(Geb. Mailand, Italien, wahrscheinlich 1598; gest. Bologna, Italien, 30.November 1647). Mathematik.

Cavalieris Geburtsdatum ist ungewiss; Das oben angegebene Dale ist das von Urbano d’Aviso, einem Schüler und Biographen von Cavalieri, zitierte. Der Name Bonaventura war nicht sein Taufname, sondern der seines Vaters. Es ist der Name, den der Mathematiker annahm, als er als Junge in den Orden der Jesuaten eintrat, Anhänger der Augustinusregel. Cavalieri wurde 1615 in den Nebenorden in Mailand empfangen und 1616 in das Jesuati-Kloster in Pisa versetzt, wo er das Glück hatte, den Benediktinermönch Benedetto Castelli zu treffen, der bei Galileo in Padua studiert hatte und zu dieser Zeit Dozent für Mathematik in Pisa war. Durch ihn wurde Cavalieri in das Studium der Geometrie eingeweiht. Er absorbierte schnell die klassischen Werke von Euklid, Archimedes. Apollonius, und Pappus, demonstriert solche außergewöhnliche Begabung, dass er manchmal für seinen Lehrer an der Universität von Pisa ersetzt. Er wurde von Castelli Galileo vorgestellt, dessen Schüler er immer für sich hielt. Er schrieb Galileo mindestens 112 Briefe, die in der nationalen Ausgabe der Opere di Galileo enthalten sind; Nur zwei von Galileos Briefen an Cavalieri sind uns jedoch überliefert.Im Jahre 1620 kehrte Cavalieri nach Rom auf Befehl seiner Vorgesetzten, und im Jahre 1621 wurde er zum Diakon Kardinal Federigo Borromeo, der Fra ‚Bonaventura in großer Wertschätzung und gerne diskutiert Mathematik mit ihm ordiniert; der Kardinal schrieb anschließend einen Brief empfiehlt ihn Galileo. Cavalieri war kaum einundzwanzig, als er Theologie am Kloster San Girolamo in Mailand unterrichtete und durch seine profunden Kenntnisse des Fachs auf sich aufmerksam machte.Während seiner Mailänder Periode (1620-1623) entwickelte Cavalieri seine ersten Ideen über die Methode der Unteilbaren, seinen Hauptbeitrag zur Mathematik. Von 1623 bis 1626 war er Prior von St. Peter in Lodi. Später war er Gast in Rom von Monsignore Ciampoli, dem er später seine Geometria widmete. Von 1626 bis 16291 war er Prior des Klosters der Jesuaten in Parma und hoffte vergeblich, an der dortigen Universität zum Dozenten für Mathematik ernannt zu werden. Im Herbst 1626 erkrankte er während einer Reise von Parma nach Mailand an der Gicht, an der er seit seiner Kindheit gelitten hatte und die ihn bis zu seinem Lebensende plagen sollte. Diese Krankheit hielt ihn einige Monate in Mailand. Am 16.Dezember 1627 gab er Galileo und Kardinal Borromeo bekannt, dass er seine Geometrien vollendet habe. Als er 1628 erfuhr, dass durch den Tod des Astronomen G. A. Magini ein Dozentenposten in Bologna frei geworden war, schrieb er Galileo um Unterstützung bei der Sicherung der Ernennung. Galileo, im Jahre 1629, schrieb an Cesare Marsili, ein Herr von Bologna und Mitglied der Accademia dei Lincei, der beauftragt worden war, einen neuen Dozenten für Mathematik. In seinem Brief sagte Galileo von Cavalieri: „Wenige, wenn überhaupt, seit Archimedes, haben sich so weit und so tief in die Wissenschaft der Geometrie vertieft.“ Zur Unterstützung seiner Bewerbung für die Bologna-Position schickte Cavalieri Marsili sein Geometrie-Manuskript und eine kleine Abhandlung über Kegelschnitte und ihre Anwendungen in der Optik. Galileis Zeugnis, wie Marsili ihm schrieb. Veranlasste die „Herren des Regiments“, den ersten Lehrstuhl für Mathematik Cavalieri anzuvertrauen, der ihn von 1629 bis zu seinem Tod ununterbrochen innehatte.

