(ur. Mediolan, Włochy, prawdopodobnie 1598; zm. Bolonia, Włochy, 30 listopada 1647). matematyka.
Data urodzenia Cavalieriego jest niepewna; powyższy cytat przytacza Urbano d ’ Aviso, uczeń i biograf Cavalieriego. Imię Bonawentura nie było jego chrzcielnym imieniem, ale raczej imieniem jego ojca. Imię to przyjął matematyk, gdy jako chłopiec wstąpił do zakonu jezuitów, wyznawców reguły św. Augustyna. Cavalieri został przyjęty w mniejszych zakonach w Mediolanie w 1615 i w 1616 przeniesiony do klasztoru Jesuati w Pizie, gdzie miał szczęście spotkać benedyktyńskiego mnicha Benedetto Castelli, który studiował z Galileuszem w Padwie i był w tym czasie wykładowcą matematyki w Pizie. Za jego pośrednictwem Cavalieri rozpoczął naukę geometrii. Szybko wchłonął klasyczne dzieła Euklidesa, Archimedesa. Apoloniusz i Pappus, wykazując się tak wyjątkowymi zdolnościami, że czasami zastępował swojego nauczyciela na Uniwersytecie w Pizie. Castelli przedstawił go Galileuszowi, którego uczeń zawsze uważał za siebie. Napisał Galileo co najmniej 112 listów, które są zawarte w krajowym wydaniu opere di Galileo; tylko dwa z listów Galileo do Cavalieri spadły do nas, jednak.
w 1620 Cavalieri wrócił do Rzymu na polecenie swoich przełożonych, aw 1621 został wyświęcony na diakona Kardynała Federigo Borromeo, który miał Fra’ Bonaventura w wielkim poważaniu i chętnie dyskutował z nim matematyki; kardynał następnie napisał list polecający go Galileo. Cavalieri miał zaledwie dwadzieścia jeden lat, gdy wykładał teologię w klasztorze San Girolamo w Mediolanie, przyciągając uwagę swoją głęboką znajomością tego przedmiotu.
w okresie mediolańskim (1620-1623) Cavalieri rozwinął swoje pierwsze pomysły dotyczące metody niepodzielności, co było jego głównym wkładem w matematykę. W latach 1623-1626 był przeorem św. Piotra w Lodi. Później był gościem w Rzymie Monsignora Ciampoli, któremu później zadedykował swoją geometrię. W latach 1626-16291 był przeorem klasztoru Jezuitów w Parmie, mając nadzieję na próżno zostać wykładowcą matematyki na tamtejszym uniwersytecie. Jesienią 1626 roku, podczas podróży z Parmy do Mediolanu, zachorował na podagrę, na którą cierpiał od dzieciństwa i która miała go dręczyć do końca życia. Choroba ta utrzymywała go w Mediolanie przez kilka miesięcy. 16 grudnia 1627 ogłosił Galileuszowi i Kardynałowi Borromeo, że ukończył geometrię. W 1628, dowiedziawszy się, że stanowisko wykładowcy w Bolonii stał się wolny przez śmierć astronoma G. A. Magini, napisał Galileo za pomoc w zapewnieniu nominacji. Galileo, w 1629, napisał do Cesare Marsili, gentleman Bolonii i członek Accademia dei Lincei, który został zlecony, aby znaleźć nowego wykładowcę matematyki. W swoim liście, Galileo powiedział Cavalieri, ” niewielu, jeśli w ogóle, od Archimedesa, zagłębiły się tak daleko i tak głęboko do nauki geometrii.”Na poparcie swojej kandydatury na stanowisko bolońskie Cavalieri przesłał Marsilimu swój rękopis geometrii i mały Traktat o przekrojach stożkowych i ich zastosowaniach w optyce. Świadectwo Galileusza, jak napisał Marsili. Skłonił „Panów Regimentu” do powierzenia pierwszego Katedry Matematyki Cavalieriemu, który sprawował ją nieprzerwanie od 1629 roku do śmierci.
w tym samym czasie został mianowany przeorem klasztoru własnego zakonu w Bolonii, a konkretnie w kościele Santa Maria della Mascarella, co umożliwiło mu prowadzenie bez przeszkód zarówno pracy matematycznej, jak i nauczania uniwersyteckiego. W okresie, w którym Cavalieri nauczał w Bolonii, opublikował w tym mieście jedenaście książek, w tym geometrię (1635).
