(f. Milano, Italien, troligen 1598; d. Bologna, Italien, 30 November 1647). matematik.

Cavalieris födelsedatum är osäkert; dalen som anges ovan är den som Citeras av Urbano d ’ aviso, en lärjunge och biograf av Cavalieri. Namnet Bonaventura var inte hans dopnamn utan snarare hans fars namn. Det är namnet matematikern antog när han som pojke gick in i Jesuati religiösa ordning, anhängare av St.Augustine. Cavalieri mottogs i mindre order i Milano 1615 och 1616 överfördes till Jesuati kloster i Pisa, där han hade turen att träffa benediktinermunken Benedetto Castelli, som hade studerat med Galileo i Padua och var vid den tiden en lektor i matematik i Pisa. Genom honom initierades Cavalieri i studien av geometri. Han absorberade snabbt de klassiska verk av Euclid, Archimedes. Apollonius, och Pappus, visar en sådan exceptionell fallenhet att han ibland ersätta sin lärare vid universitetet i Pisa. Han introducerades av Castelli till Galileo, vars lärjunge han alltid betraktade sig själv. Han skrev Galileo minst 112 brev, som ingår i den nationella upplagan av Opere di Galileo; endast två av Galileos brev till Cavalieri har kommit ner till oss, dock.1620 återvände Cavalieri till Rom på order av sina överordnade, och 1621 ordinerades han till diakon till kardinal Federigo Borromeo, som uppskattade Fra’ Bonaventura och gärna diskuterade matematik med honom; kardinalen skrev därefter ett brev som berömde honom till Galileo. Cavalieri var knappast tjugoen när han undervisade i teologi vid klostret San Girolamo i Milano och väckte uppmärksamhet genom sin djupa kunskap om ämnet.

under sin Milanoperiod (1620-1623) utvecklade Cavalieri sina första tankar om metoden för odelbara, hans stora bidrag till matematik. Från 1623 till 1626 var han före Peterskyrkan i Lodi. Senare var han gäst i Rom av Monsignor Ciampoli, till vilken han senare tillägnade sin geometri. Från 1626 till 16291 var han före klostret Jesuati i Parma, hoppas förgäves att utses lektor i matematik vid universitetet där. Hösten 1626, under en resa från Parma till Milano, blev han sjuk med gikt, som han hade lidit sedan barndomen och som skulle plåga honom till slutet av sitt liv. Denna sjukdom höll honom i Milano i ett antal månader. Den 16 December 1627 meddelade han Galileo och kardinal Borromeo att han hade slutfört sin geometri. År 1628 fick han veta att en tjänst som föreläsare i Bologna hade blivit ledig genom astronomen G. A. Maginis död, skrev han Galileo för att få hjälp med att säkra utnämningen. Galileo, 1629, skrev till Cesare Marsili, en gentleman i Bologna och medlem av Accademia dei Lincei, som hade fått i uppdrag att hitta en ny lektor i matematik. I sitt brev sa Galileo om Cavalieri, ” få, om några, sedan Archimedes, har grävt så långt och så djupt in i vetenskapen om geometri.”Till stöd för sin ansökan till Bologna-positionen skickade Cavalieri Marsili sitt geometrimanuskript och en liten avhandling om koniska sektioner och deras tillämpningar inom optik. Galileos vittnesmål, som Marsili skrev honom. Inducerade ”regementets Herrar” att överlåta den första stolen i matematik till Cavalieri, som höll den kontinuerligt från 1629 till sin död.samtidigt utnämndes han före ett kloster av sin egen ordning i Bologna, särskilt vid kyrkan Santa Maria della Mascarella, vilket gjorde det möjligt för honom att utan hinder bedriva både sitt arbete i matematik och sin universitetsundervisning. Under den period då Cavalieri undervisade i Bologna publicerade han elva böcker i den staden, inklusive Geometria (1635).