Zur gleichen Zeit wurde er zum Prior eines Klosters seines eigenen Ordens in Bologna ernannt, insbesondere in der Kirche Santa Maria della Mascarella, die es ihm ermöglichte, sowohl seine Arbeit in Mathematik als auch seine Universitätslehre ungehindert fortzusetzen. Während der Zeit, in der Cavalieri in Bologna lehrte, veröffentlichte er elf Bücher in dieser Stadt, darunter die Geometria (1635).Cavalieris Theorie, wie sie in diesem Werk und in anderen später veröffentlichten entwickelt wurde, bezieht sich auf eine Untersuchung in Infinitesimalen, die aus dem wiederbelebten Interesse an Archimedes ‚Werken resultiert, die während der Renaissance aus dem Griechischen ins Lateinische übersetzt wurden, mit Kommentaren. Die Übersetzungen von Tartaglia, Maurolico und Commandino werden zitiert, da sie als Ausgangspunkt für neue mathematische Entwicklungen dienten.Die einzigen Schriften des Archimedes, die den Mathematikern des siebzehnten Jahrhunderts bekannt waren, beruhten auf der strengen Erschöpfungsmethode, mit der die alten Mathematiker sich mit Fragen infinitesimalen Charakters befassten, ohne auf das Unendliche oder das tatsächliche Infinitesimale zurückzugreifen. Trotzdem waren die großen Mathematiker des siebzehnten Jahrhunderts so gründlich vom Geist des Archimedes durchdrungen, dass sie zu schätzen wussten, dass die alten Geometriker neben der „Methode der Erschöpfung“ eine handhabbarere und effektivere Methode für die Forschung gekannt haben müssen. Zu diesem Punkt schrieb Torricelli:

Ich sollte es nicht wagen zu behaupten, dass diese Geometrie der Unteilbaren tatsächlich eine neue Entdeckung ist. Ich würde eher glauben, dass die alten Geometriker sich dieser Methode bedienten, um die schwierigeren Theoreme zu entdecken, obwohl sie in ihrer Demonstration einen anderen Weg vorgezogen haben könnten, entweder um das Geheimnis ihrer Kunst zu verbergen oder um keinen Anlass zur Kritik durch heimtückische Kritiker zu geben. Was auch immer es war, es ist sicher, dass diese Geometrie eine wunderbare Ökonomie der Arbeit in den Demonstrationen darstellt und unzählige, fast unergründliche Theoreme durch kurze, direkte und bejahende Demonstrationen aufstellt, zu denen die Lehre der Alten nicht in der Lage war. Die Geometrie der Unteilbaren war in der Tat im mathematischen Dornbusch die sogenannte Königsstraße, die Cavalieri zuerst öffnete und als Gerät einer wunderbaren Erfindung für die Öffentlichkeit auslegte .

