(Milaan, Italië, waarschijnlijk 1598; Bologna, Italië, 30 November 1647). wiskunde.de geboortedatum van Cavalieri is onzeker; de hierboven gegeven dale is die van Urbano d ‘ Aviso, een discipel en biograaf van Cavalieri. De naam Bonaventura was niet zijn doopnaam, maar eerder die van zijn vader. Het is de naam die de wiskundige aannam toen hij als jongen de jesuati religieuze orde binnenging, aanhangers van de regel van St.Augustinus. Cavalieri werd ontvangen in de kleine bestellingen in Milaan in 1615 en in 1616 overgebracht naar het jesuati klooster in Pisa, waar hij het geluk van de ontmoeting met de Benedictijner monnik Benedetto Castelli, die had gestudeerd met Galileo in Padua en was op dat moment een docent in de wiskunde in Pisa. Door hem werd Cavalieri ingewijd in de studie van de meetkunde. Hij absorbeerde snel de klassieke werken van Euclides, Archimedes. Apollonius, en Pappus, waaruit zo ‘ n uitzonderlijke bekwaamheid dat hij soms vervangen voor zijn leraar aan de Universiteit van Pisa. Hij werd door Castelli geïntroduceerd bij Galileo, wiens discipel hij altijd beschouwd als zichzelf. Hij schreef Galileo ten minste 112 brieven, die zijn opgenomen in de nationale editie van de Opere di Galileo; slechts twee van Galileo ‘ s brieven aan Cavalieri zijn naar ons gekomen, echter.in 1620 keerde Cavalieri terug naar Rome onder bevel van zijn superieuren, en in 1621 werd hij tot diaken gewijd aan kardinaal Federigo Borromeo, die Fra’ Bonaventura hoog in het vaandel had en graag wiskunde met hem besprak. Cavalieri was nauwelijks eenentwintig toen hij theologie doceerde aan het klooster van San Girolamo in Milaan, wat de aandacht trok door zijn diepgaande kennis van het onderwerp.tijdens zijn periode in Milaan (1620-1623) ontwikkelde Cavalieri zijn eerste ideeën over de methode van indivisibles, zijn belangrijke bijdrage aan de wiskunde. Van 1623 tot 1626 was hij de prior van de Sint-Pieter in Lodi. Later was hij te gast in Rome bij Monseigneur Ciampoli, aan wie hij later zijn geometrie opdroeg. Van 1626 tot 16291 was hij de prior van het klooster van de Jesuati in Parma, in de hoop tevergeefs te worden benoemd tot docent wiskunde aan de universiteit daar. In de herfst van 1626, tijdens een reis van Parma naar Milaan, wordt hij ziek van de jicht, waaraan hij sinds zijn kindertijd heeft geleden en die hem tot het einde van zijn leven zal plagen. Deze ziekte hield hem een aantal maanden in Milaan. Op 16 December 1627 kondigde hij aan Galileo en kardinaal Borromeo dat hij zijn geometrie had voltooid. In 1628, leren dat een post van docent aan Bologna vacant was geworden door de dood van de astronoom G. A. Magini, schreef hij Galileo voor hulp bij het veiligstellen van de benoeming. Galileo schreef in 1629 aan Cesare Marsili, een heer uit Bologna en lid van de Accademia dei Lincei, die de opdracht had gekregen om een nieuwe docent wiskunde te vinden. In zijn brief, Galileo zei Van Cavalieri, ” weinigen, of die er zijn, sinds Archimedes, hebben zo ver en zo diep in de wetenschap van de meetkunde.”Ter ondersteuning van zijn aanvraag voor de Bologna positie, Cavalieri stuurde Marsili zijn geometrie manuscript en een kleine verhandeling over kegelsneden en hun toepassingen in de optica. Galileo ‘ s getuigenis, zoals Marsili hem schreef. De “Heren van het Regiment” ertoe aangezet om de eerste leerstoel wiskunde toe te vertrouwen aan Cavalieri, die deze van 1629 tot aan zijn dood continu hield.tegelijkertijd werd hij benoemd tot prior van een klooster van zijn eigen orde in Bologna, in het bijzonder in de Kerk van Santa Maria della Mascarella, waardoor hij zonder enige belemmering zowel zijn werk in de wiskunde als zijn universitair onderwijs kon voortzetten. In de periode dat Cavalieri in Bologna doceerde, publiceerde hij elf boeken in die stad, waaronder de Geometria (1635).Cavalieri ’s theorie, zoals ontwikkeld in dit werk en in andere later gepubliceerde werken, heeft betrekking op een onderzoek naar infinitesimalen, die voortkomen uit een hernieuwde interesse in Archimedes’ werken, die tijdens de Renaissance werden vertaald uit het Grieks in het Latijn, met commentaren. De vertalingen van Tartaglia, Maurolico en Commandino worden aangehaald omdat ze dienden als uitgangspunt voor nieuwe wiskundige ontwikkelingen.de enige geschriften van Archimedes die bekend waren bij zeventiende-eeuwse wiskundigen waren gebaseerd op de strikte methode van uitputting, waarbij de oude wiskundigen vragen van een infinitesimaal karakter behandelden zonder een beroep te doen op het oneindige of op het werkelijke infinitesimale. Niettemin waren de grote wiskundigen van de zeventiende eeuw zo grondig doordrongen van de geest van Archimedes, dat zij begrepen dat naast de “uitputtingsmethode” de oude meetkundigen een meer hanteerbare en effectieve methode voor onderzoek moeten hebben gekend. Op dit punt schreef Torricelli:

