teorema de Cantor, na teoria dos conjuntos, o teorema de que a cardinalidade (tamanho numérico) de um conjunto é estritamente menor que a cardinalidade de seu conjunto de potência, ou coleção de subconjuntos. Em símbolos, um conjunto finito S com elementos n contém subconjuntos 2n, de modo que a cardinalidade do conjunto S é N e seu conjunto de potência P(s) é 2n. Enquanto isso é claro para conjuntos finitos, ninguém havia considerado seriamente o caso para o infinito define antes do matemático alemão Georg Cantor—que é universalmente reconhecido como o fundador da moderna teoria dos conjuntos—começou a trabalhar nesta área no final do século 19.

O 1891 prova de Cantor do teorema para o infinito de conjuntos de repousava sobre uma versão de seu assim chamado diagonalization argumento, que ele havia usado para provar que a cardinalidade dos números racionais é o mesmo que a cardinalidade dos números inteiros, colocando-as em um um-para-um de correspondência. A noção de que, no caso de conjuntos infinitos, o tamanho de um conjunto poderia ser o mesmo que um de seus subconjuntos próprios não era muito surpreendente, como antes Cantor quase todos assumiram que havia apenas um tamanho para o infinito. No entanto, a prova de Cantor de que alguns conjuntos infinitos são maiores do que outros—por exemplo, os números reais são maiores do que os inteiros—foi surpreendente, e inicialmente encontrou grande resistência de alguns matemáticos, particularmente o alemão Leopold Kronecker. Além disso, o Cantor está a prova de que o poder de qualquer conjunto, incluindo qualquer conjunto infinito, é sempre maior do que o conjunto original levou-o a criar um sempre crescente de hierarquia de números cardinais, ℵ0, ℵ1, ℵ2…, conhecido como número total. Cantor propôs que não há número transfinito entre o primeiro número transfinito ℵ0, ou a cardinalidade dos inteiros, e o continuum (C), ou a cardinalidade dos números reais; em outras palavras, c = ℵ1. Isto é agora conhecido como a hipótese do continuum, e tem sido mostrado ser uma proposição indecidível na teoria dos conjuntos padrão.