teoria Cavalieriego, rozwinięta w tym dziele i w innych opublikowanych później, odnosi się do dociekań infinitesimals, wynikających z ożywienia zainteresowania dziełami Archimedesa, które w okresie renesansu były tłumaczone z greki na łacinę, z komentarzami. Tłumaczenia Tartaglia, Maurolico i Commandino są cytowane, ponieważ służyły jako punkt wyjścia dla nowych osiągnięć matematycznych.
jedynymi pismami Archimedesa znanymi SIEDEMNASTOWIECZNYM matematykom były te oparte na ścisłej metodzie wyczerpania, dzięki której starożytni matematycy zajmowali się kwestiami o nieskończonym charakterze bez odwoływania się do nieskończonego lub rzeczywistego nieskończonego. Niemniej jednak wielcy matematycy XVII wieku byli tak dogłębnie przesiąknięci duchem Archimedesa, że docenili, że oprócz” metody wyczerpania ” starożytni geometrycy musieli znać łatwiejszą i skuteczniejszą metodę badań. W tym miejscu Torricelli napisał:
nie powinienem się śmiać twierdzić, że ta geometria niepodzielności jest w rzeczywistości nowym odkryciem. Powinienem raczej wierzyć, że starożytni geometrycy skorzystali z tej metody, aby odkryć trudniejsze twierdzenia, chociaż w swojej demonstracji mogli woleć inny sposób, albo ukryć tajemnicę swojej sztuki, albo nie pozwolić sobie na krytykę przez podstępnych krytyków. Cokolwiek to było, jest pewne, że geometria ta reprezentuje wspaniałą ekonomię pracy w demonstracjach i ustanawia niezliczone, prawie niezrozumiałe twierdzenia za pomocą krótkich, bezpośrednich i afirmatywnych demonstracji, do których Doktryna starożytnych nie była zdolna. Geometria niepodzielności była rzeczywiście, w matematycznym buszu briar, tak zwaną Drogą Królewską, i taką, którą Cavalieri po raz pierwszy otworzył i udostępnił publiczności jako urządzenie wspaniałego wynalazku .
Heiberg znalazł w palimpsestie należącym do biblioteki Konstantynopolitańskiej niewielkie dzieło Archimedesa w formie listu do Eratostenesa, które wyjaśniało metodę, za pomocą której można określić as, tomy i środki ciężkości. Metoda ta, odnosząca się z kolei do procedur Democritusa z Abdery, uznawała płaszczyznę za złożoną z równoległych do danej linii prostej akordów, a bryły za złożoną z równoległych do siebie odcinków płaszczyzny. Ponadto, według Archimedesa, zastosowano Zasady statyki, gdzie przez figury, uważane za ciężkie ciała, ważono w idealnej skali. „Wierzę,” powiedział Archimedes, ” że ludzie moich czasów i przyszłości, i dzięki tej metodzie, mogą znaleźć jeszcze inne twierdzenia, które jeszcze nie przyszły mi do głowy „(Rufini, II „Metodo” di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell ’ Antichità, str. 103). Wyzwanie, które Archimedes rozszerzył, nie zostało podjęte, jak wiemy, przez jego współczesnych i zapadło w zapomnienie na wiele wieków.
pojęcie niepodzielności pojawia się czasami przelotnie w historii myśli ludzkiej: na przykład w fragmencie jedenastowiecznego hebrajskiego filozofa i matematyka Abrahama Bar Hiyya (Savasorda); w sporadycznych spekulacjach-bardziej filozoficznych niż matematycznych—przez średniowieczną Scholastykę; w fragmencie Leonarda da Vinci; w Nova stereometria doliorum Keplera (Linz, 1615). Według koncepcji odmiennej od Cavalieriego, indivisibles są traktowane przez Galileo w jego Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.
w Cavalierim dochodzimy do racjonalnej systematyzacji metody niepodzielności, metody, która nie tylko jest uważana za użyteczną w poszukiwaniu nowych wyników, ale także, wbrew temu, co zakładał Archimedes, jest uważana za ważną, po odpowiedniej modyfikacji, dla celów demonstracji twierdzeń.