1906 wurde J. L. Heiberg fand in einem Palimpsest einer Bibliothek in Konstantinopel ein kleines Werk von Archimedes in Form eines Briefes an Eratosthenes, in dem eine Methode erläutert wurde, mit der Flächen, Volumen und Schwerpunkte bestimmt werden konnten. Diese Methode, die sich wiederum auf die Verfahren von Demokrit von Abdera bezog, betrachtete eine ebene Oberfläche als aus Akkorden parallel zu einer gegebenen geraden Linie und Feststoffe als aus ebenen Abschnitten parallel zueinander. Darüber hinaus wurden nach Archimedes Prinzipien der Statik angewendet, bei denen die Figuren, die als schwere Körper betrachtet wurden, in einer idealen Skala gewogen wurden. „Ich glaube“, sagte Archimedes, „daß die Menschen meiner Zeit und der Zukunft durch diese Methode noch andere Sätze finden könnten, die mir noch nicht in den Sinn gekommen sind“ (Rufini, II „Metodo“ di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità , S. 103). Die Herausforderung, die Archimedes stellte, wurde, wie wir wissen, von seinen Zeitgenossen nicht angenommen und geriet für viele Jahrhunderte in Vergessenheit.Das Konzept der Unteilbaren taucht manchmal flüchtig in der Geschichte des menschlichen Denkens auf: zum Beispiel in einer Passage des hebräischen Philosophen und Mathematikers Abraham bar Hiyya aus dem elften Jahrhundert (Savasorda); in gelegentlichen Spekulationen – mehr philosophisch als mathematisch — der mittelalterlichen Scholastik; in einer Passage von Leonardo da Vinci; in Keplers Nova stereometria doliorum (Linz, 1615). Nach einer Konzeption, die sich von Cavalieris unterscheidet, werden Unteilbare von Galileo in seinen Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze behandelt.In Cavalieri kommen wir zu einer rationalen Systematisierung der Methode der Unteilbaren, einer Methode, die nicht nur bei der Suche nach neuen Ergebnissen als nützlich erachtet wird, sondern auch, entgegen der Annahme von Archimedes, als gültig angesehen wird, wenn sie entsprechend modifiziert wird, um Theoreme zu demonstrieren.

An diesem Punkt stellt sich eine primäre Frage: Welche Bedeutung schrieb Cavalieri seinen Unteilbaren zu? Dieser Mathematiker, der mit den subtilen philosophischen Fragen im Zusammenhang mit dem Problem der Möglichkeit, kontinuierliche Größen durch Unteilbare zu konstituieren, vollkommen vertraut ist, versucht, eine von den Hypothesen des Subjekts unabhängige Methode zu etablieren, die unabhängig von dem in dieser Hinsicht gebildeten Konzept gültig wäre. Während Galileo behauptete, „Das Höchste und das Letzte, obwohl primäre Komponenten des Kontinuierlichen, sind unendlich unteilbar“ (Opere, VII, 745-750), wagte Cavalieri nicht zu behaupten, dass das Kontinuierliche aus unteilbaren Elementen besteht, über die er keine explizite Definition gab, noch klärte er, ob sie tatsächliche oder potentielle Infinitesimale waren. Es ist auch wahrscheinlich, dass Cavalieris Konzeption seiner Unteilbaren eine Veränderung erfahren hat und dass diese als tatsächliche Infinitesimale (wie die von Galileo) geboren wurden und zu potentiellen Infinitesimalen wurden (siehe G. Cellini). Es muss weiter darauf hingewiesen werden, nach L. Lombardo Radice, dass die Cavalieri-Ansicht der Unteilbaren uns eine tiefere Vorstellung von den Mengen gegeben hat: Es ist nicht notwendig, dass die Elemente der Menge zugewiesen oder zuordenbar sind; Vielmehr genügt es, dass ein genaues Kriterium existiert, um zu bestimmen, ob ein Element zur Menge gehört oder nicht.

Ganz abgesehen von irgendwelchen philosophischen Überlegungen über die Natur der Unteilbaren beruhen die von Cavalieri getroffenen Bestimmungen von Fläche und Volumen auf dem Prinzip seines Namens, das wie folgt formuliert werden kann:

Wenn zwei plane Figuren, die durch eine Menge paralleler gerader Linien geschnitten sind, auf jeder dieser geraden Linien gleiche Akkorde schneiden, sind die beiden Figuren äquivalent; Wenn die Akkorde, die zu einer einzelnen geraden Linie der Menge gehören, ein konstantes Verhältnis haben, ergibt sich das gleiche Verhältnis zwischen den beiden Figuren.

Ähnlich im Raum: Wenn die Abschnitte zweier Festkörper, die durch parallele Ebenen erhalten werden, zwei mal zwei äquivalent sind, sind die beiden Festkörper äquivalent; wenn die beiden Abschnitte, die mit einer gegebenen Ebene erhalten werden, ein konstantes Verhältnis haben, wenn die Ebene variiert wird, haben die beiden Feststoffe ein Verhältnis, das gleich dem von zwei ihrer Abschnitte ist, die mit derselben Ebene erhalten werden.

