cum îți amintești locul de pe o insulă pustie unde ți-ai îngropat comoara? Alegeți un punct de reper, spuneți un palmier și măsurați câți pași nord/sud și câți pași est/vest trebuie să mergeți de la acel punct de reper pentru a ajunge la comoară. Este o idee simplă, dar, în mod surprinzător, matematicienii au avut nevoie de secole pentru a-și dezvolta întregul potențial în propriul lor domeniu. Când au făcut-o în cele din urmă, a revoluționat matematica prin reunirea a două domenii care, pe față, nu au prea multe de-a face între ele: algebra și geometria.
când începem să învățăm geometria, ne gândim de obicei la forme simple precum linii, triunghiuri și cercuri în planul bidimensional. Puteți construi aceste forme și mai complicate folosind o riglă, busole și un raportor. Grecii antici erau Maeștri la acest tip de geometrie: folosind doar busole și o margine dreaptă (o riglă nemarcată) au reușit să construiască o serie de forme și chiar au putut dovedi rezultate matematice, cum ar fi teorema lui Pitagora, folosind aceste instrumente simple.cu toate acestea, există anumite lucruri pe care nu le puteți face folosind aceste metode de bază. Două forme, să zicem o linie și un cerc, se pot intersecta sau nu și se pot intersecta în moduri diferite: poate că linia atinge doar cercul, poate că rade un mic arc de pe el sau poate îl taie în jumătate. Pentru a înregistra aceste informații aveți nevoie de o modalitate de a descrie locațiile formelor.
acesta este locul în care ideea treasure island vine utilă. Acesta ilustrează ceea ce se numește sistemul de coordonate carteziene. Alegeți un punct din plan, numit origine, și trageți două axe perpendiculare prin el, una orizontală și una verticală. Orice punct din plan poate fi atins de la origine parcurgând o anumită distanță \(x\) de-a lungul axei orizontale și o anumită distanță \(y\) de-a lungul axei verticale. Numerele \((x, y)\) sunt coordonatele punctului. Originea în sine are coordonate \((0,0)\). Partea axei orizontale (numită și axa \(x\)) care se află la stânga originii și partea axei verticale (axa \(y\)) sub origine sunt descrise prin numere negative.
coordonatele carteziene sunt numite după filosoful și matematicianul francez din secolul al 17-lea, Ren Descartes. Există o poveste (probabil neadevărată) conform căreia Descartes a inventat aceste coordonate în timp ce stătea întins în pat, urmărind o muscă pe tavan și întrebându-se cum să descrie locația sa. Înclinația lui Descartes de a sta în pat până la prânz ar fi putut fi de fapt cauza decesului său, care a avut loc la Stockholm în 1650. Descartes a fost în Suedia pentru a acționa ca profesor de matematică pentru Regina Christina, care, din păcate, a preferat să lucreze dimineața devreme. Potrivit unor rapoarte, aceste ore timpurii și temperaturile scandinave au provocat pneumonia care l-a ucis în cele din urmă. Alții au sugerat că a fost otrăvit de un preot catolic îngrijorat de Teologia radicală a lui Descartes.
oricum, sistemul de coordonate carteziene este una dintre cele mai importante moșteniri ale lui Descartes (deși nu a fost singura persoană care a avut ideea). Ne permite să răspundem problemelor geometrice folosind algebra și să vizualizăm relații algebrice care altfel ar rămâne destul de abstracte. Luați, de exemplu, ecuația \ putem trasa graficul acestei funcții într-un sistem de coordonate carteziene prin trasarea tuturor punctelor ale căror coordonate sunt de forma \((x,2x-1)\): puncte precum \((0, -1)\), \((1, 1)\), \((2,3)\), \((-1,-3)\), \((-2,-5)\), \((-\frac{1}{2}, -2)\), și \((1.73, 2.46)\). În acest caz, graficul este o linie dreaptă care întâlnește axa \(y\) în punctul \((0,-1)\) și are o pantă de \(2\).
Mai general,fiecare linie dreaptă este dată de o ecuație a formei \ unde \(m\) Vă oferă panta liniei și \((0, b)\) este punctul în care traversează axa \(y\). O linie verticală care nu traversează axa \(y\) este dată de o ecuație a formei \(x=c\). În acest caz \((c,0)\) este punctul în care traversează axa \(x\).