Cavalieris teori, som utvecklats i detta arbete och i andra senare publicerade, avser en undersökning i infinitesimals, som härrör från återupplivat intresse för Archimedes verk, som under renässansen översattes från grekiska till Latin, med kommentarer. Översättningarna av Tartaglia, Maurolico och Commandino Citeras eftersom de fungerade som utgångspunkt för ny matematisk utveckling.de enda skrifter Archimedes kända sjuttonhundratalets matematiker var de som bygger på den strikta metoden för utmattning, genom vilken de gamla matematiker behandlas frågor om en oändlig karaktär utan att tillgripa det oändliga eller den faktiska oändliga. Ändå var de stora matematikerna i sjuttonhundratalet så grundligt genomsyrad av Archimedes anda att uppskatta att förutom ”utmattningsmetoden” måste de forntida geometrikerna ha känt en mer hanterbar och effektiv metod för forskning. På denna punkt skrev Torricelli:

Jag borde inte våga bekräfta att denna geometri av odelbara faktiskt är en ny upptäckt. Jag skulle hellre tro att de gamla geometriker använt sig av denna metod för att upptäcka de svårare satser, även om deras demonstration de kan ha föredragit ett annat sätt, antingen för att dölja hemligheten med sin konst eller att ge något tillfälle för kritik av invidious belackare. Vad det än var, är det säkert att denna geometri representerar en fantastisk arbetsekonomi i demonstrationerna och etablerar otaliga, nästan outgrundliga satser genom korta, direkta och bekräftande demonstrationer, som de forntida lärorna inte kunde. Geometrin hos odelbara var faktiskt i den matematiska briarbusken den så kallade kungliga vägen, och en som Cavalieri först öppnade och lade ut för allmänheten som en anordning av underbar uppfinning .

i 1906 J. L. Heiberg fann, i en palimpsest tillhör en Konstantinopel bibliotek, ett litet verk av Archimedes i form av ett brev till Eratosthenes, som förklarade en metod som är som, volymer, och tyngdpunkter kunde bestämmas. Denna metod, som i sin tur var relaterad till förfarandena för Democritus av Abdera, betraktade en plan yta som består av ackord parallella med en given rak linje och fasta ämnen som består av plana sektioner parallella med varandra. Dessutom, enligt Archimedes, tillämpades principer för statik, där av figurerna, betraktade som tunga kroppar, vägdes i en idealisk skala. ”Jag tror,” sade Archimedes,” att män i min tid och i framtiden, och genom denna metod, kan hitta ännu andra satser som ännu inte har kommit till mitt sinne ”(Rufini , II” Metodo ”di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’ antichit Australia, s. 103). Utmaningen som Archimedes förlängde togs inte upp, som vi vet, av hans samtidiga och föll i glömska i många århundraden.

begreppet odelbara dyker ibland upp flyktigt i människans tankehistoria: till exempel i en passage av den hebreiska filosofen och matematikern Abraham bar Hiyya (Savasorda) från elfte århundradet; i enstaka spekulationer-mer filosofiska än matematiska—av medeltida Scholastics; i en passage av Leonardo da Vinci; i Keplers Nova stereometria doliorum (Linz, 1615). Genom en uppfattning som skiljer sig från Cavalieris, odelbara behandlas av Galileo i hans Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

I Cavalieri kommer vi till en rationell systematisering av metoden för odelbara, en metod som inte bara anses vara användbar i sökandet efter nya resultat utan också, i motsats till vad Archimedes antog, anses vara giltig, när den är lämpligt modifierad, för att demonstrera satser.

vid denna tidpunkt uppstår en primär fråga: vilken betydelse tillskrev Cavalieri sina odelbara? Denna matematiker, medan han är helt bekant med de subtila filosofiska frågorna i samband med problemet med möjligheten att utgöra kontinuerliga storheter av odelbara, försöker upprätta en metod oberoende av ämnets hypoteser, vilket skulle vara giltigt oavsett vilket begrepp som bildas i detta avseende. Medan Galileo hävdade,” det högsta och det ultimata, även om primära komponenter i det kontinuerliga, är oändliga odelbara ” (Opere, VII, 745-750),