Aus der Sicht der modernen Infinitesimalanalyse bestätigt das Cavalieri-Prinzip im Wesentlichen, dass zwei Integrale gleich sind, wenn die Integranden gleich sind und auch die Integrationsgrenzen gleich sind. Weiterhin kann eine Konstante, die als Multiplikator im Integranden auftritt, aus dem Integrationszeichen heraus ausgeführt werden, ohne dass der Wert des Integrals variiert.Das Konzept des Integrals, nach der Definition von A. Cauchy, war jedoch nicht genau im mathematischen Denken von Cavalieri, sondern wurde von P. Mengoli, seinem Schüler und Nachfolger auf dem Lehrstuhl in Bologna, untersucht. Cavalieri verfolgte viele Wege, um sein Prinzip zu demonstrieren, und sie sind in Buch VII seiner Geometrie zu finden.

Betrachten wir den Fall in der ebenen Geometrie, wo nach den Hypothesen des angegebenen Prinzips die entsprechenden Akkorde der gegebenen Figuren paarweise gleich sind (siehe Abb. 1). Cavalieri überlagert dann durch eine Übersetzung in Richtung der betreffenden parallelen Geraden zwei gleiche Akkorde. Die so überlagerten Teile der Figur sind also äquivalent oder vielmehr gleich, weil sie deckungsgleich sind. Die verbleibenden Teile oder Residuen, die nicht überlagert sind, erfüllen weiterhin die Bedingungen in Bezug auf die Akkorde, die in der ursprünglichen Figur erfüllt waren. Auf diese Weise kann man mit aufeinanderfolgenden Überlagerungen durch Translation fortfahren, und es ist an einem gegebenen Punkt in den aufeinanderfolgenden Operationen unmöglich, dass eine Figur erschöpft ist, es sei denn, die andere ist es auch. Cavalieri kommt zu dem Schluss, dass die angegebenen Zahlen daher gleichwertig sind. Das Argument ist genial und intuitiv, aber es enthält einen Schwachpunkt darin, dass es nicht bewiesen ist, dass die Residuen in den beschriebenen Operationen erschöpft werden ;Es ist auch nicht erwiesen, dass die Summe solcher Residuen kleiner als eine gegebene Oberfläche gemacht werden kann. Dennoch behauptet Cavalieri in Beantwortung der von Guldin erhobenen Einwände, dass die Eliminierung der Residuen in einer der Figuren, also in der anderen, durch unendliche Operationen durchgeführt werden kann. Die andere Demonstration

des Cavalieri-Prinzips wird nach der Erschöpfungsmethode der Alten durchgeführt und ist eine strenge für die Figuren, die bestimmte Bedingungen erfüllen: Das heißt, die Demonstration gilt für Figuren, die zusätzlich zur Befriedigung der Hypothese des Prinzips in eine der folgenden Klassen fallen:

(1) Verallgemeinerte Parallelogramme, nämlich Figuren, die zwischen geraden parallelen Linien p und l enthalten sind, die Akkorde konstanter Länge auf Geraden schneiden, die in derselben Richtung wie p und l verlaufen (siehe Abb. 2).

(2)Die figurae in alteram partem deficientes („Figuren, die in einem anderen Teil mangelhaft sind“) sind zwischen zwei parallelen Linien p und l eingeschlossen, und zusätzlich nehmen die Akkorde, die von einer Querlinie parallel zu p abgefangen werden, mit zunehmendem Abstand der Querlinie von der geraden Linie p ab (siehe Abb. 3).

(3) Figuren, die in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegt werden können, die zu einer der beiden oben genannten Klassen gehören (siehe Abb. 4).Ungeachtet der erwähnten Demonstrationen und des Erfolgs der Methode der Unteilbaren gingen zeitgenössische Mathematiker, die mehr an den Traditionen der klassischen Mathematik festhielten, eine Polemik mit Cavalieri ein, ohne zu wissen, dass Archimedes selbst bereits ähnliche Methoden angewendet hatte Sie widersetzten sich. Dies ist der Fall von Guldin, der eine interessante Diskussion mit Cavalieri hatte, die in Übung III der Exercitationes geomeiricae Sex zusammengefasst ist.

