Betrachten Sie das folgende Spiel: Ich schreibe eine zufällige reelle Zahl zwischen 0 und 1 auf und bitte Sie, sie zu erraten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie es richtig erraten? Die Antwort ist Null. Sie fragen sich vielleicht: „Aber es ist mir möglich, die richtige Antwort zu erraten! Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit größer als Null sein muss!“ und Sie wären berechtigt, sich zu wundern, aber Sie würden sich irren. Es ist wahr, dass Ereignisse, die unmöglich sind, keine Wahrscheinlichkeit haben, aber das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht der Fall. Im Rest dieses Beitrags zeigen wir, warum die obige Antwort tatsächlich Null war und warum dies Ihrer aktuellen Weltanschauung keinen irreparablen Schaden zufügen muss.

Lassen Sie uns zunächst zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Sie meine Zahl richtig erraten, Null ist. Sei die fragliche Wahrscheinlichkeit. Die Idee ist zu zeigen, dass für jede positive reelle Zahl . Wir wissen, dass , und wenn es kleiner als EINE positive Zahl ist, muss es Null sein! Das Argument lautet wie folgt. Nennen wir die Nummer, die ich zufällig ausgewählt habe . Stellen Sie sich vor, das Intervall ist weiß gestrichen. Wählen Sie eine beliebige positive reelle Zahl . Dann gibt es ein Unterintervall der Länge innerhalb des Intervalls , das enthält. Stellen Sie sich vor, dass dieses Unterintervall schwarz lackiert ist, also haben wir jetzt einen schwarzen Streifen der Länge auf dem ursprünglichen weißen Streifen, und die Nummer, die ich gewählt habe, war im schwarzen Streifen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihre Vermutung auf dem schwarzen Streifen landet? Es muss sein, da dies der Anteil des weißen Streifens ist, der bedeckt ist. Damit Ihre Vermutung jedoch meiner Zahl entspricht, muss sie im schwarzen Streifen landen, sodass Ihre Wahrscheinlichkeit des Erratens nicht größer sein kann als die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl auf dem schwarzen Streifen zu erraten! Daher .

Sie sollten jetzt davon überzeugt sein, dass dieses Ereignis tatsächlich null Wahrscheinlichkeit hat, aber es ist immer noch wahr. Dieses Phänomen beruht auf der folgenden geometrischen Tatsache: Es ist möglich, eine nicht leere Menge mit Null „Volumen“ zu haben. Der Begriff „Volumen“ hängt vom Kontext ab; Im Fall des Punktes auf dem Intervall ist „Volumen“ Länge. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das im Intervall gemessen wird, ist gleich seiner Länge, und ein einzelner Punkt im Intervall hat die Länge Null, ist jedoch immer noch eine nicht leere Teilmenge des Intervalls! Wahrscheinlichkeit ist im Grunde ein Maß für „Volumen“, wobei der gesamte Raum „Volumen“ gleich 1 hat. Indem wir die Wahrscheinlichkeit auf diese Weise definieren, können wir alle Arten von sauberen Fakten mit etwas beweisen, das als Maßtheorie bezeichnet wird.

Um es zusammenzufassen, sollten Sie Folgendes aus diesem Beitrag gelernt haben:

• Die Wahrscheinlichkeit der zufälligen Auswahl einer bestimmten Zahl im Intervall ist gleich Null
• Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von Null sind weiterhin möglich