(n. Milano, Italia, probabil 1598; D. Bologna, Italia, 30 noiembrie 1647). matematică.

data nașterii lui Cavalieri este incertă; Vâlcea dată mai sus este cea citată de Urbano d ‘ aviso, discipol și biograf al lui Cavalieri. Numele Bonaventura nu a fost numele său de botez, ci mai degrabă cel al tatălui său. Este numele pe care matematicianul l-a adoptat când, în copilărie, a intrat în ordinul religios Jesuati, adepți ai stăpânirii Sfântului Augustin. Cavalieri a fost primit în ordinele minore din Milano în 1615 și în 1616 transferat la Mănăstirea Jesuati din Pisa, unde a avut norocul să-l întâlnească pe călugărul benedictin Benedetto Castelli, care studiase cu Galileo la Padova și era la acea vreme lector de matematică la Pisa. Prin el Cavalieri a fost inițiat în studiul geometriei. A absorbit rapid lucrările clasice ale lui Euclid, Arhimede. Apollonius și Pappus, demonstrând o aptitudine atât de excepțională încât uneori și-a înlocuit profesorul la Universitatea din Pisa. El a fost prezentat de Castelli lui Galileo, al cărui discipol s-a considerat întotdeauna el însuși. El a scris lui Galileo cel puțin 112 scrisori, care sunt incluse în ediția națională a Opere di Galileo; cu toate acestea, doar două dintre scrisorile lui Galileo către Cavalieri au ajuns la noi.

în 1620 Cavalieri s-a întors la Roma sub ordinele superiorilor săi, iar în 1621 a fost hirotonit diacon Cardinalului Federigo Borromeo, care a ținut fra’ Bonaventura cu mare stimă și a discutat cu bucurie matematica cu el; cardinalul i-a scris ulterior o scrisoare în care îl recomanda lui Galileo. Cavalieri avea aproape douăzeci și unu de ani când a predat teologia la mănăstirea San Girolamo din Milano, atrăgând atenția prin cunoștințele sale profunde despre subiect.

în perioada Milano (1620-1623) Cavalieri și-a dezvoltat primele idei despre metoda indivizibililor, contribuția sa majoră la matematică. Din 1623 până în 1626 a fost starețul Sfântului Petru la Lodi. Mai târziu a fost oaspete la Roma al Monseniorului Ciampoli, căruia i-a dedicat ulterior Geometria. Din 1626 până în 16291 a fost starețul mănăstirii Jesuati din Parma, sperând în zadar să fie numit lector de matematică la Universitatea de acolo. În toamna anului 1626, în timpul unei călătorii de la Parma la Milano, s-a îmbolnăvit de gută, de care suferise încă din copilărie și care urma să-l ciumă până la sfârșitul vieții. Această boală l-a ținut la Milano câteva luni. La 16 decembrie 1627 i-a anunțat pe Galileo și Cardinalul Borromeo că și-a finalizat Geometria. În 1628, aflând că un post de lector la Bologna devenise vacant prin moartea astronomului G. A. Magini, el a scris Galileo pentru asistență în asigurarea numirii. Galileo, în 1629, i-a scris lui Cesare Marsili, un domn din Bologna și membru al Accademia dei Lincei, care fusese însărcinat să găsească un nou lector în matematică. În scrisoarea sa, Galileo a spus despre Cavalieri: „puțini, dacă există, de la Arhimede, s-au adâncit atât de mult și de adânc în știința geometriei.”În sprijinul cererii sale la poziția Bologna, Cavalieri i-a trimis lui Marsili manuscrisul său de geometrie și un mic tratat despre secțiunile conice și aplicațiile lor în optică. Mărturia lui Galileo, așa cum i-a scris Marsili. I-a determinat pe „domnii Regimentului” să încredințeze prima catedră de matematică lui Cavalieri, care a ținut-o continuu din 1629 până la moartea sa.în același timp, a fost numit prior al unei mănăstiri din propriul ordin din Bologna, în special la Biserica Santa Maria della Mascarella, permițându-i să-și continue fără niciun impediment atât munca în matematică, cât și predarea universitară. În perioada în care Cavalieri a predat la Bologna, a publicat unsprezece cărți în acel oraș, inclusiv Geometria (1635).teoria lui Cavalieri, așa cum a fost dezvoltată în această lucrare și în altele publicate ulterior, se referă la o anchetă în infinitesimale, care rezultă din interesul reînviat pentru lucrările lui Arhimede, care în timpul Renașterii au fost traduse din greacă în latină, cu comentarii. Traducerile lui Tartaglia, Maurolico și Commandino sunt citate deoarece au servit drept punct de plecare pentru noi dezvoltări matematice.singurele scrieri ale lui Arhimede cunoscute Matematicienilor din secolul al XVII-lea au fost cele bazate pe metoda strictă a epuizării, prin care matematicienii antici tratau probleme de caracter infinitezimal fără a recurge la infinit sau la infinitezimalul real. Cu toate acestea, Marii matematicieni ai secolului al XVII-lea au fost atât de pătrunși de Spiritul lui Arhimede încât au apreciat că, pe lângă „metoda epuizării”, geometricii antici trebuie să fi cunoscut o metodă de cercetare mai ușor de gestionat și mai eficientă. În această privință, Torricelli a scris:

nu ar trebui să îndrăznesc să afirm că această geometrie a indivizibililor este de fapt o nouă descoperire. Ar trebui să cred mai degrabă că vechii geometrici s-au folosit de această metodă pentru a descoperi teoremele mai dificile, deși în demonstrația lor ar fi preferat o altă cale, fie pentru a ascunde secretul artei lor, fie pentru a nu permite nicio ocazie de critică din partea detractorilor invidioși. Orice ar fi fost, este sigur că această geometrie reprezintă o economie minunată a muncii în demonstrații și stabilește nenumărate, aproape de nepătruns, teoreme prin intermediul unor demonstrații scurte, directe și afirmative, de care doctrina anticilor era incapabilă. Geometria indivizibililor a fost într-adevăr, în tufișul de briar matematic, așa-numitul drum regal și unul pe care Cavalieri l-a deschis pentru prima dată și l-a pus pentru public ca un dispozitiv de invenție minunată .

în 1906 J. L. Heiberg a găsit, într-un palimpsest aparținând unei biblioteci din Constantinopol, o mică lucrare a lui Arhimede sub forma unei scrisori către Eratostene, care explica o metodă prin care sunt ca, volumele și centrele de greutate ar putea fi determinate. Această metodă, care la rândul ei a fost legată de procedurile lui Democrit din Abdera, a considerat o suprafață plană ca fiind formată din acorduri paralele cu o linie dreaptă dată și solide ca fiind formate din secțiuni plane paralele între ele. În plus, potrivit lui Arhimede, s-au aplicat principiile staticii, unde prin figuri, considerate corpuri grele, au fost cântărite la o scară ideală. „Cred”, a spus Arhimede, „că oamenii din timpul meu și din viitor, și prin această metodă, ar putea găsi încă alte teoreme care nu mi-au venit încă în minte” (Rufini, II „Metodo” di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell ‘ antichit , P. 103). Provocarea pe care Arhimede a extins-o nu a fost preluată, după cum știm, de contemporanii săi și a căzut în uitare timp de multe secole.

conceptul de indivizibil apare uneori trecător în istoria gândirii umane: de exemplu, într-un pasaj al filosofului și matematicianului evreu din secolul al XI—lea Abraham bar hiyya (Savasorda); în speculații ocazionale—mai mult filosofice decât matematice-ale Scolasticilor medievali; într-un pasaj de Leonardo da Vinci; în Nova stereometria doliorum (Linz, 1615). Printr-o concepție diferită de cea a lui Cavalieri, indivizibilele sunt tratate de Galileo în a lui Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

în Cavalieri ajungem la o sistematizare rațională a metodei indivizibililor, o metodă care nu numai că este considerată utilă în căutarea de noi rezultate, ci și, contrar a ceea ce a presupus Arhimede, este considerată valabilă, atunci când este modificată corespunzător, în scopul demonstrării teoremelor.