Viele Ergebnisse, die mühsam durch die Erschöpfungsmethode erhalten wurden, wurden einfach und schnell durch das Cavalieri-Prinzip erhalten: zum Beispiel die Fläche einer Ellipse und das Volumen einer Kugel. Durch seine Methoden hatte Cavalieri das Ergebnis gefunden, das in heutigen Symbolen ausgedrückt werden würde als:

für jede natürliche Zahl n (n = 1,2,3, …). Cavalieri war sich nicht bewusst, dass dieses Ergebnis, das in der Centuria di varii problemi (1639) erscheint, bereits 1636 von Fermat und Roberval gefunden worden war, die es auf andere Weise erreicht hatten.

Cavalieri bewies mit der Methode der Unteilbaren und basierend auf einem Lemma, das sein Schüler G. A. Rocca aufgestellt hatte, den Guldin-Satz über die Fläche einer Oberfläche und das Volumen rotierender Festkörper. Dieser Satz, der auch erscheint in bestimmten Ausgaben von Pappus‘ Werke, obwohl statt einer Interpolation, wurde ausgesprochen in der Centrobaryca von Guldin, der seine Richtigkeit bewiesen in bestimmten Fällen, ohne jedoch die Bereitstellung der allgemeinen Beweis.

Der bedeutendste Fortschritt auf dem Gebiet der Infinitesimalanalyse entlang der von Cavalieri dargelegten Linien wurde von Evangelista Torricelli erzielt. In seiner Arithmetica infinitorum (1655) verwendet John Wallis auch Unteilbare.

Besonders interessant ist die Meinung der Cavalieri-Methode, die Pascal in seinen Letires de Dettonville (1658) ausdrückt: „Alles, was durch die wahren Regeln der Unteilbaren demonstriert wird, wird auch und notwendigerweise in der Art der Alten demonstriert. Aus diesem Grund werde ich im Folgenden nicht zögern, die Sprache der Unteilbaren zu verwenden.“ Obwohl in den folgenden Jahren auf dem Gebiet der Analyse des Infinitesimalen neue Ideen die alten über das Unteilbare ersetzten, übten die Methoden von Cavalieri und Torricelli einen tiefgreifenden Einfluss aus, wie Leibniz in einem Brief an G. Manfredi anerkannte: „… in der erhabensten Geometrie waren die Initiatoren und Förderer, die die Aufgabe eines Yeomans auf diesem Gebiet erfüllten, Cavalieri und Torricelli; Später gingen andere noch weiter, indem sie sich der Arbeit von Cavalieri und Torricelli bedienten.“ Darüber hinaus hat Newton, während er in seiner Principia eine kritische Haltung in Bezug auf Unteilbare annahm, dennoch in seinem Tractatus de quadratura curvarum den Begriff fluens verwendet, um eine variable Größe anzuzeigen — ein Begriff, der zuvor von Cavalieri in seinen Exerciiationes geomeiricae sex verwendet wurde.

In Satz I von Buch I der Geometrien finden wir in geometrischer Form den Mittelwertsatz, auch bekannt als Cavalieri-Satz. Der Satz wird als Lösung des folgenden Problems dargestellt: Bei einer ebenen Kurve, die an jedem Punkt mit einer Tangente versehen ist und durch zwei Punkte A und B verläuft, um eine gerade Linie parallel zu AB und tangential zur Kurve an einem Punkt auf der Kurve zwischen A und B zu finden. Analytisch haben wir: Wenn die reelle Funktion f(x) der reellen Variablen x im Intervall (a, b) stetig ist und an jedem Punkt innerhalb dieses Intervalls differenzierbar ist, existiert mindestens ein Punkt von, so dass a<<b, so dass

Logarithmen 1614 in der Arbeit von Napier in die Mathematik eingeführt wurden. In Italien wurden solche wertvollen Hilfsmittel zur numerischen Berechnung von Cavalieri eingeführt, zusammen mit bemerkenswerten Entwicklungen in der Trigonometrie und Anwendungen in der Astronomie. In diesem Zusammenhang könnten wir Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639) und Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643) erwähnen. Das Directorium, die Pratica und die Trigonometria enthalten darüber hinaus hervorragende logarithmisch-trigonometrische Tabellen.

