(Milan, Italie, probablement 1598; Bologne, Italie, 30 novembre 1647). mathématique.

La date de naissance de Cavalieri est incertaine ; la dale donnée ci-dessus est celle citée par Urbano d’Aviso, disciple et biographe de Cavalieri. Le nom Bonaventura n’était pas son nom de baptême mais plutôt celui de son père. C’est le nom que le mathématicien a adopté quand, enfant, il est entré dans l’ordre religieux des Jésuites, adeptes de la règle de Saint Augustin. Cavalieri a été reçu dans les ordres mineurs à Milan en 1615 et transféré en 1616 au monastère des Jésuites de Pise, où il a eu la chance de rencontrer le moine bénédictin Benedetto Castelli, qui avait étudié avec Galilée à Padoue et était à l’époque professeur de mathématiques à Pise. Grâce à lui, Cavalieri a été initié à l’étude de la géométrie. Il a rapidement absorbé les œuvres classiques d’Euclide, d’Archimède. Apollonius, et Pappus, démontrant une telle aptitude exceptionnelle qu’il remplaçait parfois son professeur à l’Université de Pise. Il a été présenté par Castelli à Galilée, dont il s’est toujours considéré comme le disciple. Il a écrit Galilée au moins 112 lettres, qui sont incluses dans l’édition nationale de l’Opere di Galileo; seulement deux des lettres de Galilée à Cavalieri nous sont parvenues, cependant.

En 1620, Cavalieri retourna à Rome sous les ordres de ses supérieurs, et en 1621, il fut ordonné diacre du cardinal Federigo Borromeo, qui tenait Fra’ Bonaventura en grande estime et discutait volontiers avec lui des mathématiques; le cardinal écrivit par la suite une lettre le félicitant à Galilée. Cavalieri avait à peine vingt et un ans lorsqu’il enseigna la théologie au monastère de San Girolamo à Milan, attirant l’attention par sa profonde connaissance du sujet.

Au cours de sa période milanaise (1620-1623) Cavalieri a développé ses premières idées sur la méthode des indivisibles, sa contribution majeure aux mathématiques. De 1623 à 1626, il est prieur de Saint-Pierre à Lodi. Plus tard, il fut l’invité à Rome de Monseigneur Ciampoli, à qui il dédia plus tard sa Geometria. De 1626 à 16291, il fut prieur du monastère des Jésuites de Parme, espérant en vain être nommé professeur de mathématiques à l’université de Parme. À l’automne 1626, lors d’un voyage de Parme à Milan, il tomba malade de la goutte, dont il souffrait depuis son enfance et qui allait le tourmenter jusqu’à la fin de sa vie. Cette maladie l’a maintenu à Milan pendant plusieurs mois. Le 16 décembre 1627, il annonça à Galilée et au cardinal Borromée qu’il avait achevé sa Géométrie. En 1628, apprenant qu’un poste de professeur à Bologne était devenu vacant à la suite de la mort de l’astronome G. A. Magini, il écrivit à Galilée pour l’aider à obtenir la nomination. Galilée, en 1629, a écrit à Cesare Marsili, un gentilhomme de Bologne et membre de l’Accademia dei Lincei, qui avait été chargé de trouver un nouveau professeur de mathématiques. Dans sa lettre, Galilée a dit de Cavalieri: « peu, voire aucun, depuis Archimède, n’a plongé aussi loin et aussi profondément dans la science de la géométrie. »À l’appui de sa candidature au poste de Bologne, Cavalieri a envoyé à Marsili son manuscrit de géométrie et un petit traité sur les sections coniques et leurs applications en optique. Le témoignage de Galilée, comme l’a écrit Marsili. Incita les « Gentilshommes du Régiment » à confier la première chaire de mathématiques à Cavalieri, qui la tint sans interruption de 1629 à sa mort.

En même temps, il est nommé prieur d’un couvent de son propre ordre à Bologne, plus précisément à l’église de Santa Maria della Mascarella, ce qui lui permet de poursuivre sans entrave son travail en mathématiques et son enseignement universitaire. Pendant la période où Cavalieri enseignait à Bologne, il publia onze livres dans cette ville, dont the Geometria (1635).

