(n. Milão, Itália, provavelmente 1598; D. Bolonha, Itália, 30 de novembro de 1647). matematico.a data de nascimento de Cavalieri é incerta; o dale dado acima é o Citado por Urbano D’Aviso, um discípulo e biógrafo de Cavalieri. O nome Bonaventura não era seu nome de batismo, mas sim o de seu pai. É o nome que o matemático adotou quando, em criança, entrou na ordem religiosa Jesuati, adeptos do governo de Santo Agostinho. Cavalieri foi recebido nas Ordens menores de Milão em 1615 e em 1616 transferido para o Mosteiro Jesuati em Pisa, onde teve a sorte de conhecer o monge beneditino Benedetto Castelli, que havia estudado com Galileu em Pádua e era na época professor de matemática em Pisa. Através dele Cavalieri foi iniciado no estudo da geometria. Ele rapidamente absorveu as obras clássicas de Euclides, Arquimedes. Apolônio e Pappus, demonstrando uma aptidão tão excepcional que às vezes substituiu seu professor na Universidade de Pisa. Ele foi introduzido por Castelli a Galileu, cujo discípulo ele sempre se considerou a si mesmo. Ele escreveu a Galileu pelo menos 112 cartas, que estão incluídas na edição nacional do Opere di Galileo; apenas duas das cartas de Galileu a Cavalieri, no entanto, chegaram até nós.em 1620, Cavalieri retornou a Roma sob ordens de seus superiores, e em 1621 foi ordenado diácono ao Cardeal Federigo Borromeo, que detinha Fra’ Bonaventura em grande estima e alegremente discutiu matemática com ele; posteriormente, o cardeal escreveu uma carta recomendando-o a Galileu. Cavalieri mal tinha 21 anos quando lecionou Teologia no Mosteiro de San Girolamo, em Milão, atraindo a atenção por seu profundo conhecimento do assunto.durante o seu período de Milão (1620-1623), Cavalieri desenvolveu as suas primeiras ideias sobre o método dos indivisíveis, a sua maior contribuição para a matemática. De 1623 a 1626 foi prior de São Pedro em Lodi. Mais tarde foi convidado em Roma de Monsenhor Ciampoli, a quem mais tarde dedicou sua Geometria. De 1626 a 16291 foi prior do Mosteiro de Jesuati em Parma, esperando em vão ser nomeado professor de matemática na Universidade de Parma. No outono de 1626, durante uma viagem de Parma a Milão, ele adoeceu com a gota, da qual sofria desde a infância e que o atormentaria até o fim de sua vida. Esta doença manteve-o em Milão por vários meses. Em 16 de dezembro de 1627, ele anunciou a Galileu e ao Cardeal Borromeo que tinha completado sua Geometria. Em 1628, ao saber que um cargo de professor em Bolonha havia ficado vago através da morte do astrônomo G. A. Magini, ele escreveu Galileu para ajudar a garantir a nomeação. Galileu, em 1629, escreveu Cesare Marsili, um cavalheiro de Bolonha e membro da Accademia dei Lincei, que tinha sido contratado para encontrar um novo professor de matemática. Em sua carta, Galileu disse de Cavalieri: “poucos, se algum, desde Arquimedes, se aprofundaram na ciência da geometria.”Em apoio de sua aplicação à posição de Bolonha, Cavalieri enviou a Marsili seu manuscrito de geometria e um pequeno tratado sobre seções cónicas e suas aplicações em óptica. O testemunho de Galileu, como Marsili escreveu. Induziu os” cavalheiros do Regimento ” a confiar a primeira cadeira de matemática a Cavalieri, que a manteve continuamente de 1629 até sua morte.ao mesmo tempo foi nomeado prior de um convento da sua própria ordem em Bolonha, especificamente na Igreja de Santa Maria della Mascarella, permitindo-lhe prosseguir sem qualquer impedimento o seu trabalho em matemática e o seu ensino universitário. Durante o período em que Cavalieri ensinou em Bolonha, ele publicou onze livros naquela cidade, incluindo a Geometria (1635).a teoria de Cavalieri, desenvolvida neste trabalho e em outros posteriormente publicados, relaciona-se com uma investigação em infinitesimais, decorrente do interesse revivido nas obras de Arquimedes, que durante o Renascimento foram traduzidas do grego para o latim, com comentários. As traduções de Tartaglia, Maurolico e Commandino são citadas já que serviram como ponto de partida para novos desenvolvimentos matemáticos.