în acest moment apare o întrebare primară: ce semnificație a atribuit Cavalieri indivizibililor săi? Acest matematician, deși este perfect familiarizat cu întrebările filosofice subtile legate de problema posibilității de a constitui magnitudini continue prin indivizibile, încearcă să stabilească o metodă independentă de ipotezele subiectului, care ar fi valabilă indiferent de conceptul format în acest sens. În timp ce Galileo a afirmat: „cel mai înalt și ultimul, deși componentele primare ale continuului, sunt infinite indivizibile” (Opere, VII, 745-750), Cavalieri nu a îndrăznit să afirme că continuul este compus din elemente indivizibile, despre care nu a dat o definiție explicită și nici nu a clarificat dacă acestea erau infinitezimale reale sau potențiale. De asemenea, este probabil ca concepția lui Cavalieri despre indivizibilele sale să fi suferit o schimbare și că acestea s-au născut ca infinitesimale reale (ca cele ale lui Galileo) și au devenit potențiale infinitesimale (vezi G. Cellini). De asemenea, trebuie subliniat, potrivit lui L. Lombardo Radice, că viziunea Cavalieri asupra indivizibililor ne-a dat o concepție mai profundă a mulțimilor: nu este necesar ca elementele mulțimii să fie atribuite sau atribuibile; mai degrabă este suficient să existe un criteriu precis pentru a determina dacă un element aparține sau nu mulțimii.

în afară de orice considerații filosofice privind natura indivizibililor, determinările ariei și volumelor făcute de Cavalieri se bazează pe principiul care îi poartă numele, care poate fi formulat după cum urmează:

Dacă două figuri plane tăiate de un set de linii drepte paralele se intersectează, pe fiecare dintre aceste linii drepte, acorduri egale, cele două figuri sunt echivalente; dacă acordurile referitoare la o singură linie dreaptă a mulțimii au un raport constant, același raport se obține între cele două figuri.

în mod similar, în spațiu: dacă secțiunile a două solide obținute prin intermediul unor planuri paralele între ele sunt echivalente două câte două, cele două solide sunt echivalente; dacă cele două secțiuni obținute cu un plan dat au un raport constant atunci când planul este variat, cele două solide au un raport egal cu cel al a două dintre secțiunile lor obținute cu același plan.

Din punctul de vedere al analizei infinitezimale moderne, principiul Cavalieri afirmă în esență că două integrale sunt egale dacă integranzii sunt egali și limitele de integrare sunt, de asemenea, egale. Mai mult, o constantă care apare ca multiplicator în integrand poate fi realizată din semnul integrării fără a determina variația valorii integralei.

cu toate acestea, conceptul integralei, conform definiției lui A. Cauchy, nu era tocmai în gândirea matematică a lui Cavalieri, ci mai degrabă a fost analizat de P. Mengoli, discipolul și succesorul său în catedra de la Bologna. Cavalieri a urmărit multe căi pentru a-și demonstra principiul și se găsesc în Cartea a VII-a a sa geometrie.

să luăm în considerare cazul în geometria plană, unde, pe ipotezele principiului declarat, acordurile corespunzătoare ale figurilor date sunt egale în perechi (vezi Fig. 1). Cavalieri apoi, printr-o traducere în direcția liniilor drepte paralele în cauză, suprapune două coarde egale. Părțile figurii care sunt astfel suprapuse sunt, prin urmare, echivalente sau, mai degrabă, egale, deoarece sunt congruente. Părțile rămase, sau reziduurile, care nu sunt suprapuse, vor satisface în continuare condițiile relative la acordurile care au fost satisfăcute în figura originală. În acest fel, se poate proceda cu suprapuneri succesive prin traducere și este imposibil la un moment dat în operațiile succesive ca o figură să fie epuizată, cu excepția cazului în care și cealaltă este. Cavalieri concluzionează

că cifrele date sunt, prin urmare, echivalente. Argumentul este ingenios și intuitiv, dar conține un punct slab prin faptul că nu se dovedește că reziduurile, în operațiile descrise,se epuizează ;nici nu se stabilește că suma acestor reziduuri poate fi făcută mai puțin decât o suprafață dată. Cu toate acestea,Cavalieri, răspunzând obiecțiilor ridicate de Guldin,susține că eliminarea reziduurilor într-una dintre figuri, deci în cealaltă, poate fi efectuată prin intermediul unor operații infinite. Cealaltă demonstrație

a principiului Cavalieri se face prin metoda de epuizare a anticilor și este una riguroasă pentru figurile care îndeplinesc anumite condiții: adică demonstrația este valabilă pentru figurile care, pe lângă satisfacerea ipotezei principiului, se încadrează într-una din următoarele clase:

(1) paralelograme generalizate, și anume, figuri incluse între liniile paralele drepte p și l care intersectează acorduri de lungime constantă pe linii drepte care rulează în aceeași direcție ca p și l (vezi Fig. 2).