w tym momencie pojawia się podstawowe pytanie: jakie znaczenie Cavalieri przypisywał swoim niepodzielnościom? Matematyk ten, choć doskonale zaznajomiony z subtelnymi filozoficznymi pytaniami związanymi z problemem możliwości tworzenia ciągłych wielkości przez niepodzielności, dąży do ustalenia metody niezależnej od hipotez podmiotu, która byłaby aktualna niezależnie od koncepcji ukształtowanej w tym zakresie. Podczas gdy Galileusz twierdził, że „najwyższe i ostateczne, chociaż podstawowe składniki ciągłego, są nieskończonymi niepodzielnościami” (Opere, VII, 745-750),
Cavalieri nie ośmielił się twierdzić, że ciągłe składa się z niepodzielnych elementów, co do których nie podał jednoznacznej definicji, ani nie wyjaśnił, czy są one rzeczywistymi, czy potencjalnymi infinitezymalami. Jest również prawdopodobne, że koncepcja Cavalieriego dotycząca jego niepodzielności uległa zmianie i że narodziły się one jako rzeczywiste infinitezymale (podobnie jak Galileusz) i stały się potencjalnymi infinitezymalami (patrz G. Cellini). Należy ponadto podkreślić, według L. Lombardo Radice, że Cavalieriego pogląd na niepodzielność dał nam głębszą koncepcję zbiorów: nie jest konieczne, aby elementy zbioru były przypisywane lub przypisywalne; wystarczy raczej, aby istniało precyzyjne kryterium dla określenia, czy element należy do zbioru, czy nie.
poza wszelkimi rozważaniami filozoficznymi dotyczącymi natury niepodzielności, ustalenia powierzchni i objętości dokonane przez Cavalieriego opierają się na zasadzie noszącej jego imię, która może być sformułowana w następujący sposób:
Jeśli dwie figury płaskie przecięte przez zbiór równoległych linii prostych przecinają się, na każdej z tych linii prostych równe akordy, dwie figury są równoważne; jeśli akordy odnoszące się do pojedynczej linii prostej zbioru mają stały stosunek, ten sam stosunek uzyskuje się między dwiema figurami.
podobnie w przestrzeni: jeśli odcinki dwóch ciał stałych otrzymane za pomocą równoległych do siebie płaszczyzn są równoważne dwa na dwa, to dwa ciała stałe są równoważne; jeśli dwa odcinki otrzymane z danej płaszczyzny mają stały stosunek, gdy płaszczyzna jest zmienna, to dwie bryły mają stosunek równy stosunkowi dwóch ich odcinków otrzymanych z jednej tej samej płaszczyzny.
z punktu widzenia współczesnej analizy infinitezymalnej zasada Cavalieriego zasadniczo potwierdza, że dwie całki są równe, jeśli liczby całkowite są równe, a granice całkowania są równe. Ponadto stała, która pojawia się jako mnożnik w całce, może być wyprowadzona ze znaku całki bez powodowania różnicowania wartości całki.
jednak pojęcie całki, zgodnie z definicją A. Cauchy ’ ego, nie było dokładnie w matematycznej myśli Cavalieriego, ale raczej zostało zbadane przez P. Mengoli, jego ucznia i następcę w katedrze w Bolonii. Cavalieri podążał wieloma ścieżkami, aby zademonstrować swoją zasadę, którą można znaleźć w VII Księdze jego geometrii.
rozważmy przypadek w geometrii płaszczyznowej, gdzie na podstawie hipotez zadanej Zasady odpowiadające akordy danych liczb są równe w parach (patrz Rys. 1). Cavalieri następnie, poprzez tłumaczenie w kierunku równoległych linii prostych, o których mowa, nakłada dwa równe akordy. Części figury, które w ten sposób są nałożone, są zatem równoważne lub raczej równe, ponieważ są przystające. Pozostałe części lub pozostałości, które nie są nakładane, nadal będą spełniać warunki w stosunku do akordów, które zostały spełnione w oryginalnej figurze. W ten sposób można przechodzić kolejne superpozycje przez tłumaczenie i niemożliwe jest w danym momencie kolejnych operacji, aby jedna figura została wyczerpana, chyba że druga jest również. Cavalieri stwierdza
, że podane liczby są zatem równoważne. Argument ten jest pomysłowy i intuicyjny, ale zawiera słaby punkt w tym, że nie udowodniono, że pozostałości w opisanych operacjach ulegają wyczerpaniu ;nie ustalono również, że suma takich pozostałości może być mniejsza niż dana powierzchnia. Niemniej Cavalieri, odpowiadając na zastrzeżenia Guldina, twierdzi, że eliminacja pozostałości w jednej z figur,a więc w drugiej, może być dokonana za pomocą nieskończonych operacji. Druga demonstracja
Zasady Cavalieriego jest dokonywana przez starożytną metodę wyczerpania i jest rygorystyczna dla figur spełniających określone warunki: oznacza to, że demonstracja jest ważna dla figur, które oprócz spełnienia hipotezy zasady należą do jednej z następujących klas:
(1) uogólnione równoległoboki, a mianowicie figury zawarte między prostymi równoległymi liniami p I l, które przecinają akordy o stałej długości na prostych liniach biegnących w tym samym kierunku co p i l (patrz Rys. 2).
