manière, nous pouvons prouver toutes sortes de faits précis en utilisant ce qu’on appelle la théorie des mesures.

Pour résumer, vous devriez avoir appris ce qui suit de cet article:

• La probabilité de choisir au hasard un nombre spécifique dans l’intervalle est égale à zéro
• Les événements qui ont une probabilité nulle sont toujours possibles