os únicos escritos de Arquimedes conhecidos por matemáticos do século XVII foram aqueles baseados no estrito método da exaustão, pelo qual os matemáticos antigos lidavam com questões de um caráter infinitesimal sem recurso ao infinito ou ao infinitesimal real. No entanto, os grandes matemáticos do século XVII foram tão profundamente impregnados com o espírito de Arquimedes que, além do “método de exaustão”, os antigos geometristas devem ter conhecido um método mais manejável e eficaz para a pesquisa. Sobre este ponto de Torricelli escreveu:

eu não deveria ousar afirmar que esta geometria de indivisibles é, na verdade, uma nova descoberta. Prefiro acreditar que os antigos geometristas se aproveitaram deste método para descobrir os teoremas mais difíceis, embora em sua demonstração eles possam ter preferido outra maneira, ou para esconder o segredo de sua arte ou para não dar nenhuma ocasião para a crítica por detratores invidiosos. Seja o que for, é certo que esta geometria representa uma economia de trabalho maravilhosa nas manifestações e estabelece inúmeros teoremas, quase inescrutáveis, por meio de demonstrações breves, diretas e afirmativas, das quais a doutrina dos antigos era incapaz. A geometria dos indivisíveis era, de fato, no briar bush matemático, a chamada Estrada Real, e uma que Cavalieri abriu e estabeleceu para o público como um dispositivo de invenção maravilhosa .

In 1906 J. L. Heiberg encontrou, em um palimpsesto pertencente a uma biblioteca de Constantinopla, uma pequena obra de Arquimedes na forma de uma carta a Eratóstenes, que explicava um método pelo qual são como, volumes e centros de gravidade poderiam ser determinados. Este método, que por sua vez estava relacionado com os procedimentos de Demócrito de Abdera, considerou uma superfície plana como composta de acordes paralelos a uma determinada linha reta, e sólidos como compostos de seções planas paralelas uma à outra. Além disso, de acordo com Arquimedes, princípios de estática foram aplicados, onde pelas figuras, considerados como corpos pesados, foram pesados em uma escala ideal. “Eu acredito”, disse Arquimedes, “para que os homens do meu tempo e do futuro, e através deste método, pode ainda encontrar outros teoremas que ainda não veio à minha mente” (Rufini, II, “Metodo” di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità , p. 103). O desafio que Arquimedes estendeu não foi assumido, como sabemos, por seus contemporâneos e caiu no esquecimento por muitos séculos.

O conceito de indivisibles faz, às vezes, mostrar-se fugazmente na história do pensamento humano: por exemplo, em uma passagem do século xi hebraico filósofo e matemático Abraham bar Hiyya (Savasorda); pontuais de especulações—mais filosófica do que matemática—pelos Escolásticos medievais; em uma passagem de Leonardo da Vinci; em Kepler Nova stereometria doliorum (Linz, 1615). Por uma concepção diferente da de Cavalieri, os indivisíveis são tratados por Galileu em seu Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

Na Cavalieri chegamos a uma sistematização racional do método de indivisibles, um método que não só é considerado útil na busca por novos resultados, mas também, ao contrário do que Arquimedes assumido, é considerada como válida, quando devidamente modificado, para fins de demonstrar teoremas.

neste ponto surge uma questão primária: qual o significado que Cavalieri atribui aos seus indivisíveis? Este matemático, embora perfeitamente familiarizado com a sutil questões filosóficas ligado com o problema da possibilidade de constituição de contínua magnitudes por indivisibles, procura estabelecer um método independente de hipóteses, o que seria válido qualquer que seja o conceito formada a este respeito. Enquanto Galileu afirmou, “O maior e o melhor, embora principais componentes do contínuo, são infinitas indivisibles” (Opere, VII, 745-750),