La théorie de Cavalieri, telle que développée dans cet ouvrage et dans d’autres par la suite publiés, se rapporte à une enquête sur les infinitésimaux, découlant d’un intérêt ravivé pour les œuvres d’Archimède, qui, à la Renaissance, ont été traduites du grec en latin, avec des commentaires. Les traductions de Tartaglia, Maurolico et Commandino sont citées car elles ont servi de point de départ à de nouveaux développements mathématiques.

Les seuls écrits d’Archimède connus des mathématiciens du XVIIe siècle étaient ceux basés sur la méthode stricte de l’épuisement, par laquelle les anciens mathématiciens traitaient des questions de caractère infinitésimal sans recourir à l’infini ou à l’infinitésimal réel. Néanmoins, les grands mathématiciens du dix-septième siècle étaient si profondément imprégnés de l’esprit d’Archimède qu’ils ont compris qu’en plus de la « méthode d’épuisement », les anciens géométriciens devaient connaître une méthode de recherche plus maniable et plus efficace. Sur ce point, Torricelli a écrit:

Je ne devrais pas oser affirmer que cette géométrie des indivisibles est en fait une nouvelle découverte. Je devrais plutôt croire que les anciens géométriciens se sont servis de cette méthode pour découvrir les théorèmes les plus difficiles, bien que dans leur démonstration, ils aient peut-être préféré une autre façon, soit pour dissimuler le secret de leur art, soit pour ne pas donner lieu à des critiques de détracteurs inviolables. Quoi qu’il en soit, il est certain que cette géométrie représente une merveilleuse économie du travail dans les démonstrations et établit d’innombrables théorèmes, presque impénétrables, au moyen de démonstrations brèves, directes et affirmatives, dont la doctrine des anciens était incapable. La géométrie des indivisibles était en effet, dans la brousse mathématique, la soi-disant route royale, et celle que Cavalieri a d’abord ouverte et aménagée pour le public comme un dispositif d’invention merveilleuse.

En 1906 J.L. Heiberg a trouvé, dans un palimpseste appartenant à une bibliothèque de Constantinople, un petit ouvrage d’Archimède sous la forme d’une lettre à Ératosthène, qui expliquait une méthode par laquelle on pouvait déterminer les as, les volumes et les centres de gravité. Cette méthode, qui à son tour était liée aux procédures de Démocrite d’Abdère, considérait une surface plane comme constituée d’accords parallèles à une ligne droite donnée, et les solides comme constitués de sections planes parallèles les unes aux autres. De plus, selon Archimède, des principes de statique ont été appliqués, où les figures, considérées comme des corps lourds, ont été pesées dans une échelle idéale. « Je crois, dit Archimède, que les hommes de mon temps et de l’avenir, et par cette méthode, pourraient trouver encore d’autres théorèmes qui ne me sont pas encore venus à l’esprit  » (Rufini, II « Metodo » di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità, p. 103). Le défi lancé par Archimède n’a pas été relevé, comme nous le savons, par ses contemporains et est tombé dans l’oubli pendant de nombreux siècles.

Le concept d’indivisibles apparaît parfois de manière fugace dans l’histoire de la pensée humaine: par exemple, dans un passage du philosophe et mathématicien hébreu du XIe siècle Abraham bar Hiyya (Savasorda); dans des spéculations occasionnelles – plus philosophiques que mathématiques — par les scolastiques médiévales; dans un passage de Léonard de Vinci; dans la Nova stereometria doliorum de Kepler (Linz, 1615). Selon une conception différente de celle de Cavalieri, les indivisibles sont traités par Galilée dans ses Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

Chez Cavalieri, nous arrivons à une systématisation rationnelle de la méthode des indivisibles, méthode qui non seulement est jugée utile dans la recherche de nouveaux résultats, mais qui, contrairement à ce qu’Archimède supposait, est considérée comme valide, lorsqu’elle est modifiée de manière appropriée, à des fins de démonstration de théorèmes.