Cavalieri vågade inte hävda att det kontinuerliga består av odelbara element, om vilka han inte gav en uttrycklig definition, inte heller klargjorde han om de var faktiska eller potentiella oändliga. Det är också troligt att Cavalieris uppfattning om hans odelbara genomgick en förändring och att dessa föddes som faktiska infinitesimaler (som Galileos) och växte till att bli potentiella infinitesimaler (se G. Cellini). Det måste vidare påpekas, enligt L. Lombardo Radice, att Cavalieri-synen på de odelbara har gett oss en djupare uppfattning om uppsättningarna: det är inte nödvändigt att elementen i uppsättningen tilldelas eller kan tilldelas; snarare räcker det att det finns ett exakt kriterium för att bestämma huruvida ett element tillhör uppsättningen eller inte.

helt bortsett från alla filosofiska överväganden om naturen av odelbara, bestämningarna av området och volymer som gjorts av Cavalieri är baserade på principen som bär hans namn, som kan formuleras enligt följande:

om två planfigurer som skärs av en uppsättning parallella raka linjer skär varandra, på var och en av dessa raka linjer, lika ackord, är de två figurerna ekvivalenta; om ackorden som hänför sig till en enda rak linje i uppsättningen har ett konstant förhållande, får samma förhållande mellan de två figurerna.

På samma sätt i rymden: om sektionerna av två fasta ämnen erhållna med hjälp av plan som är parallella med varandra är ekvivalenta två i två, är de två fasta ämnena ekvivalenta; om de två sektionerna erhållna med ett givet plan har ett konstant förhållande när planet varieras, har de två fasta ämnena ett förhållande som är lika med det för två av deras sektioner erhållna med ett samma plan.

Med tanke på modern oändlig analys bekräftar Cavalieri-principen i huvudsak att två integraler är lika om integralerna är lika och integrationsgränserna också är lika. Dessutom kan en konstant som visas som en multiplikator i integand utföras av integrationstecknet utan att värdet på integralet varierar.men begreppet integral, enligt definitionen av A. Cauchy, var inte exakt i den matematiska tanken på Cavalieri, utan snarare undersöktes av P. mengoli, hans lärjunge och efterträdare i stolen i Bologna. Cavalieri följde många vägar för att visa sin princip, och de finns i bok VII i hans geometri.

låt oss betrakta fallet i plangeometri, där, enligt hypoteserna för den angivna principen, motsvarande ackord för de givna figurerna är lika i par (se Fig. 1). Cavalieri överlagrar sedan genom en översättning i riktning mot de parallella raka linjerna i fråga två lika ackord. De delar av figuren som sålunda är överlagda är därför ekvivalenta eller snarare lika, eftersom de är kongruenta. De återstående delarna, eller rester, som inte är överlagda, kommer fortfarande att uppfylla villkoren i förhållande till ackorden som var uppfyllda i originalfiguren. På detta sätt kan man fortsätta med successiva superpositioner genom översättning, och det är omöjligt vid en given punkt i de successiva operationerna att en figur är uttömd om inte den andra också är. Cavalieri drar slutsatsen

att de givna siffrorna därför är likvärdiga. Argumentet är genialt och intuitivt, men det innehåller en svag punkt genom att det inte bevisas att resterna i de beskrivna operationerna blir uttömda ;det är inte heller fastställt att summan av sådana rester kan göras mindre än en given yta. Icke desto mindre hävdar Cavalieri,när han svarar på guldins invändningar, att eliminering av resterna i en av figurerna,följaktligen i den andra, kan utföras med hjälp av oändliga operationer. Den andra demonstrationen

av Cavalieri-principen är gjord av de forntida utmattningsmetoden och är en rigorös för de figurer som uppfyller vissa villkor: det vill säga demonstrationen är giltig för figurer som, förutom att uppfylla principens hypotes, faller i en av följande klasser:

(1) generaliserade parallellogram, nämligen figurer som ingår mellan raka parallella linjer p och l som skär ackord med konstant längd på raka linjer som löper i samma riktning som p och l (se Fig. 2).