(2)figurae in alteram partem deficientes („figury z niedoborem w innej części”) są zawarte między dwiema równoległymi liniami p i l, a ponadto akordy przechwycone przez poprzeczną linię równoległą do p zmniejszają się wraz ze wzrostem odległości poprzecznej od prostej P (patrz Rys. 3).
(3) liczby, które można podzielić na skończoną liczbę części należących do jednej z wyżej wymienionych dwóch klas (patrz Rys. 4).
pomimo wspomnianych demonstracji i sukcesu metody niepodzielności, współcześni matematycy, bardziej przywiązani do tradycji matematyki klasycznej, wdali się w polemikę z Cavalierim, nie wiedząc, że sam Archimedes już stosował metody podobne do tych, którym się sprzeciwiali. Tak jest w przypadku Guldina, który miał interesującą dyskusję z Cavalierim, którą podsumowano w ćwiczeniu III Exercitationes geomeiricae sex.
wiele wyników, które mozolnie uzyskano metodą wyczerpania, uzyskano w prosty i szybki sposób dzięki zasadzie Cavalieriego: na przykład pole elipsy i objętość kuli. Za pomocą swoich metod Cavalieri znalazł wynik, który w dzisiejszych symbolach byłby wyrażony jako:
dla dowolnej liczby naturalnej n (n = 1,2,3,…). Cavalieri nie był świadomy, że ten wynik, który pojawia się w Centuria di varii problemi (1639), został znaleziony już w 1636 przez Fermata i Robervala, którzy dotarli do niego innymi środkami.
za pomocą metody niepodzielności i na podstawie lematu ustalonego przez jego ucznia G. A. Rocca, Cavalieri udowodnił twierdzenie Guldina o powierzchni i objętości obracających się ciał stałych. Twierdzenie to, które pojawia się również w niektórych wydaniach dzieł Pappusa, choć uważane jest za interpolację, zostało wypowiedziane w Centrobarycy Guldina, który udowodnił swoją poprawność w niektórych szczególnych przypadkach, nie dostarczając jednak ogólnego dowodu.
najistotniejszy postęp w dziedzinie analizy infinitezymalnej według założeń Cavalieriego dokonał Evangelista Torricelli. W swojej Arithmetica infinitorum (1655) John Wallis posługuje się także niepodzielnością.
szczególnie interesująca jest opinia o metodzie Cavalieriego wyrażona przez Pascala w jego Letires de Dettonville (1658): „wszystko, co jest demonstrowane przez prawdziwe zasady niepodzielności, będzie również i koniecznie będzie demonstrowane w sposób starożytny. Z tego powodu, co następuje, nie zawaham się użyć samego języka niepodzielności.”Chociaż w następnych latach w dziedzinie analizy infinitesimal, nowe idee zastąpiły stare Na niepodzielnych, metody Cavalieriego i Torricelli wywarły głęboki wpływ, jak przyznał Leibniz w liście do G. Manfrediego:” … w najsubtelniejszej geometrii inicjatorami i promotorami, którzy wykonywali zadanie ziemianina w tej dziedzinie, byli Cavalieri i Torricelli; później inni posunęli się jeszcze dalej, korzystając z pracy Cavalieriego i Torricelli.”Co więcej, Newton, przyjmując w swojej Principia krytyczną postawę w kwestii niepodzielności, jednak w swoim Tractatus de quadratura curvarum, użył terminu fluens do wskazania zmiennej wielkości-terminu wcześniej używanego przez Cavalieriego w jego Exerciiationes geomeiricae sex.
w propozycji i księgi i geometrii znajdujemy w formie geometrycznej twierdzenie o wartości średniej, znane również jako twierdzenie Cavalieriego. Twierdzenie jest przedstawione jako rozwiązanie następującego problemu: Biorąc pod uwagę płaszczyznę krzywej, pod warunkiem stycznej w każdym punkcie i przechodzącej przez dwa punkty A i B, aby znaleźć prostą równoległą do AB i styczną do krzywej w pewnym punkcie na krzywej między A I B. analitycznie mamy: jeśli rzeczywista funkcja f(x) zmiennej rzeczywistej X jest ciągła w przedziale (A, b) i w każdym punkcie w tym przedziale jest różniczkowalna, co najmniej jeden punkt istnieje tak, że a<<<B, tak że
logarytmy zostały wprowadzone do matematyki w pracy napiera w 1614 roku. Cavalieri wprowadził we Włoszech tak cenne narzędzia pomocnicze do obliczeń numerycznych, wraz z godnymi uwagi rozwojem trygonometrii i zastosowaniami w astronomii. W związku z tym można wymienić Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639) i Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). Directorium, Pratica i Trigonometria zawierają ponadto doskonałe tabele logarytmiczno-onometryczne.