À ce stade, une question principale se pose: Quelle signification Cavalieri attribuait-il à ses indivisibles? Ce mathématicien, tout en connaissant parfaitement les questions philosophiques subtiles liées au problème de la possibilité de constituer des grandeurs continues par des indivisibles, cherche à établir une méthode indépendante des hypothèses du sujet, qui serait valable quel que soit le concept formé à cet égard. Alors que Galilée affirmait que « Les composantes les plus élevées et les plus ultimes, bien que primaires du continu, sont des indivisibles infinis » (Opere, VII, 745-750), Cavalieri n’a pas osé affirmer que le continu est composé d’éléments indivisibles, dont il n’a pas donné de définition explicite, ni précisé s’il s’agissait d’infinitésimaux réels ou potentiels. Il est également probable que la conception de Cavalieri de ses indivisibles a subi un changement et que ceux-ci sont nés comme des infinitésimaux réels (comme ceux de Galilée) et ont grandi pour devenir des infinitésimaux potentiels (voir G. Cellini). Il faut encore souligner, selon L. Lombardo Radice, que la vision Cavalieri des indivisibles nous a donné une conception plus profonde des ensembles: il n’est pas nécessaire que les éléments de l’ensemble soient assignés ou assignables; il suffit plutôt qu’un critère précis existe pour déterminer si un élément appartient ou non à l’ensemble.

En dehors de toute considération philosophique sur la nature des indivisibles, les déterminations d’aire et de volumes faites par Cavalieri sont basées sur le principe portant son nom, qui peut être formulé comme suit:

Si deux figures planes coupées par un ensemble de droites parallèles se croisent, sur chacune de ces droites, des accords égaux, les deux figures sont équivalentes ; si les accords relatifs à une seule droite de l’ensemble ont un rapport constant, le même rapport s’obtient entre les deux figures.

De même, dans l’espace : si les sections de deux solides obtenues au moyen de plans parallèles l’un à l’autre sont équivalentes deux à deux, les deux solides sont équivalents; si les deux sections obtenues avec un plan donné ont un rapport constant lorsque le plan est varié, les deux solides ont un rapport égal à celui de deux de leurs sections obtenues avec un même plan.

Du point de vue de l’analyse infinitésimale moderne, le principe de Cavalieri affirme en substance que deux intégrales sont égales si les intégrandes sont égales et que les limites d’intégration sont également égales. De plus, une constante qui apparaît comme un multiplicateur dans l’intégrande peut être réalisée du signe d’intégration sans faire varier la valeur de l’intégrale.

Cependant, le concept d’intégrale, selon la définition de A. Cauchy, n’était pas précisément dans la pensée mathématique de Cavalieri, mais a plutôt été examiné par P. Mengoli, son disciple et successeur à la chaire de Bologne. Cavalieri a poursuivi de nombreuses voies pour démontrer son principe, et elles se trouvent dans le livre VII de sa géométrie.

Considérons le cas en géométrie plane, où, selon les hypothèses du principe énoncé, les accords correspondants des figures données sont égaux par paires (voir Fig. 1). Cavalieri ensuite, par une translation dans le sens des droites parallèles en question, superpose deux accords égaux. Les parties de la figure qui se superposent ainsi sont donc équivalentes ou plutôt égales, car congruentes. Les parties restantes, ou résidus, qui ne sont pas superposées, satisferont toujours aux conditions relatives aux accords qui étaient remplies dans la figure d’origine. De cette façon, on peut procéder à des superpositions successives par translation, et il est impossible à un point donné des opérations successives qu’une figure soit épuisée à moins que l’autre ne le soit également. Cavalieri conclut

que les chiffres donnés sont donc équivalents. L’argument est ingénieux et intuitif, mais il contient un point faible en ce qu’il n’est pas prouvé que les résidus, dans les opérations décrites, s’épuisent; il n’est pas non plus établi que la somme de ces résidus peut être rendue inférieure à une surface donnée. Néanmoins, Cavalieri, en réponse aux objections soulevées par Guldin, affirme que l’élimination des résidus dans l’une des figures, donc dans l’autre, peut être effectuée au moyen d’opérations infinies. L’autre démonstration

du principe de Cavalieri est faite par la méthode d’épuisement des anciens et est rigoureuse pour les figures qui remplissent certaines conditions: c’est-à-dire que la démonstration est valable pour les figures qui, en plus de satisfaire l’hypothèse du principe, entrent dans l’une des classes suivantes:

(1) Parallélogrammes généralisés, à savoir des figures comprises entre des droites parallèles p et l qui coupent des accords de longueur constante sur des droites allant dans le même sens que p et l (voir fig. 2).