(2)figurerna i alteram partem deficientes (”figurer som är bristfälliga i en annan del”) ingår mellan två parallella linjer p och l och dessutom minskar ackorden som avlyssnas av en tvärgående linje parallell med p När avståndet från tvärgående från rak linje p ökar (Se Fig. 3).

(3) figurer som kan delas upp i ett begränsat antal delar som tillhör någon av de ovannämnda två klasserna (se Fig. 4).trots de nämnda demonstrationerna och framgången med metoden för odelbara, samtida matematiker, som var mer knutna till traditionerna i klassisk matematik, gick in i en polemik med Cavalieri, omedveten om att Archimedes själv redan hade använt metoder som liknar dem som de motsatte sig. Så är fallet med Guldin, som hade en intressant diskussion med Cavalieri som sammanfattas i övning III av Exercitationes geomeiricae sex.

många resultat som mödosamt erhölls genom utmattningsmetoden erhölls enkelt och snabbt genom Cavalieri-principen: till exempel området för en ellips och volymen av en sfär. Genom sina metoder hade Cavalieri hittat resultatet som i dagens symboler skulle uttryckas som:

för något naturligt tal n (n = 1,2,3,…). Cavalieri var inte medveten om att detta resultat, som förekommer i Centuria di varii problemi (1639), redan hade hittats redan 1636 av Fermat och Roberval, som hade kommit fram till det på andra sätt.

med hjälp av metoden för odelbara och baserat på en lemma som fastställts av hans elev G. A. Rocca, Cavalieri bevisade Guldin sats på ytan av en yta och volymen av roterande fasta ämnen. Denna sats, som också förekommer i vissa utgåvor av Pappus verk, även om de anses vara en interpolering, uttalades i Centrobaryca av Guldin, som bevisade dess korrekthet i vissa särskilda fall, utan att dock tillhandahålla det allmänna beviset.

de viktigaste framstegen inom området för oändlig analys längs de linjer som Cavalieri framhöll gjordes av Evangelista Torricelli. I hans Arithmetica infinitorum (1655) använder John Wallis också odelbara.

särskilt intressant är yttrandet från Cavalieri-metoden uttryckt av Pascal i hans Letires de Dettonville (1658): ”allt som demonstreras av de sanna reglerna för odelbara kommer också och nödvändigtvis att demonstreras på samma sätt som de gamla. Av vilken anledning, i det följande, Jag kommer inte att tveka att använda själva språket i odelbara.”Även om de följande åren inom området för analys av det oändliga, nya tankar ersatte det gamla på det odelbara, utövade Cavalieris och Torricellis metoder ett djupt inflytande, som Leibniz erkände i ett brev till G. Manfredi: ”… i den sublimaste geometri var initiativtagarna och promotorerna som utförde en Yeomans uppgift på det området Cavalieri och Torricelli; senare utvecklades andra ännu längre genom att utnyttja Cavalieri och Torricelli.”Dessutom använde Newton, medan han i sin Principia antog en kritisk attityd i fråga om odelbara, ändå i sin Tractatus de quadratura curvarum, termen fluens för att indikera en variabel storlek—en term som tidigare användes av Cavalieri i hans Exerciiationes geomeiricae sex.

i proposition I i bok i I Geometria finner vi i geometrisk form satsen för medelvärde, även känd som Cavalieri-satsen. Satsen presenteras som lösningen av följande problem: Med tanke på en plankurva, försedd med en tangent vid varje punkt och passerar genom två punkter A och B, för att hitta en rak linje parallell med AB och tangent till kurvan vid någon punkt på kurvan mellan A och B. analytiskt har vi: om den verkliga funktionen f(x) för den verkliga variabeln x är kontinuerlig i intervallet (a, b) och vid varje punkt inom detta intervall är det differentierbart, åtminstone en punkt av existerar så att en<<b, så att

logaritmer introducerades i matematik i Napiers arbete 1614. I Italien infördes sådana värdefulla hjälpmedel för numerisk beräkning av Cavalieri, tillsammans med anmärkningsvärda utvecklingar inom trigonometri och tillämpningar på astronomi. I detta sammanhang kan vi nämna Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639) och Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). Directorium, Pratica och Trigonometria innehåller dessutom utmärkta logaritmiska-onometriska tabeller.