w centurii Cavalieri zajmował się takimi tematami, jak ogólna definicja powierzchni cylindrycznych i stożkowych, wzory do określania objętości lufy i pojemności sklepienia ze spiczastymi łukami oraz sposoby uzyskiwania z logarytmów dwóch liczb logarytmu sumy lub różnicy, problem, który był później podejmowany przez różnych matematyków. Gauss m.in. Lo Specchio ustorio („płonące Szkło”) zawiera kilka interesujących danych historycznych na temat pochodzenia teorii stożków wśród Greków; według Cavalieriego pochodzenie można znaleźć w gnomonicznych wymaganiach. W pracy tej znajdujemy teorię stożków z zastosowaniami do optyki i akustyki. Wśród tych pierwszych zauważamy ideę teleskopu refleksyjnego, którego—według Pioli i Favaro-Cavalieri był pierwszym wynalazcą, wyprzedzając Gregory ’ ego i Newtona; określenie ogniskowej soczewki o nierównej sferyczności i Wyjaśnienie płonącego szkła Archimedesa, w dziedzinie akustyki, Cavalieri podjął próbę archeologicznej rekonstrukcji wazonów rezonansowych wymienionych przez Witruwiusza i używanych w teatrach do wzmacniania dźwięku.
w tej pracy pojawiają się różne punktowe konstrukcje stożków. Jeszcze ciekawsze są konstrukcje podane w geometrii i ćwiczeniach, uzyskane za pomocą ołówków rzutowych, które poprzedzały pracę Steinera.
delikatne pytanie odnosi się do astrologicznych działań, które Cavalieri prowadził na mocy swojego urzędu, ale, jak zauważył D ’ Aviso, był przeciwny prognozom opartym na położeniu gwiazd i stwierdza tak na końcu swojej pratica astrologica.
Bibliografia
I. Prace oryginalne. Dzieła cavalieriego to Directorium uranometricum( Bologna, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; 2nd ed., 1653). Przetłumaczony na język rosyjski przez S. J. Lure 'a (Moskwa-Leningrad, 1940). Translated into Italian, by Lucio Lombardo-root, as geometrię niepodzielnych di Bonaventura Cavalieri, with introduction and notes (Turin, 1966). Zbiór reguł trójkątów z ich dowodami (Bolonia, 1638); Centuria różnych problemów (Bolonia, 1639); nowa praktyka astromlogiczna (Bolonia, 1639); pierwsza tabela logarytmiczna. Druga tabela logarytmiczna. Annotationi w pracy, a korekta najbardziej zauważalnych błędów (Bolonia, n. d.); zastosowanie nowej praktyki astrologicznej (Bolonia. 1640); Triganometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (Bolonia, 1643); Traktat o wiecznym kole planetarnym (Bolonia, 1646); exercitationes geometricae sex (Bolonia, 1647).
II. Druga Literatura. Zobacz U. D 'Aviso,” życie P. Buonaventura Cavalieri”, w Traktacie o sferze (Rzym 1682); G. Piola, pochwała Bonaventura Cavalieri (Mediolan, 1844); A. Bonaventura Cavalieri w badaniu Bolonii (Bolonia, 1885); E. Bortolotti, „postęp nieskończonej metody w geometrycznej pracy Torricelli”, w periodyku matermatichi, 4th ser., 8 (1928), 19–59; „Odkrycie i późniejsze uogólnienia podstawowego twierdzenia rachunku całkowego”, w Archiwum Historii Nauki (1924), s. 205-227; F. pocieszenie, „praca naukowa Bonaventura Cavalieriego i Evangelisty Torricelli”, w Proceedings of conference w Pizie (23-27 września. 1948), s. 35-56; A. MAZOTTI. „Obchody Bonaventura Cavalieri”, w rendiconli w Instytucie Lombard nauk przyrodniczych i humanistycznych, część generable i akty urzędowe, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, źródła rachunku nieskończenie małe w epoce moderna (Milan, 1962), s. 43-53; G. Cellini. „Niepodzielni w myśli matematycznej i filozoficznej Bonawentury rycerze”, w periodyku matematyki, 4th ser., 44 (1966), 1-21; „demonstracje rycerzy jego.,, zasada”, tamże., str.
Ettore Carruccio
