rozważmy następującą grę: zapisuję losową liczbę rzeczywistą z zakresu od 0 do 1 i proszę o odgadnięcie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadniesz to poprawnie? Odpowiedź brzmi zero. Możesz się zastanawiać: „ale możliwe, że odgadnę poprawną odpowiedź! Oznacza to, że prawdopodobieństwo musi być większe niż zero!”i będziesz usprawiedliwiony w zastanawianiu się, ale będziesz w błędzie. To prawda, że zdarzenia, które są niemożliwe, mają zerowe prawdopodobieństwo, ale konwersja nie jest prawdziwa w ogóle. W dalszej części tego postu pokażemy, dlaczego powyższa odpowiedź była w rzeczywistości zerowa i dlaczego nie musi to spowodować nieodwracalnych szkód w Twoim obecnym światopoglądzie.

zacznijmy od pokazania, że prawdopodobieństwo odgadnięcia mojej liczby jest równe zeru. Niech będzie prawdopodobieństwem o którym mowa. Chodzi o to, aby pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej . Wiemy, że , a jeśli jest mniejsza niż jakakolwiek liczba dodatnia, to musi być równa zero! Argument jest następujący. Nazwijmy wybrany przeze mnie numer . Wyobraź sobie, że interwał jest pomalowany na biało. Wybierz dowolną dodatnią liczbę rzeczywistą . Następnie istnieje podzbiór długości w przedziale zawierający . Wyobraź sobie, że ten poddział jest pomalowany na czarno, więc teraz mamy czarny pasek długości na oryginalnym białym pasku, a numer, który wybrałem, był w czarnym pasku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że twoje przypuszczenia trafią na czarny pas? Musi to być , ponieważ jest to proporcja białego paska, który jest pokryty. Ale aby Twoje zgadywanie było równe mojej liczbie, musi wylądować w czarnym pasku, więc twoje prawdopodobieństwo zgadywania nie może być większe niż prawdopodobieństwo zgadywania liczby na czarnym pasku! Dlatego .

powinieneś teraz być przekonany, że to wydarzenie rzeczywiście ma zerowe prawdopodobieństwo wystąpienia, ale nadal jest prawdziwe. Zjawisko to wynika z następującego faktu geometrycznego: możliwe jest posiadanie zbioru niepustego o zerowej „objętości”. Termin ” objętość „zależy od kontekstu; w przypadku punktu na przedziale” objętość ” jest długością. Prawdopodobieństwo zdarzenia mierzonego w przedziale jest równe jego długości, a pojedynczy punkt na przedziale ma zerową długość, ale nadal jest niepustym podzbiorem interwału! Prawdopodobieństwo jest w zasadzie miarą „objętości”, gdzie cała przestrzeń ma” objętość ” równą 1. Definiując Prawdopodobieństwo w ten sposób, możemy udowodnić wszystkie rodzaje schludnych faktów używając czegoś, co nazywa się teorią miary.

aby podsumować, powinieneś nauczyć się następujących rzeczy z tego postu:

• prawdopodobieństwo przypadkowego wybrania określonej liczby w przedziale jest równe zero
• zdarzenia, które mają zerowe prawdopodobieństwo są nadal możliwe