Biografía

La madre de Élie Cartan fue Anne Florentine Cottaz (1841-1927) y su padre fue Joseph Antoine Cartan (1837-1917), que era herrero. Rastreemos a estas familias una generación más. Anne Cottaz era la hija de François Cottaz y Françoise Mallen, mientras que Joseph Cartan era el hijo de Benoît Bordel Cartan (que era molinero) y Jeanne Denard. Joseph y Anne Cartan tuvieron cuatro hijos: Jeanne Marie Cartan (1867-1931); Élie Joseph Cartan, el sujeto de esta biografía; Léon Cartan (1872-1956), que siguió a su padre y se unió al negocio de herrería familiar; y Anna Cartan (1878-1923), que se convirtió en profesora de matemáticas. Élie vivía con su familia en una casa en Square Champ-de-Mars en Dolomieu. Recordó su infancia con el (citado en): –

… golpes del yunque, que comenzaban cada mañana desde el amanecer. … su madre, durante esos raros minutos en que estaba libre de cuidar de los niños y de la casa, estaba trabajando con una rueca.

La familia era muy pobre y, como Élie Cartan dijo más tarde, sus padres eran (citados en ):-

… campesinos sin pretensiones que durante sus largas vidas demostraron a sus hijos un ejemplo de trabajo realizado y alegre y de aceptación valiente de las cargas.

A finales del siglo XIX en Francia no era posible que los niños de familias pobres obtuvieran una educación universitaria. Fueron las habilidades excepcionales de Élie, junto con mucha suerte, lo que hizo posible una educación de alta calidad para él. Cuando estaba en la escuela primaria mostró su notable talento que impresionó a sus profesores M Collomb y M Dupuis. Este último dijo: –

Élie Cartan era un chico tímido, pero sus ojos brillaban con una luz inusual de gran inteligencia, y esto se combinaba con una excelente memoria.

Cartan nunca se habría convertido en un matemático líder si no fuera por el joven inspector de escuelas, más tarde importante político, Antonin Dubost (1844-1921). Dubost fue en este momento empleado como inspector de escuelas primarias y fue en una visita a la escuela primaria en Dolomieu, en los Alpes franceses, que descubrió a la notable joven Élie. Dubost animó a Élie a participar en el concurso para obtener fondos estatales que le permitieran asistir a un Liceo. Su maestro M Dupuis le preparó para presentarse a los exámenes competitivos que se celebraron en Grenoble. Una excelente actuación le permitió entrar en el Collège de Vienne, al que asistió durante los cinco años 1880-1885. A lo largo de su carrera escolar, Dubost continuó apoyando al joven y obteniendo más apoyo financiero para él. Después del Collège de Vienne, estudió en el Liceo de Genoble durante los dos años 1885-87 antes de completar su educación escolar, pasando un año en el Liceo Janson-de-Sailly en París, donde se especializó en matemáticas. El estipendio del estado se amplió para permitirle estudiar en la École Normale Supérieure de París.Cartan se convirtió en estudiante en la École Normale Supérieure en 1888, donde asistió a cursos de los principales matemáticos de la época, incluidos Henri Poincaré, Charles Hermite, Jules Tannery, Gaston Darboux, Paul Appell, Émile Picard y Édouard Goursat. Cartan se graduó en 1891 y luego sirvió durante un año en el ejército antes de continuar sus estudios para su doctorado en la École Normale Supérieure. Mientras Cartan estaba en el ejército, donde alcanzó el rango de sargento, su amigo Arthur Tresse (1868-1958) estudiaba con Sophus Lie en Leipzig. A su regreso, Tresse le contó a Cartan sobre el notable trabajo de Wilhelm Killing sobre la estructura de grupos finitos continuos de transformaciones. Cartan se dedicó a completar la clasificación de Killing y pudo beneficiarse enormemente de una visita de seis meses de Sophus Lie a París en 1892. Durante los dos años 1892-94 que Cartan pasó trabajando en su tesis doctoral, fue apoyado por una prestigiosa beca de la Fundación Peccot. La tesis doctoral de Cartan de 1894 contiene una importante contribución a las álgebras de Lie, donde completó la clasificación de las álgebras semisimples sobre el campo complejo que la matanza había encontrado esencialmente. Sin embargo, aunque Matar había demostrado que solo ciertas álgebras simples excepcionales eran posibles, no había demostrado que, de hecho, estas álgebras existen. Esto fue demostrado por Cartan en su tesis cuando construyó cada una de las álgebras de Lie simples excepcionales sobre el campo complejo. Sus primeros trabajos, publicados en 1893, fueron dos notas que indicaban sus resultados sobre grupos de mentiras simples. Robert Bryant escribe en la nota de 1893: –

… Über die einfachen Transformationgruppen … anuncia, en particular, que ha encontrado ejemplos de grupos de Mentiras correspondientes a cada uno de los sistemas de raíces «excepcionales» encontrados al Matar. Una de las cosas que encuentro notables de este trabajo es la forma en que Cartan encontró interpretaciones de los grupos excepcionales como grupos de transformación.