Ce zici de un cerc? Un cerc este format din toate acele puncte care se află la distanță egală \(r\) de la un punct dat \(m\). Să presupunem că \(m\) este punctul \((0,0)\). Din teorema lui Pitagora știm că dacă un punct\ ((x, y)\) se află la distanță\ (r\) de\ ((0,0)\), atunci \
prin urmare, aceasta este ecuația unui cerc de rază \(r\) centrat pe origine. Puteți să vă dați seama că un cerc de rază\ (r\) centrat pe punctul \((A,b)\) are ecuația \ dar aici este o întrebare mai complicată: ce formă obțineți atunci când luați în considerare toate punctele care se află la o distanță egală de un punct dat și de o linie dată? Fără un sistem de coordonate, puteți desena punctul și linia și puteți experimenta cu rigla sau busolele. Puteți desena câteva puncte care se află la o distanță egală de ambele și puteți vedea dacă puteți ghici forma generală.
înarmat cu un sistem de coordonate, totuși, răspunsul devine mult mai ușor și mult mai precis. Să presupunem că punctul dat este la distanță \(1\) de linia dată. Să plasăm punctul dat la origine și linia dată astfel încât să fie orizontală, dată de ecuația \ de teorema lui Pitagora distanța oricărui punct \((x,y)\) de \((0,0)\) este \(\sqrt{x^2 + y^2}\). Distanța de la un punct \((x,y)\) la linia \(y = -1\) este \(|y+1|\) (folosim valoarea absolută aici deoarece coordonata \(y\)-ar putea fi negativă). Dacă cele două sunt egale, atunci \ pătratul ambelor părți dă \ rearanjarea dă \ deci orice punct la distanță egală de punctul \((0,0)\) și linia \(y=-1\) are coordonate \(\stânga(x, \frac{x^2}{2} – \frac{1}{2}\dreapta)\). Puteți verifica dacă și inversul este adevărat: fiecare punct cu aceste coordonate se află la o distanță egală de punctul \((0,0)\) și linia \(y=-1\).
putem trasa graficul acestei funcții pentru a vedea forma necesară, care se dovedește a fi o parabolă. De fapt, fiecare funcție pătratică \ pentru \(a\), \(b\) și \(c\) constante, ne dă o parabolă. Această formă familiară, care poate veni în atât de multe variații subtile—lungi și subțiri sau ghemuite și plate—este capturată de această expresie algebrică la îndemână. Faptul că astăzi termenii ” funcție pătratică „și” parabolă ” sunt aproape considerați sinonimi evidențiază cât de reușită a fost ideea lui Descartes. Mai general, orice relație algebrică între două variabile \(x\) și \(y\) ne oferă o curbă pe care o putem trasa folosind coordonate carteziene.
reprezentarea algebrică facilitează răspunsul la o serie întreagă de întrebări geometrice. Pentru a elabora punctele de intersecție ale liniei date de \ și parabola \(y = \frac{x^2}{2} – \frac{1}{2}\), observăm pur și simplu că coordonata \(y\) a oricărui punct \((x,y)\) situată pe ambele trebuie să satisfacă ambele ecuații, deci \ aceasta dă \ rezolvarea ecuației patratice pe care o obținem \ și \ astfel încât punctele de intersecție sunt la \
În afară de rezolvarea problemelor geometrice, coordonatele carteziene ajută și la vizualizarea relațiilor algebrice. De exemplu, să presupunem că o mașină se deplasează cu viteză \(u\) și șoferul acționează frânele, rezultând o decelerare constantă de, de exemplu, \(-4\) metri/secunde\(^2\). Distanța de oprire-distanța pe care o acoperă mașina înainte de a se opri—este dată de relația algebrică-trasarea acestei coordonate folosind coordonatele carteziene aduce acasă cât de important este încetinirea în zonele urbane, deoarece distanța de oprire crește rapid cu \ (u\).