Ik zou niet durven beweren dat deze meetkunde van indivisibles eigenlijk een nieuwe ontdekking is. Ik zou liever geloven dat de oude meetkundigen van deze methode gebruik hebben gemaakt om de moeilijkere stellingen te ontdekken, hoewel zij in hun demonstratie wellicht een andere manier hebben gekozen, hetzij om het geheim van hun kunst te verbergen, hetzij om geen aanleiding te geven tot kritiek door boosaardige tegenstanders. Wat het ook was, het is zeker dat deze meetkunde een wonderbaarlijke economie van arbeid vertegenwoordigt in de demonstraties en ontelbare, bijna ondoorgrondelijke stellingen vastlegt door middel van korte, directe en bevestigende demonstraties, waartoe de leer van de ouden niet in staat was. De geometrie van indivisibles was inderdaad, in de wiskundige doornstruik, de zogenaamde koninklijke weg, en een die Cavalieri voor het eerst opende en aangelegd voor het publiek als een apparaat van prachtige uitvinding .

in 1906 J. L. Heiberg vond, in een palimpsest behorend tot een bibliotheek van Constantinopel, een klein werk van Archimedes in de vorm van een brief aan Eratosthenes, dat een methode verklaarde waarmee as, volumes en zwaartepunten konden worden bepaald. Deze methode, die op zijn beurt werd gerelateerd aan de procedures van Democritus van Abdera, beschouwd als een vlak oppervlak als samengesteld uit akkoorden parallel aan een bepaalde rechte lijn, en vaste stoffen als samengesteld uit vlakke secties parallel aan elkaar. Daarnaast werden volgens Archimedes principes van statica toegepast, waar door de figuren, die als zware lichamen werden beschouwd, op een ideale schaal werden gewogen. “Ik geloof,” zei Archimedes,” dat mannen van mijn tijd en van de toekomst, en door deze methode, nog andere stellingen kunnen vinden die nog niet in mijn gedachten zijn gekomen “(Rufini, II” Metodo “di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’ antichità , p. 103). De uitdaging die Archimedes uitdaagde werd, zoals we weten, niet door zijn tijdgenoten aangenomen en raakte vele eeuwen lang in vergetelheid.het begrip indivisibles komt soms Vluchtig voor in de geschiedenis van het menselijk denken: bijvoorbeeld in een passage van de elfde-eeuwse Hebreeuwse filosoof en wiskundige Abraham bar Hiyya (Savasorda); in occasionele speculaties—meer filosofisch dan mathematisch—van de middeleeuwse Scholastici; in een passage van Leonardo da Vinci; in Keplers Nova stereometria doliorum (Linz, 1615). Door een concept dat verschilt van Cavalieri ‘ s, worden indivisibles behandeld door Galileo in zijn Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

in Cavalieri komen we tot een rationele systematisering van de methode van indivisibles, een methode die niet alleen nuttig wordt geacht bij het zoeken naar nieuwe resultaten, maar ook, in tegenstelling tot wat Archimedes veronderstelde, als geldig wordt beschouwd, wanneer deze op de juiste wijze wordt aangepast, met het oog op het aantonen van stellingen.