(2) Les figurae in alteram partem deficientes (« figures déficientes dans une autre partie ») sont comprises entre deux lignes parallèles p et l et, de plus, les accords interceptés par une ligne transversale parallèle à p diminuent à mesure que la distance de la transversale par rapport à la droite p augmente (voir Fig. 3).

(3) Figures pouvant être décomposées en un nombre fini de parties appartenant à l’une ou l’autre des deux classes précitées (voir fig. 4).

Malgré les démonstrations mentionnées et le succès de la méthode des indivisibles, les mathématiciens contemporains, plus attachés aux traditions des mathématiques classiques, entrèrent dans une polémique avec Cavalieri, ignorant qu’Archimède lui-même avait déjà utilisé des méthodes similaires à celles auxquelles ils s’opposaient. Tel est le cas de Guldin, qui a eu une discussion intéressante avec Cavalieri qui est résumée dans l’exercice III des Exercitationes geomeiricae sex.

De nombreux résultats obtenus laborieusement par la méthode de l’épuisement ont été obtenus simplement et rapidement grâce au principe Cavalieri: par exemple, l’aire d’une ellipse et le volume d’une sphère. Grâce à ses méthodes, Cavalieri avait trouvé le résultat qui, dans les symboles d’aujourd’hui, s’exprimerait comme suit:

pour tout nombre naturel n (n = 1,2,3,…). Cavalieri ignorait que ce résultat, qui apparaît dans la Centuria di varii problemi (1639), avait déjà été trouvé dès 1636 par Fermat et Roberval, qui y étaient arrivés par d’autres moyens.

Au moyen de la méthode des indivisibles et sur la base d’un lemme établi par son élève G. A. Rocca, Cavalieri a prouvé le théorème de Guldin sur l’aire d’une surface et le volume des solides en rotation. Ce théorème, qui apparaît également dans certaines éditions des œuvres de Pappus, bien que considéré comme une interpolation, a été énoncé dans le Centrobaryca de Guldin, qui a prouvé son exactitude dans certains cas particuliers, sans toutefois fournir la preuve générale.

Les progrès les plus significatifs dans le domaine de l’analyse infinitésimale selon les lignes énoncées par Cavalieri ont été réalisés par Evangelista Torricelli. Dans son Arithmetica infinitorum (1655), John Wallis utilise également les indivisibles.

L’opinion de la méthode Cavalieri exprimée par Pascal dans ses Letires de Dettonville (1658) est particulièrement intéressante: « Tout ce qui est démontré par les vraies règles des indivisibles sera également et nécessairement démontré à la manière des anciens. C’est pourquoi, dans ce qui suit, je n’hésiterai pas à utiliser le langage même des indivisibles. »Bien que dans les années suivantes dans le domaine de l’analyse de l’infinitésimal, de nouvelles idées aient remplacé les anciennes sur les indivisibles, les méthodes de Cavalieri et de Torricelli ont exercé une profonde influence, comme Leibniz l’a reconnu dans une lettre à G. Manfredi:  » Caval dans la géométrie la plus sublime, les initiateurs et les promoteurs qui ont accompli une tâche de yeoman dans ce domaine étaient Cavalieri et Torricelli; plus tard, d’autres ont progressé encore plus loin en se prévalant du travail de Cavalieri et Torricelli. »De plus, Newton, tout en assumant dans ses Principia une attitude critique en matière d’indivisibles, a néanmoins utilisé dans son Tractatus de quadratura curvarum le terme fluens pour indiquer une grandeur variable — un terme précédemment utilisé par Cavalieri dans ses Exerciationes geomeiricae sex.

Dans la proposition I du Livre I des Géométries, on trouve sous forme géométrique le théorème de la valeur moyenne, également connu sous le nom de théorème de Cavalieri. Le théorème est présenté comme la solution du problème suivant: Étant donné une courbe plane, munie d’une tangente en chaque point et passant par deux points A et B, pour trouver une droite parallèle à AB et tangente à la courbe en un point de la courbe entre A et B. Analytiquement, nous avons: Si la fonction réelle f(x) de la variable réelle x est continue dans l’intervalle (a, b) et en tout point de cet intervalle elle est différentiable, au moins un point de existe tel que a <<b, de sorte que les logarithmes

ont été introduits en mathématiques dans les travaux de Napier en 1614. En Italie, de tels auxiliaires précieux pour le calcul numérique ont été introduits par Cavalieri, ainsi que des développements remarquables en trigonométrie et des applications à l’astronomie. À cet égard, on peut citer Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639), et Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). Le Directorium, la Pratica et la Trigonométrie contiennent d’ailleurs d’excellentes tables trig-onométriques logarithmiques.