în acest exemplu am știut relația dintre două variabile, deoarece poate fi derivată din legile fizicii. Dar coordonatele carteziene sunt utile și atunci când bănuiți că două variabile sunt legate, dar nu știți cum. Să presupunem că credem că există o relație între profitul obținut de un vânzător de înghețată și temperatura exterioară. Pentru a afla care ar putea fi această relație, putem măsura temperatura și profitul, să zicem, pe parcursul unui an și să trasăm valorile una împotriva celeilalte, cu temperatura înregistrată pe axa \(x\) și profitul pe axa \(y\). Putem vedea apoi dacă putem observa un model. În prima diagramă de mai jos am putea ghici că relația este liniară și putem încerca să găsim linia dreaptă \ care se potrivește cel mai bine datelor noastre (există metode pentru a găsi această potrivire cea mai bună). În a doua diagramă de mai jos am putea ghici că relația este pătratică și din nou putem încerca să găsim funcția \ care se potrivește cel mai bine datelor.
coordonatele carteziene au jucat un rol major în dezvoltarea calculului în a doua jumătate a secolului al 17-lea. Calculul face posibilă elaborarea atributelor curbelor, cum ar fi panta lor într-un anumit punct sau zona regiunii care se află între o curbă și axa \(x\). Acestea pot avea și interpretări fizice. De exemplu, dacă trasăm distanța parcursă de o mașină în raport cu timpul în care a călătorit, panta curbei rezultate la un moment dat—rata de schimbare a distanței în raport cu timpul—reprezintă viteza cu care mașina se deplasa în acel moment în timp: este derivata funcției care ne oferă distanța în termeni de timp. Vezi și de ce sunt gradienții importanți în lumea reală?.
De asemenea, putem urca o dimensiune luând în considerare o a treia axă perpendiculară pe primele două, pe care vă puteți imagina ca ieșind din foaia de hârtie și îndreptându-vă spre voi. Folosind un astfel de sistem tridimensional, puteți acum să reprezentați obiecte tridimensionale și să vizualizați modul în care o a treia variabilă \(z\) depinde de primele două, \(x\) și \(y\).
aceste exemple ar trebui să vă dea o idee de ce coordonatele au devenit atât de indispensabile în toate domeniile științei, de la fizică la astronomie și inginerie, și, de asemenea, în industriile vizuale pentru a produce grafică pe calculator și imagini generate de computer pe care le admirăm în filme și jocuri.în matematică însăși legătura dintre algebră și geometrie a culminat cu o întreagă zonă numită geometrie algebrică, care deține o fascinație proprie. Poate cel mai faimos rezultat care a apărut din această zonă este ultima teoremă a lui Fermat, numită după un contemporan al lui Descartes, Pierre de Fermat, care a contribuit, de asemenea, semnificativ la dezvoltarea sistemului de coordonate carteziene. Fermat avea în vedere o întrebare care leagă geometria de teoria numerelor. Conform teoremei lui Pitagora, dacă \(A\), \(b\) și \(c\) sunt laturile unui triunghi în unghi drept și \(c\) este partea opusă unghiului drept, atunci \(a^2 + b^2 = C^2\). Există infinit de multe triple de numere întregi \(A\), \(b\) și \(c\) care satisfac această relație; \((3,4,5)\) este un exemplu.
acum să presupunem că schimbăm exponentul și luăm în considerare expresii precum \ și \ și mai general \ unde \(n\) este un număr natural mai mare decât \(2\). Mai putem găsi numere întregi pozitive\ (A\),\ (b\) și\ (c\) satisfăcând ecuația? Fermat a bănuit că nu putem și a mâzgălit la fel de mult în marginea cărții sale de matematică, spunând că are o „dovadă minunată” pentru acel fapt pe care marja era prea îngustă pentru a-l conține.
acea mâzgăleală a fost pentru a bântui matematicienii de peste 350 de ani. Abia în 1994, o dovadă corectă a acestui rezultat aparent inofensiv a fost anunțată în cele din urmă de matematicianul Andrew Wiles. Wiles folosise pe scară largă geometria algebrică. În special, el a folosit rezultate privind curbele eliptice descrise de punctele din plan ale căror coordonate satisfac contemplarea lui Descartes a unei muște a parcurs un drum lung!