(2)figurae in alteram partem deficentes („figurile deficitare în altă parte”) sunt incluse între două linii paralele p și l și, în plus, coardele interceptate de o linie transversală paralelă cu p se diminuează pe măsură ce distanța transversalului față de linia dreaptă p crește (vezi Fig. 3).

(3) figuri care pot fi defalcate într-un număr finit de părți aparținând uneia dintre cele două clase menționate mai sus (vezi Fig. 4).în ciuda demonstrațiilor menționate și a succesului metodei indivizibililor, matematicienii contemporani, care erau mai atașați de tradițiile matematicii clasice, au intrat într-o polemică cu Cavalieri, fără să știe că Arhimede însuși folosise deja metode similare cu cele cărora li se opuneau. Acesta este cazul lui Guldin, care a avut o discuție interesantă cu Cavalieri, care este rezumată în exercițiul III al sexului Exercitationes geomeiricae.

multe rezultate care au fost obținute laborios prin metoda epuizării au fost obținute simplu și rapid prin principiul Cavalieri: de exemplu, aria unei elipse și volumul unei sfere. Prin metodele sale, Cavalieri a găsit rezultatul care în simbolurile de astăzi ar fi exprimat ca:

pentru orice număr natural n (n = 1,2,3,…). Cavalieri nu știa că acest rezultat, care apare în Centuria di varii problemi (1639), fusese deja găsit încă din 1636 de Fermat și Roberval, care ajunseseră la el prin alte mijloace.

prin metoda indivizibililor și pe baza unei Leme stabilite de elevul său G. A. Rocca, Cavalieri a dovedit teorema Guldin pe aria unei suprafețe și volumul solidelor rotative. Această teoremă, care apare și în anumite ediții ale operelor lui Pappus, deși considerată a fi o interpolare, a fost enunțată în Centrobaryca din Guldin, care și-a dovedit corectitudinea în anumite cazuri particulare, fără a furniza totuși dovada generală.

cel mai semnificativ progres în domeniul analizei infinitezimale pe liniile expuse de Cavalieri a fost făcut de Evangelista Torricelli. În a lui Arithmetica infinitorum (1655), John Wallis folosește și indivizibile.

deosebit de interesantă este opinia metodei Cavalieri exprimată de Pascal în Letires de Dettonville (1658): „tot ceea ce este demonstrat de adevăratele reguli ale indivizibililor va fi demonstrat și în mod necesar în maniera anticilor. Din acest motiv, în cele ce urmează, Nu voi ezita să folosesc chiar limbajul indivizibililor.”Deși în anii următori în domeniul analizei infinitezimalului, ideile noi au înlocuit vechiul pe indivizibile, metodele lui Cavalieri și Torricelli au exercitat o influență profundă, așa cum a recunoscut Leibniz într-o scrisoare către G. Manfredi: „… în cea mai sublimă geometrie, inițiatorii și promotorii care au îndeplinit sarcina unui yeoman în acel domeniu au fost Cavalieri și Torricelli; mai târziu, alții au progresat și mai mult, folosindu-se de munca lui Cavalieri și Torricelli.”Mai mult, Newton, în timp ce presupunea în Principia sa o atitudine critică în materie de indivizibile, a făcut totuși în Tractatus de quadratura curvarum, a folosit termenul fluens pentru a indica o magnitudine variabilă—un termen folosit anterior de Cavalieri în al său Exerciiationes geomeiricae sex.

în propoziția I din Cartea I a geometriei, găsim în formă geometrică teorema valorii medii, cunoscută și sub numele de teorema Cavalieri. Teorema este prezentată ca soluția următoarei probleme: Având în vedere o curbă plană, prevăzută cu o tangentă în fiecare punct și care trece prin două puncte A și B, pentru a găsi o linie dreaptă paralelă cu AB și tangentă la curbă la un moment dat pe curba dintre A și B. analitic avem: Dacă funcția reală f(x) a variabilei reale x este continuă în intervalul (A, b) și în fiecare punct din acest interval este diferențiabilă, cel puțin un punct de există astfel încât a<<B, astfel încât

logaritmii au fost introduși în matematică în lucrarea lui Napier în 1614. În Italia, astfel de auxiliari valoroși la calculul numeric au fost introduși de Cavalieri, împreună cu evoluții notabile în trigonometrie și aplicații în astronomie. În acest sens putem menționa Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), nuova pratica astrologica (1639) și Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). Directorium, Pratica și Trigonometria conțin, în plus, tabele logaritmice excelente trig-onometrice.