i Centurien behandlade Cavalieri sådana ämnen som den allmänna definitionen av cylindriska och koniska ytor, formler för att bestämma volymen på ett fat och kapaciteten hos ett valv med spetsiga bågar och sättet att erhålla logaritmen av två tal logaritmen för summan eller skillnaden, ett problem som därefter togs upp av olika matematiker. Gauss bland andra. Lo specchio ustorio (”The Burning Glass”) innehåller några intressanta historiska data om ursprunget till teorin om konerna bland grekerna; enligt Cavalieri finns ursprunget i de gnomoniska kraven. I detta arbete hittar vi en teori om Konik med tillämpningar på optik och akustik. Bland de förra noterar vi tanken på det reflekterande teleskopet, varav—enligt Piola och Favaro—Cavalieri var den första uppfinnaren, före Gregory och Newton; bestämning av brännvidden hos en lins med ojämn sfäricitet och förklaringar av Archimedes brinnande glas, inom akustikområdet, försökte Cavalieri den arkeologiska rekonstruktionen av de resonansvaser som Vitruvius nämnde och användes i teatrar för förstärkning av ljud.

i detta arbete visas olika punktvisa konstruktioner av konier. Mer intressant är fortfarande konstruktionerna som ges i geometri och i övningarna, erhållna med hjälp av projektiva pennor som föregick Steiners arbete.

en känslig fråga gäller de astrologiska aktiviteter som Cavalieri engagerade sig i på grund av sitt kontor, men, som påpekats av D ’ Aviso, var han emot förutsägelser baserade på stjärnornas position och stater så i slutet av hans Pratica astrologica.

bibliografi

I. originalverk. Cavalieris verk inkluderar Directorium generera uranometricum (Bologna, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; 2: a upplagan., 1653). Översatt till Ryska av S. J. Lure (Moskva-Leningrad, 1940). Översatt till italienska, B Lucio Lombardo-Radice,som geometri av odelbara av Bonaventura Cavalieri ,ith kompendium av reglerna för trianglar med sina demonstrationer (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bologna, 1639); Prima logaritmisk tabell. Andra logaritmiska tabellen. Anteckningar i arbetet och korrigeringar av de mest anmärkningsvärda felen( Bologna, nd); bilaga till den nya astrologiska praxis (Bologna. 1640); Triganometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (Bologna, 1643); Avhandling om perpetual planetary wheel (Bologna, 1646); och geometr

II. sekundär Lit se U. D ’ aviso, ”life of P. Buonaventura Cavalieri”, i avhandling av sfären (Rom 1682); G. Piola, beröm av Bonaventura Cavalieri (Milano, 1844); A. Bonaventura Cavalieri i studien av Bologna (Bologna, 1885); E. Bortolotti, ”utvecklingen av den oändliga metoden i Torricellis geometriska arbete”, i tidskriften matermatiche, 4: e ser., 8 (1928), 19–59; ”Upptäckten och efterföljande generaliseringar av en grundläggande sats för integralkalkyl”, i Archivio di Storia della scienza (1924), s.205-227; F. Conforto, ”Bonaventura Cavalieri och Evangelista Torricelli vetenskapliga arbete”, i förhandlingar om Pisa-konferensen (23-27 September. 1948), s.35-56; A. Masotti. ”Minne av Bonaventura Cavalieri”, i rapporter Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, del generable och officiella handlingar, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, ursprunget till oändlig kalkyl i modern tid (Milano, 1962), s.43-53; G. Cellini. ”De odelbara i den matematiska och filosofiska tanken på Bonaventure Cavalieri”, i Journal of mathematics, 4: e ser., 44 (1966), 1-21; ”riddarnas demonstrationer av hans., princip”, ibid., s. 85-105.

Ettore Carruccio