Cartan publicó todos los detalles de la clasificación en un tercer documento que fue esencialmente su tesis doctoral. Obtuvo su doctorado en 1894 en la Facultad de Ciencias de la Sorbona. Luego fue nombrado para la Universidad de Montpellier, donde dio conferencias de 1894 a 1896. Después de esto, fue nombrado profesor en la Universidad de Lyon, donde enseñó de 1896 a 1903. En Lyon, en 1903, se casó con Marie-Louise Bianconi (1880-1950), la hija de Pierre-Louis Bianconi, que había sido profesor de química pero se había convertido en inspector en Lyon. Élie y Marie-Louise Cartan tuvieron cuatro hijos: Henri Paul Cartan, Jean Cartan, Louis Cartan y Hélène Cartan. El hijo mayor, Henri Cartan, iba a producir un trabajo brillante en matemáticas y tiene una biografía en este archivo. Los otros dos hijos murieron trágicamente. Jean, un compositor de música fina, murió de tuberculosis en 1932 a la edad de 25 años, mientras que su hijo Louis se convirtió en físico en la Universidad de Poitiers. Fue miembro de la Resistencia que luchaba en Francia contra las fuerzas de ocupación alemanas. Después de su arresto en febrero de 1943, la familia no recibió más noticias, pero temían lo peor. Solo en mayo de 1945 se enteraron de que había sido decapitado por los nazis en diciembre de 1943. Para cuando recibieron la noticia del asesinato de Luis por los alemanes, Cartan tenía 75 años y fue un golpe devastador para él. Su cuarto hijo fue una hija, Hélène, que se convirtió en profesora de matemáticas en el Liceo Fénelon.En 1903 Cartan fue nombrado profesor en la Universidad de Nancy, pero también enseñó en el Instituto de Ingeniería Eléctrica y Mecánica Aplicada. Permaneció allí hasta 1909, cuando se mudó a París :-

En 1909 Cartan construyó una casa en su pueblo natal Dolomieu, donde pasaba regularmente sus vacaciones. En Dolomieu Cartan continuó su investigación científica, pero a veces fue a la herrería familiar y ayudó a su padre y hermano a soplar el fuelle del herrero.

Su nombramiento en 1909 en París fue como profesor asistente en la Sorbona, pero tres años más tarde fue nombrado para la Cátedra de Cálculo Diferencial e Integral en París. De 1915 a 1918, durante la Primera Guerra Mundial, fue reclutado en el ejército, donde continuó manteniendo su antiguo rango de sargento. Pudo continuar su carrera matemática y, al mismo tiempo, trabajar en el hospital militar adjunto a la École Normale Supérieure. Fue nombrado Profesor de Mecánica Racional en 1920, y luego Profesor de Geometría Superior de 1924 a 1940. Se retiró en 1940, pero no dejó de enseñar en este punto para que pasó a enseñar en la École Normale Supérieure para niñas.Cartan trabajó en grupos continuos, álgebras de Lie, ecuaciones diferenciales y geometría. Su trabajo logró una síntesis entre estas áreas. Añadió mucho a la teoría de los grupos continuos que había sido iniciada por Lie. Después del trabajo de su tesis sobre los grupos de Lie continuos finitos, más tarde clasificó las álgebras de Lie semisimples sobre el campo real y encontró todas las representaciones lineales irreducibles de las álgebras de Lie simples. Se volvió a la teoría de álgebras asociativas e investigó la estructura de estas álgebras sobre el campo real y complejo. Joseph Wedderburn completaría el trabajo de Cartan en esta área.A continuación, dirigió su atención a las representaciones de grupos de mentiras semisimples. Su trabajo es una síntesis sorprendente de la teoría de la Mentira, la geometría clásica, la geometría diferencial y la topología que se encuentra en todo el trabajo de Cartan. Aplicó el álgebra de Grassmann a la teoría de las formas diferenciales exteriores. Desarrolló esta teoría entre 1894 y 1904 y aplicó su teoría de las formas diferenciales exteriores a una amplia variedad de problemas en geometría diferencial, dinámica y relatividad. Dieudonné escribe en :-

Discutió un gran número de ejemplos, tratándolos en un estilo extremadamente elíptico que solo fue posible gracias a su asombrosa visión algebraica y geométrica y que ha desconcertado a dos generaciones de matemáticos.