Cavalieri não se atrevem a afirmar que o contínuo é composto de elementos indissociáveis, sobre o qual ele não dar uma definição explícita, nem ele esclarecer se elas eram reais ou potenciais dos infinitesimais. É também provável que a concepção de Cavalieri de seus indivisíveis passou por uma mudança e que estes nasceram como infinitesimais reais (como os de Galileu) e cresceu para se tornar infinitesimais potenciais (ver G. Cellini). Deve ainda ser referido, de acordo com L. Lombardo Radice, que o Cavalieri vista da indivisibles deu-nos uma profunda concepção dos conjuntos: não é necessário que os elementos do conjunto a ser atribuída ou atribuível; ao contrário, basta que um critério preciso existir para determinar se ou não um elemento pertence ao conjunto.independentemente de quaisquer considerações filosóficas sobre a natureza das indivisibilidades, as determinações de área e volumes feitas por Cavalieri baseiam-se no princípio do seu nome, que pode ser formulado da seguinte forma::

Se duas avião figuras cortadas por um conjunto de linhas retas paralelas se cruzam, em cada uma dessas linhas retas, iguais, os acordes, as duas figuras são equivalentes; se os acordes pertencentes a uma única linha reta, do conjunto de ter uma relação constante, a mesma proporção obtém entre as duas figuras.do mesmo modo, no espaço: se as secções de dois sólidos obtidas por meio de planos paralelos entre si forem equivalentes dois a dois, os dois sólidos são equivalentes.; se as duas secções obtidas com um dado plano tiverem uma razão constante quando o plano é variado, os dois sólidos têm uma razão igual à de duas das suas secções obtidas com um mesmo plano.

do ponto de vista da análise infinitesimal moderna, o princípio Cavalieri afirma em substância que duas integrais são iguais se as integrandas são iguais e os limites de integração são também iguais. Além disso, uma constante que aparece como multiplicador no integrand pode ser realizada a partir do sinal de integração sem fazer variar o valor do integral.

no entanto, o conceito da integral, de acordo com a definição de A. Cauchy, não estava precisamente no pensamento matemático de Cavalieri, mas foi olhado por P. Mengoli, seu discípulo e sucessor na cadeira de Bolonha. Cavalieri seguiu muitos caminhos para demonstrar seu princípio, e eles estão presentes no Livro VII de sua geometria.

consideremos o caso em Geometria plana, onde, sobre as hipóteses do princípio declarado, os acordes correspondentes das figuras dadas são iguais em pares(ver Fig. 1). Cavalieri então, através de uma tradução na direção das linhas retas paralelas em questão, sobrepõe dois acordes iguais. As partes da figura que são assim sobrepostas são, portanto, equivalentes ou, melhor, iguais, porque são congruentes. As restantes partes, ou resíduos, que não são sobrepostos, continuarão a satisfazer as condições relativas aos acordes que foram satisfeitos na figura original. Desta forma, pode-se proceder com sucessivas superposições pela tradução, e é impossível em um determinado ponto das operações sucessivas que um número seja esgotado a menos que o outro seja também. Cavalieri conclui que os valores indicados são, portanto, equivalentes. O argumento é engenhoso e intuitivo, mas contém um ponto fraco em que não está provado que os resíduos,nas operações descritas, se esgotam ;nem está estabelecido que a soma desses resíduos pode ser feita menos do que uma determinada superfície. No entanto,a Cavalieri, ao responder às objecções levantadas pela Guldin,alega que a eliminação dos resíduos num dos números, ou seja, no outro, pode ser realizada através de operações infinitas. A outra demonstração

do princípio Cavalieri é feita pelo método de exaustão dos antigos e é rigorosa para os números que satisfazem determinadas condições: ou seja, a demonstração é válida para os números que, além de satisfazer a hipótese do princípio, pertencem a uma das seguintes classes::

(1) paralelos generalizados, nomeadamente, figuras incluídas entre linhas paralelas rectas p E L que intersectam acordes de comprimento constante em linhas rectas que correm na mesma direcção que p E l (ver Fig. 2).

