Tänk på följande spel: jag skriver ner ett slumpmässigt reellt tal mellan 0 och 1 och ber dig gissa det. Vad är sannolikheten att du gissar rätt? Svaret är noll. Du kanske undrar: ”men det är möjligt för mig att gissa rätt svar! Det betyder att sannolikheten måste vara mer än noll!”och du skulle vara berättigad att undra, men du skulle ha fel. Det är sant att händelser som är omöjliga har noll sannolikhet, men det omvända är inte sant i allmänhet. I resten av det här inlägget visar vi varför svaret ovan faktiskt var noll, och varför detta inte behöver göra irreparabel skada på din nuvarande världsutsikt.

Låt oss börja med att visa att sannolikheten att du gissar mitt nummer rätt är noll. Låt vara sannolikheten i fråga. Tanken är att visa att för alla positiva reella tal . Vi vet att , och om det är mindre än något positivt tal måste det vara noll! Argumentet är som följer. Låt oss ringa numret jag slumpmässigt plockade . Föreställ dig att intervallet är målade vit. Välj ett positivt reellt tal . Sedan finns det ett underintervall med längd inom intervallet innehållande . Föreställ dig att detta delintervall är målade svart, så nu har vi en svart remsa av längd på den ursprungliga vita remsan, och numret jag valde var i den svarta remsan. Vad är sannolikheten att din gissning landar på den svarta remsan? Det måste vara , eftersom det är andelen av den vita remsan som är täckt. Men för att din gissning ska motsvara mitt nummer måste den landa i den svarta remsan, så din sannolikhet för att gissa kan inte vara större än sannolikheten att gissa ett nummer på den svarta remsan! Därför .

Du bör nu vara övertygad om att denna händelse verkligen har noll sannolikhet att hända, men det är fortfarande sant. Detta fenomen beror på följande geometriska faktum: Det är möjligt att ha en icke-tom uppsättning med noll ”volym”. Termen ” volym ”beror på sammanhanget; när det gäller punkten på intervallet är” volym ” längd. Sannolikheten för en händelse mätt på intervallet är lika med dess längd, och en enda punkt på intervallet har noll längd, men det är fortfarande en icke-tom delmängd av intervallet! Sannolikhet är i grunden ett mått på” volym ”där hela utrymmet har” volym ” lika med 1. Genom att definiera sannolikhet på detta sätt kan vi bevisa alla slags snygga fakta med hjälp av något som kallas mätteori.

för att sammanfatta borde du ha lärt dig följande från det här inlägget:

• sannolikheten att slumpmässigt välja ett visst tal i intervallet är lika med noll
• händelser som har noll sannolikhet är fortfarande möjliga