En 1899 Cartan publicó su primer artículo sobre el problema de Pfaff Sobre ciertas expresiones différentielles et le probleme de Pfaff Ⓣ. En este documento Cartan dio la primera definición formal de una forma diferencial. Victor Katz escribe: –

Su definición era «puramente simbólica»; a saber, definió «expresiones diferenciales» como expresiones homogéneas formadas por un número finito de adiciones y multiplicaciones de los diferenciales dx, dy, d z,. ., y ciertas funciones de coeficiente diferenciables.

En los años siguientes escribió varios otros documentos importantes sobre este tema, incluyendo Sur l’intégration de certaines systèmes de Pfaff de caractère deux Ⓣ (1901). En 1936-37 impartió una serie de conferencias en la Sorbona que cubrieron sus contribuciones al tema. Las conferencias se publicaron en 1945 en el libro Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques Ⓣ.Los documentos de Cartan sobre ecuaciones diferenciales son en muchos sentidos su trabajo más impresionante. Una vez más, su enfoque fue totalmente innovador y formuló problemas para que fueran invariantes y no dependieran de las variables particulares o funciones desconocidas. Esto permitió a Cartan definir lo que es la solución general de un sistema diferencial arbitrario, pero no solo estaba interesado en la solución general, sino que también estudió soluciones singulares. Hizo esto al pasar de un sistema dado a un nuevo sistema asociado cuya solución general dio las soluciones singulares al sistema original. No pudo demostrar que todas las soluciones singulares fueron dadas por su técnica, sin embargo, y esto no se logró hasta cuatro años después de su muerte.A partir de 1916 publicó principalmente sobre geometría diferencial. Klein ‘Programa Erlanger’ fue visto como inadecuado como una descripción general de la geometría por Weyl y Veblen, y Cartan iba a desempeñar un papel importante. Examinó un espacio en el que actuaba un grupo arbitrario de transformaciones de Lie, desarrollando una teoría de marcos móviles que generaliza la teoría cinemática de Darboux. De hecho, este trabajo llevó a Cartan a la noción de un haz de fibras, aunque no da una definición explícita del concepto en su trabajo.Cartan contribuyó aún más a la geometría con su teoría de espacios simétricos que tienen sus orígenes en documentos que escribió en 1926. En estos desarrolló ideas estudiadas por primera vez por Clifford y Cayley y utilizó métodos topológicos desarrollados por Weyl en 1925. Este trabajo se completó en 1932 y proporciona :-

… uno de los pocos casos en los que el iniciador de una teoría matemática fue también el que la llevó a su finalización.

Cartan pasó luego a examinar problemas sobre un tema estudiado por primera vez por Poincaré. En esta etapa, su hijo, Henri Cartan, estaba haciendo importantes contribuciones a las matemáticas y Élie Cartan fue capaz de construir sobre teoremas probados por su hijo. Henri Cartan dijo :-

sabía más que yo acerca de los grupos Lie, y era necesario utilizar este conocimiento para la determinación de todos los dominios delimitados en círculos que admiten un grupo transitivo. Así que escribimos un artículo sobre el tema juntos . Pero en general mi padre trabajaba en su esquina, y yo en la mía.

Cartan descubrió la teoría de los spinors en 1913. Estos son vectores complejos que se utilizan para transformar rotaciones tridimensionales en representaciones bidimensionales y que más tarde jugaron un papel fundamental en la mecánica cuántica. Cartan publicó la obra de dos volúmenes Leçons sur la théorie des spineurs in en 1938: –

En el prefacio de los dos volúmenes … M Cartan señala que, en su forma matemática más general, los spinors fueron descubiertos por él en 1913 en su trabajo sobre representaciones lineales de grupos simples, y hace hincapié en su conexión … con números hipercomplejos de Clifford-Lipschitz. … El libro de M Cartan será indispensable para los matemáticos interesados en los aspectos geométricos y físicos de la teoría de grupos, dando, como lo hace, un estudio completo y autorizado de la teoría algebraica de las espínoras tratadas desde un punto de vista geométrico.

Hemos proporcionado una lista, lo más completa posible, de todos los libros en francés o inglés de Cartan en ESTE ENLACE.
Hemos dado breves extractos de reseñas de algunos de estos libros en ESTE ENLACE.En cuanto a sus habilidades de enseñanza, Shiing-Shen Chern y Claude Chevalley escriben :-

Cartan fue un excelente maestro; sus conferencias fueron experiencias intelectuales gratificantes, que dejaron al estudiante con una idea generalmente equivocada de que había captado todo lo que había sobre el tema. Por lo tanto, es más sorprendente que durante mucho tiempo sus ideas no ejercieron la influencia que tan ricamente merecían tener en los jóvenes matemáticos. Esto fue quizás en parte debido a la extrema modestia de Cartan. A diferencia de Poincaré, no trató de evitar que los estudiantes trabajaran bajo su dirección. Sin embargo, tenía demasiado sentido del humor para organizar a su alrededor el tipo de fanatismo entusiasta que ayuda a formar una escuela de matemáticas.