In der Centuria beschäftigte sich Cavalieri mit Themen wie der allgemeinen Definition von zylindrischen und konischen Oberflächen, Formeln zur Bestimmung des Volumens eines Fasses und der Kapazität eines Gewölbes mit Spitzbögen und den Mitteln, aus den Logarithmen zweier Zahlen den Logarithmus der Summe oder der Differenz zu erhalten, ein Problem, das später von verschiedenen Mathematikern aufgegriffen wurde. Gauß unter anderem. Lo specchio ustorio („Das brennende Glas“) enthält einige interessante historische Daten über den Ursprung der Theorie der Kegel bei den Griechen; laut Cavalieri liegen die Ursprünge in den gnomonischen Anforderungen. In dieser Arbeit finden wir eine Theorie der Konik mit Anwendungen auf Optik und Akustik. Unter den ersteren stellen wir die Idee des Spiegelteleskops fest, von dem Cavalieri laut Piola und Favaro der erste Erfinder war, der Gregory und Newton vorausging; bestimmung der Brennweite einer Linse mit ungleichmäßiger Sphärizität und Erklärungen des Brennglases von Archimedes, Auf dem Gebiet der Akustik, Cavalieri versuchte die archäologische Rekonstruktion der von Vitruv erwähnten Resonanzvasen, die in Theatern zur Klangverstärkung verwendet wurden.

In dieser Arbeit erscheinen verschiedene punktförmige Konstruktionen von Kegel. Interessanter sind noch die Konstruktionen in den Geometrien und in den Exercitationes, die mit Hilfe von projektiven Bleistiften erhalten wurden, die der Arbeit von Steiner vorausgingen.Eine heikle Frage bezieht sich auf die astrologischen Aktivitäten, die Cavalieri aufgrund seines Amtes ausübte, aber, wie D’Aviso betonte, war er gegen Vorhersagen, die auf der Position der Sterne beruhten, und gibt dies am Ende seiner Pratica astrologica an.

BIBLIOGRAPHIE

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II. Secondar Literature. Siehe U. D ‚Aviso,“ Leben von P. Buonaventura Cavalieri“, in Abhandlung über die Sphäre (Rom 1682); G. Piola, Lob von Bonaventura Cavalieri (Mailand, 1844); A. Bonaventura Cavalieri in der Bologna-Studie (Bologna, 1885); E. Bortolotti,“ die Fortschritte der infinitesimalmethode in torricellis geometrischem Werk“, in der Zeitschrift matermatica, 4.ser., 8 (1928), 19–59; „Die Entdeckung und nachfolgende Verallgemeinerungen eines fundamentalen Satzes der Integralrechnung“, im Archiv der Wissenschaftsgeschichte (1924), S. 205-227; F. Conforto, „das wissenschaftliche Werk von Bonaventura Cavalieri und Evangelista Torricelli“, in Proceedings of the Convention of Pisa (23-27 Sept. 1948), S. 35-56; A. Masotti. „Gedenken an Bonaventura Cavalieri“, in Berichten des lombardischen Instituts für Wissenschaften und Briefe, generable part and official acts, 81 (1948), 43-86; g. Castelnuovo, die Ursprünge der Infinitesimalrechnung in der neu moderna (Mailand, 1962), S. 43-53; G. Cellini. „Die unteilbaren in Bonaventuras mathematischem und philosophischem Denken Ritter“, in der Zeitschrift der Mathematik, 4th ser., 44 (1966), 1-21; „die Demonstrationen der Ritter von ihm., principle“, EBD., S. 85-105.

Ettore Carruccio