overweeg het volgende spel: Ik schrijf een willekeurig reëel getal op tussen 0 en 1, en vraag je het te raden. Wat is de kans dat je het goed raadt? Het antwoord is nul. Je vraagt je misschien af: “maar het is mogelijk voor mij om het juiste antwoord te raden! Dat betekent dat de waarschijnlijkheid meer dan nul moet zijn!”en je zou gerechtvaardigd zijn om je af te vragen, maar je zou verkeerd zijn. Het is waar dat gebeurtenissen die onmogelijk zijn nul waarschijnlijkheid hebben, maar het omgekeerde is niet waar in het algemeen. In de rest van dit bericht laten we zien waarom het antwoord hierboven in feite nul was, en waarom dit geen onherstelbare schade hoeft aan te richten aan je huidige wereldbeeld.

laten we beginnen met aan te tonen dat de kans dat je mijn getal goed raadt nul is. Laat de waarschijnlijkheid in kwestie zijn. Het idee is om aan te tonen dat voor elk positief reëel getal . We weten dat , en als het kleiner is dan een positief getal, dan moet het nul zijn! Het argument luidt als volgt. Laten we het nummer noemen dat ik willekeurig heb gekozen . Stel je voor dat het interval wit is geschilderd. Kies een positief reëel getal . Dan is er een subinterval van lengte binnen het interval met . Stel je voor dat dit subinterval zwart is geschilderd, dus nu hebben we een zwarte strook met lengte op de oorspronkelijke witte strook, en het nummer dat ik koos was in de zwarte strook. Wat is de kans dat je gok op de zwarte strook belandt? Het moet zijn, omdat dat het deel van de witte strook is dat bedekt is. Maar om je gok gelijk te laten zijn aan mijn getal , moet het in de zwarte strook landen, dus je kans om te raden kan niet groter zijn dan de kans om een getal op de zwarte strook te raden! Daarom .

u moet er nu van overtuigd zijn dat deze gebeurtenis inderdaad NUL kans heeft om te gebeuren, maar het is nog steeds waar. Dit fenomeen is het gevolg van het volgende geometrische feit: het is mogelijk om een niet-lege verzameling met nul “volume”. De term “volume “hangt af van de context; in het geval van het punt op het interval is” volume ” lengte. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis gemeten op het interval is gelijk aan zijn lengte, en een enkel punt op het interval heeft nul lengte, toch is het nog steeds een niet-lege deelverzameling van het interval! Waarschijnlijkheid is in principe een maat voor “volume”waarbij de gehele ruimte “volume” gelijk is aan 1. Door waarschijnlijkheid op deze manier te definiëren, kunnen we allerlei nette feiten bewijzen met behulp van iets dat meettheorie wordt genoemd.

om samen te vatten, zou u het volgende uit dit bericht moeten hebben geleerd:

• de kans op het willekeurig kiezen van een specifiek getal in het interval is gelijk aan nul
• gebeurtenissen met een kans van nul zijn nog steeds mogelijk