în Centuria, Cavalieri s-a ocupat de subiecte precum definiția generală a suprafețelor cilindrice și conice, formule pentru a determina volumul unui butoi și capacitatea unei bolți cu arcuri ascuțite și mijloacele de obținere din logaritmii a două numere logaritmul sumei sau diferenței, problemă care a fost preluată ulterior de diverși matematicieni. Gauss, printre altele. Lo specchio ustorio („sticla arzătoare”) conține câteva Date istorice interesante despre originea teoriei conicilor printre greci; potrivit lui Cavalieri, originile se regăsesc în cerințele gnomonice. În această lucrare, găsim o teorie a conicilor cu aplicații la optică și acustică. Printre primii, observăm ideea telescopului reflectant, dintre care-potrivit lui Piola și Favaro-Cavalieri a fost primul inventator, precedând Gregory și Newton; determinarea distanței focale a unei lentile de sfericitate neuniformă și explicații ale sticlei arzătoare a lui Arhimede, în domeniul acusticii, Cavalieri a încercat reconstrucția arheologică a vaselor rezonante menționate de Vitruvius și utilizate în teatre pentru amplificarea sunetului.

în această lucrare apar diferite construcții punctuale ale coniilor. Și mai interesante sunt construcțiile date în Geometria și în exerciții, obținute cu ajutorul creioanelor proiective care au precedat opera lui Steiner.

o întrebare delicată se referă la activitățile astrologice pe care Cavalieri le-a angajat în virtutea funcției sale, dar, așa cum a subliniat D ‘ aviso, el s-a opus predicțiilor bazate pe poziția stelelor și a stărilor așa la sfârșitul lui pratica astrologica.

bibliografie

I. lucrări originale. Lucrările lui Cavalieri includ Directorium generate uranometricum (Bologna, 1632); Geometria indivizibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; ediția a 2-a., 1653). Tradus în rusă de S. J. Lure (Moscova-Leningrad, 1940). Tradus în italiană, B Luc Lucio Lombardo-Radice, ca geometrie a indivizibililor de Bonaventura Cavalieri, al it-lea compendiu al regulilor triunghiurilor cu demonstrațiile lor (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); nuova pratica astromlogica (Bologna, 1639); prima masă logaritmică. Al doilea tabel logaritmic. Adnotări în lucrare și corecții ale celor mai notabile erori( Bologna, n. d.); apendicele noii practici astrologice (Bologna. 1640); Triganometria plana, ET sphaerica, linearis et logarithmica (Bologna, 1643); Tratat pe roata planetară perpetuă (Bologna, 1646); și geometr

II. lit secundar vezi U. D ‘ aviso, „viața lui P. Buonaventura Cavalieri”, în Tratatul sferei (Roma 1682); G. Piola, lauda lui Bonaventura Cavalieri (Milano, 1844); A. Bonaventura Cavalieri în studiul Bologna (Bologna, 1885); E. Bortolotti, „the progresul metodei infinitezimale în lucrarea geometrică a lui Torricelli”, în periodicul lui matermatiche, al 4-LEA ser., 8 (1928), 19–59; „Descoperirea și generalizările ulterioare ale unei teoreme fundamentale a calculului Integral”, în Archivio di Storia della scienza (1924), PP.205-227; F. Conforto, „lucrarea științifică a lui Bonaventura Cavalieri și Evangelista Torricelli”, în lucrările conferinței Pisa (23-27 Sept. 1948), PP.35-56; A. Masotti. „Comemorarea Bonaventura Cavalieri”, în rapoarte Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, parte acte generabile și oficiale, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, originile calculului infinitezimal în epoca modernă (Milano, 1962), pp.43-53; G. Cellini. „Indivizibilii în gândirea matematică și filosofică a lui Bonaventure Cavalieri”, în Journal of mathematics, Al 4-lea ser., 44 (1966), 1-21; „demonstrațiile Cavalerilor lui., principiu”, ibid., PP. 85-105.

Ettore Carruccio