(2) as estatuetas de alteram partes em deficientes (“figuras deficientes noutra parte”) estão incluídas entre duas linhas paralelas p E L e, além disso, os acordes interceptados por uma linha transversal paralela a p diminuem à medida que a distância entre o transversal e a linha recta p aumenta (ver Fig. 3).(3) figuras capazes de serem divididas num número finito de partes pertencentes a qualquer uma das duas classes acima mencionadas (ver Fig. 4).apesar das demonstrações mencionadas e do sucesso do método de indivisibilidade, matemáticos contemporâneos, que estavam mais ligados às tradições da matemática clássica, entraram em uma polêmica com Cavalieri, sem saber que Arquimedes já tinha usado métodos semelhantes aos que eles estavam se opondo. Tal é o caso de Guldin, que teve uma discussão interessante com Cavalieri que é resumida no exercício III do Exercitationes geomeiricae sex.

Muitos resultados, laboriosamente obtidos pelo método de exaustão foram obtidos de forma simples e rápida através do princípio de Cavalieri: por exemplo, a área de uma elipse e o volume de uma esfera. Por meio de seus métodos, Cavalieri encontrou o resultado que nos símbolos de hoje seria expresso como:

para qualquer número natural n (n = 1,2,3,…). Cavalieri não sabia que este resultado, que aparece na Centuria di varii problemi (1639), já havia sido encontrado em 1636 por Fermat e Roberval, que tinham chegado a ele por outros meios.

By means of the method of indivisibles and based upon a lemma established by his pupil G. A. Rocca, Cavalieri proved the Guldin theorem on the area of a surface and the volume of rotating sólidos. Este teorema, que também aparece em certas edições das obras de Pappus, embora considerado uma interpolação, foi enunciado no Centrobarica de Guldin, que provou sua correção em certos casos particulares, sem, no entanto, fornecer a prova geral.o progresso mais significativo no campo da análise infinitesimal ao longo das linhas estabelecidas por Cavalieri foi feito por Evangelista Torricelli. Em sua aritmética infinitorum (1655), John Wallis também faz uso de indivisíveis.especialmente interessante é a opinião do método Cavalieri expressa por Pascal em seus Letires de Dettonville (1658): “tudo o que é demonstrado pelas verdadeiras regras dos indivisíveis também e necessariamente será demonstrado na maneira dos antigos. Por essa razão, no que se segue, não hesitarei em usar a própria linguagem dos indivisíveis.”Apesar de nos anos seguintes no campo de análise infinitesimal, novas ideias substituiu o antigo na indivisibles, os métodos de Cavalieri e Torricelli exerceu uma profunda influência, como Leibniz, reconheceu em carta a G. Manfredi: “… no mais sublime dos geometria, os iniciadores e promotores que realizou uma visita a tarefa no campo que foram Cavalieri e de Torricelli; mais tarde, outros progrediu ainda mais, valendo-se do trabalho de Cavalieri e Torricelli.”Além disso, Newton, embora assumindo em seu Principia uma atitude crítica em matéria de indivisibles, fez, não obstante, em seu Tractatus de quadratura curvarum, use o termo fluens para indicar uma variável magnitude—um termo usado anteriormente por Cavalieri em sua Exerciiationes geomeiricae sexo.

In proposition I of Book I of the Geometria, we find in geometric form the theorem of mean value, also known as the Cavalieri theorem. O teorema é apresentado como a solução do seguinte problema: Dada uma curva de avião, desde que com uma tangente em cada ponto e que passa por dois pontos A e B, para encontrar uma recta paralela a AB e a reta tangente a curva em algum ponto sobre a curva entre A e B. do ponto de vista analítico, temos: Se a função real f(x) da variável real x é contínua no intervalo (a, b), e em cada ponto dentro deste intervalo é diferenciável, pelo menos um ponto de existir tais que a<<b, de modo que

Logaritmos foram introduzidos em matemática no trabalho de Napier, em 1614. Na Itália, tais auxiliares valiosos para o cálculo numérico foram introduzidos por Cavalieri, juntamente com desenvolvimentos notáveis na trigonometria e aplicações à astronomia. Neste contexto, podemos mencionar Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639), Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). O directório, o Pratica e o Trigonometria contêm, além disso, excelentes tabelas logaritmicas onométricas.

