Cantor ’ s theorem, i uppsättningsteori, satsen att kardinaliteten (numerisk storlek) för en uppsättning är strikt mindre än kardinaliteten i dess effektuppsättning, eller samling av delmängder. I symboler innehåller en ändlig uppsättning S med n-element 2N-delmängder, så att kardinaliteten hos uppsättningen S är n och dess effektuppsättning P(S) är 2n. Även om detta är klart för ändliga uppsättningar, ingen hade på allvar övervägt fallet för oändliga uppsättningar innan den tyska matematikern Georg Cantor—som är allmänt erkänd som grundare av modern uppsättning teori—började arbeta inom detta område mot slutet av 19-talet.1891 års bevis på Cantors sats för oändliga uppsättningar vilade på en version av hans så kallade diagonaliseringsargument, som han tidigare hade använt för att bevisa att kardinaliteten hos de rationella talen är densamma som heltalens kardinalitet genom att sätta dem i en en-till-en-korrespondens. Uppfattningen att när det gäller oändliga uppsättningar kan storleken på en uppsättning vara densamma som en av dess korrekta delmängder var inte för förvånande, eftersom tidigare Cantor antog nästan alla att det bara fanns en storlek för oändligheten. Cantors bevis på att vissa oändliga uppsättningar är större än andra—till exempel de reella siffrorna är större än heltalen—var överraskande, och det mötte ursprungligen stort motstånd från vissa matematiker, särskilt den tyska Leopold Kronecker. Dessutom ledde Cantors bevis på att effektuppsättningen för alla uppsättningar, inklusive alla oändliga uppsättningar, alltid är större än den ursprungliga uppsättningen, att han skapade en ständigt ökande hierarki av kardinalnummer, 20, 1, 2…, känd som transfinitiska nummer. Cantor föreslog att det inte finns något transfinittal mellan det första transfinittalet0, eller heltalens kardinalitet, och kontinuum (c), eller kardinaliteten hos de reella talen; med andra ord, c = brasilien1. Detta är nu känt som kontinuumhypotesen, och det har visat sig vara ett obestridligt förslag i standarduppsättningsteori.