Dans la Centurie, Cavalieri a traité de sujets tels que la définition générale des surfaces cylindriques et coniques, les formules pour déterminer le volume d’un fût et la capacité d’une voûte à arcs en ogive, et les moyens d’obtenir à partir des logarithmes de deux nombres le logarithme de la somme ou de la différence, un problème qui a ensuite été repris par divers mathématiciens. Gauss entre autres. Lo specchio ustorio (« Le Verre brûlant ») contient des données historiques intéressantes sur l’origine de la théorie des coniques chez les Grecs; selon Cavalieri, les origines se trouvent dans les exigences gnomoniques. Dans ce travail, nous trouvons une théorie des coniques avec des applications à l’optique et à l’acoustique. Parmi les premiers, on note l’idée du télescope réfléchissant, dont — selon Piola et Favaro – Cavalieri fut le premier inventeur, précédant Gregory et Newton; détermination de la distance focale d’une lentille de sphéricité inégale et explications du verre brûlant d’Archimède, Dans le domaine de l’acoustique, Cavalieri a tenté la reconstruction archéologique des vases résonants mentionnés par Vitruve et utilisés dans les théâtres pour amplifier le son.

Dans cet ouvrage, diverses constructions ponctuelles de conies apparaissent. Plus intéressantes encore sont les constructions données dans les Geometria et dans les Exercitationes, obtenues au moyen de crayons projectifs antérieurs au travail de Steiner.

Une question délicate concerne les activités astrologiques dans lesquelles Cavalieri se livrait en vertu de sa charge, mais, comme l’a souligné D’Aviso, il était opposé aux prédictions basées sur la position des étoiles et l’affirme à la fin de sa Pratica astrologica.

BIBLIOGRAPHIE

I. Ouvrages originaux. Les œuvres de Cavalieri comprennent Directorium generate uranometricum (Bologne, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologne, 1635; 2e éd., 1653). Traduit en russe par S. J. Lure (Moscou-Leningrad, 1940). Traduit en italien, B Luc Lucio Lombardo-Radice, comme géométrie des Indivisibles par Bonaventura Cavalieri, le Compendium des règles des triangles avec leurs démonstrations (Bologne, 1638); Centuria di varii problemi (Bologne, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bologne, 1639); Table logarithmique Prima. Deuxième table logarithmique. Annotations dans l’ouvrage et corrections des erreurs les plus notables (Bologne, s.d.); annexe de la nouvelle pratique astrologique (Bologne. 1640); Triganometria plana, ET sphaerica, linearis et logarithmica (Bologne, 1643); Traité de la roue planétaire perpétuelle (Bologne, 1646); et geometr

II. Lit secondaire Voir U. D’aviso, « vie de P. Buonaventura Cavalieri », dans Traité de La Sphère (Rome 1682); G. Piola, éloge de Bonaventura Cavalieri (Milan, 1844); A. Bonaventura Cavalieri dans l’étude de Bologne (Bologne, 1885); E. Bortolotti, « les progrès de la méthode infinitésimale dans le travail géométrique de Torricelli », dans périodique de matermatiche, 4e ser., 8 (1928), 19–59; « La découverte et les généralisations ultérieures d’un théorème fondamental du Calcul intégral », dans Archivio di Storia della scienza (1924), pp. 205-227; F. Conforto, « les travaux scientifiques de Bonaventura Cavalieri et Evangelista Torricelli », dans Actes de la conférence de Pise (23-27 sept. 1948), p. 35-56; A. Masotti. « Commémoration de Bonaventura Cavalieri », dans les rapports Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, partie des actes générables et officiels, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, les origines du calcul infinitésimal à l’ère moderne (Milan, 1962), pp. 43-53; G. Cellini. « Les Indivisibles dans la pensée mathématique et philosophique de Bonaventure Cavalieri », dans Journal of mathematics, 4e ser., 44 (1966), 1-21; « les démonstrations de chevaliers de son., principe « , ibid., p. 85 à 105.

Ettore Carruccio