Es sin duda uno de los matemáticos más importantes de la primera mitad del siglo XX. Dieudonné escribe en: –

El reconocimiento de Cartan como matemático de primera categoría le llegó solo en su vejez; antes de 1930 Poincaré y Weyl fueron probablemente los únicos matemáticos prominentes que evaluaron correctamente sus poderes y profundidad poco comunes. Esto se debió en parte a su extrema modestia y en parte al hecho de que en Francia la tendencia principal de la investigación matemática después de 1900 estaba en el campo de la teoría de funciones, pero principalmente a su extraordinaria originalidad. No fue hasta después de 1930 que una generación más joven comenzó a explorar el rico tesoro de ideas y resultados que yacía enterrado en sus papeles. Desde entonces, su influencia ha ido en constante aumento, y con la excepción de Poincaré y Hilbert, probablemente nadie más ha hecho tanto para dar a las matemáticas de nuestros días su forma y puntos de vista actuales.

J H C Whitehead escribe:

Élie Cartan es uno de los grandes arquitectos de la matemática contemporánea.

Los autores de write:-

Cartan fue uno de los principales matemáticos de su generación, particularmente influyente por su trabajo en geometría y la teoría de Álgebras de Lie. En los sombríos años posteriores a la Primera Guerra Mundial fue uno de los matemáticos más prominentes de Francia. Con el tiempo se convirtió en una influencia notable en el grupo Bourbaki, del cual su hijo Henri, otro matemático distinguido, fue uno de los siete miembros fundadores.

William Hodge considera a Cartan como:-

… un gran genio matemático que toma la escena en una amplia encuesta, y selecciona lo esencial, de modo que con un golpe maestro va directo al corazón de un problema. Su conocimiento de innumerables casos especiales, y su dominio de la intrincada argumentación, le permitieron avanzar en su tema a pasos agigantados, y dejar una marca duradera en la vasta gama de actividades matemáticas. Con su muerte, el mundo ha perdido a uno de los grandes arquitectos de las matemáticas modernas

Robert Hermann escribe :-

Cartan es sin duda una de las mentes más grandes y originales de las matemáticas, cuyo trabajo en grupos de Lie, geometría diferencial y la teoría geométrica de ecuaciones diferenciales es la base de gran parte de lo que hacemos hoy en día. En mi opinión, su lugar en matemáticas es similar al de los grandes maestros de principios de siglo en otras áreas de la vida intelectual. Así como Freud fue influenciado por la visión mecanicista del mundo de la ciencia del siglo XIX, pero usó este trasfondo para crear algo nuevo y revolucionario que ha influido profundamente en el pensamiento del siglo XX, Cartan construyó, sobre una base de las matemáticas que estaba de moda en la década de 1890 en París, Berlín y Gotinga, un edificio matemático cuyas implicaciones todavía estamos investigando. Su trabajo fue altamente intuitivo y geométrico, pero también se basó en una combinación formidable de métodos originales de cálculo y análisis, que van desde el álgebra hasta la topología.

Por sus destacadas contribuciones Cartan recibió muchos honores, pero como Dieudonné explicó en la cita anterior, estos no llegaron hasta finales de su carrera. Recibió títulos honoríficos de la Universidad de Lieja en 1934, y de la Universidad de Harvard en 1936. En 1947 recibió tres títulos honoríficos de la Universidad Libre de Berlín, la Universidad de Bucarest y la Universidad Católica de Lovaina. Al año siguiente fue galardonado con un doctorado honoris causa por la Universidad de Pisa. Fue elegido miembro de la Academia Polaca de Ciencias en 1921, de la Academia Noruega de Ciencias y Letras en 1926, de la Accademia dei Lincei en 1927 y elegido miembro de la Royal Society de Londres el 1 de mayo de 1947. Elegido miembro de la Academia Francesa de Ciencias el 9 de marzo de 1931, fue vicepresidente de la Academia en 1945 y Presidente en 1946. Se convirtió en miembro honorario de la Sociedad Matemática de Londres en 1939. Un cráter en la luna lleva su nombre.Se celebró una celebración el 18 de mayo de 1939 en la Sorbona para celebrar el 70 cumpleaños de Cartan. Muchos homenajes fueron realizados por amigos y colegas que describieron sus contribuciones a una amplia gama de diferentes áreas de las matemáticas. En 1969, para celebrar el 100 aniversario del nacimiento de Cartan, se celebró una conferencia en Bucarest. Las actas se publicaron y nuestra lista de referencias contiene varios documentos presentados en esa conferencia, a saber,,,,,, y . La conferencia ‘El Patrimonio Matemático de Élie Cartan’ se celebró en Lyon, Francia, del 25 al 29 de junio de 1984 para celebrar el 115 aniversario del nacimiento de Cartan.