Na Centuria, Cavalieri tratados temas tais como, a definição geral do cilíndricas e cônicas, superfícies, as fórmulas para determinar o volume de um cilindro e a capacidade de uma abóbada com arcos pontiagudos, e os meios de obtenção de logaritmos de dois números, o logaritmo da soma ou da diferença, um problema que foi posteriormente retomado por vários matemáticos. Gauss entre outros. Lo specchio ustorio (“o vidro ardente”) contém alguns dados históricos interessantes sobre a origem da teoria das cónicas entre os gregos.; de acordo com Cavalieri, as origens são encontradas nas necessidades gnomônicas. Neste trabalho, encontramos uma teoria das cónicas com aplicações para óptica e acústica. Entre os primeiros, observamos a ideia do telescópio refletor, do qual—de acordo com Piola e Favaro—Cavalieri foi o primeiro inventor, antes de Gregory e Newton; determination of the focal length of a lens of desigual sphericity and explications of the burning glass of Archimedes, In the field of acoustics, Cavalieri attempted the archaeological reconstruction of the resonant vasos mentioned by Vitruvius and used in theaters for amplifying sound.

neste trabalho, várias construções pontiagudas de conies aparecem. Mais interessantes ainda são as construções dadas na Geometria e nos exercícios, obtidas por meio de lápis projetivos que antecederam o trabalho de Steiner.uma questão delicada relaciona-se com as atividades astrológicas que Cavalieri envolveu em virtude de seu ofício, mas, como apontado por D’Aviso, ele se opôs a previsões baseadas na posição das estrelas e Estados assim no final de sua astrologia Pratica.

bibliografia

I. obras originais. As obras de Cavalieri incluem Directorium generate uranometricum (Bolonha, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; 2ª ed., 1653). Translated into Russian by S. J. Lure (Moscow-Leningrad, 1940). Traduzido para o italiano, B Luc Lucio Lombardo-Radice,como a geometria de Indivisibles por Bonaventura Cavalieri ,om Compêndio de regras de triângulos, com suas manifestações (Bolonha, 1638); Centuria di varii problemi (Bolonha, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bolonha, 1639); Prima logarítmica tabela. Segunda tabela logarítmica. Annotations in the work, and corrections of the most notable errors (Bologna, N. D.); appendix of the new astrological practice (Bologna. 1640); Triganometria plana, ET sphaerica, linearis et logarithmica (Bolonha, 1643); Tratado sobre a perpétua planetária (Bolonha, 1646); e geometr

II. Secundário Iluminado Ver U. D’aviso, “a vida de P. Buonaventura Cavalieri”, no Tratado Da Esfera (Roma 1682); G. Piola, louvor de Bonaventura Cavalieri (Milão, 1844); A. Bonaventura Cavalieri no estudo de Bolonha (Bolonha, 1885); E. Bortolotti, “o progresso do infinitesimal método geométrico de trabalho de Torricelli”, no periódico de matermatiche, 4 de sor., 8 (1928), 19–59; “The discovery and subsequent generalizations of a fundamental theorem of Integral Calculus”, in Archivio di Storia della scienza (1924), pp. 205-227; F. Conforto, “the scientific work of Bonaventura Cavalieri and Evangelista Torricelli”, in Proceedings of the Pisa conference (23-27 Sept. 1948), pp. 35-56; A. Masotti. “Commemoration of Bonaventura Cavalieri”, in reports Moderna Istituto Lombardo di scienze e lettere, part generable and official acts, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, the origins of infinitesimal calculus in the modern era (Milan, 1962), pp. 43-53; G. Cellini. “The Indivisibles in the mathematical and philosophical thought of Bonaventure Cavalieri”, in Journal of mathematics, 4th ser., 44 (1966), 1-21; “the Knights demonstrations of his., principle”, ibid., pp. 85-105.

Ettore Carruccio