Op dit punt rijst een primaire vraag: welke betekenis heeft Cavalieri toegerekend aan zijn individuele personen? Deze wiskundige, die volkomen vertrouwd is met de subtiele filosofische vragen die verband houden met het probleem van de mogelijkheid om continue grootheden te vormen door individuele objecten, tracht een methode te ontwikkelen die onafhankelijk is van de hypothesen van het subject, en die geldig zou zijn ongeacht het begrip dat in dit opzicht wordt gevormd. Hoewel Galileo beweerde dat “de hoogste en de ultieme, hoewel primaire componenten van de continue, Zijn oneindige indivisibles” (opere, VII, 745-750),

Cavalieri durfde niet te beweren dat de continue is samengesteld uit ondeelbare elementen, waarover hij geen expliciete definitie gaf, noch verduidelijkte hij of ze waren werkelijke of potentiële infinitesimalen. Het is ook waarschijnlijk dat Cavalieri ‘ s opvatting van zijn individuele wezens een verandering onderging en dat deze werden geboren als werkelijke infinitesimalen (zoals die van Galileo) en uitgroeide tot potentiële infinitesimalen (zie G. Cellini). Verder moet er volgens L. Lombardo Radice op worden gewezen dat de Cavalieri-visie op de indivisibles ons een diepere opvatting van de Verzamelingen heeft gegeven: het is niet noodzakelijk dat de elementen van de verzameling worden toegewezen of toewijsbaar; het volstaat dat er een nauwkeurig criterium bestaat om te bepalen of een element tot de verzameling behoort.afgezien van de filosofische overwegingen over de aard van de afzonderlijke delen, zijn de bepalingen van het gebied en de volumes van Cavalieri gebaseerd op het principe dat zijn naam draagt, dat als volgt kan worden geformuleerd::

als twee vlakke figuren, gesneden door een reeks parallelle rechte lijnen, elkaar snijden, op elk van deze rechte lijnen, gelijke akkoorden, zijn de twee cijfers equivalent; als de akkoorden die betrekking hebben op een enkele rechte van de verzameling een constante verhouding hebben, verkrijgt dezelfde verhouding tussen de twee cijfers.

evenzo in de ruimte: als de secties van twee vaste stoffen die worden verkregen door middel van vlakken die evenwijdig aan elkaar zijn, twee aan twee gelijkwaardig zijn, zijn de twee vaste stoffen equivalent; als de twee delen die met een gegeven vlak worden verkregen een constante verhouding hebben wanneer het vlak wordt gevarieerd, hebben de twee vaste stoffen een verhouding die gelijk is aan die van twee van hun delen die met hetzelfde vlak worden verkregen.

vanuit het oogpunt van de moderne infinitesimale analyse bevestigt het Cavalieri-beginsel in wezen dat twee integralen gelijk zijn als de integranden gelijk zijn en de integratiegrenzen ook gelijk zijn. Bovendien kan een constante die verschijnt als een multiplicator in de integrand worden uitgevoerd van het teken van integratie zonder dat de waarde van de integraal varieert.echter, het concept van de integraal, volgens de definitie van A. Cauchy, was niet precies in de wiskundige gedachte van Cavalieri, maar eerder werd onderzocht door P. Mengoli, zijn discipel en opvolger in de leerstoel van Bologna. Cavalieri volgde vele wegen om zijn Principe te demonstreren, en ze zijn te vinden in boek VII van zijn meetkunde.

laten we eens kijken naar het geval in de vlakke meetkunde, waar, op de hypothesen van het genoemde principe, de overeenkomstige akkoorden van de gegeven cijfers in paren gelijk zijn (zie Fig. 1). Cavalieri legt dan, via een vertaling in de richting van de betreffende parallelle rechte lijnen, twee gelijke akkoorden over elkaar. De delen van de figuur die dus worden gesuperponeerd zijn dus gelijkwaardig of, beter gezegd, gelijk, omdat ze congruent zijn. De resterende delen, of reststoffen, die niet over elkaar heen gelegd zijn, zullen nog steeds voldoen aan de voorwaarden ten opzichte van de akkoorden die in de oorspronkelijke figuur waren voldaan. Op deze manier kan men door vertaling overgaan tot opeenvolgende superposities, en het is onmogelijk op een bepaald punt in de opeenvolgende bewerkingen dat de ene figuur uitgeput raakt, tenzij de andere dat ook is. Cavalieri concludeert

dat de gegeven cijfers derhalve gelijkwaardig zijn. Het argument is ingenieus en intuïtief, maar het bevat een zwak punt in die zin dat het niet bewezen is dat de reststoffen, in de beschreven handelingen,uitgeput raken ;noch is vastgesteld dat de som van dergelijke reststoffen kleiner kan worden gemaakt dan een gegeven oppervlak. Cavalieri,in antwoord op de bezwaren van Guldin,beweert echter dat de verwijdering van de reststoffen in een van de cijfers, dus in de andere,kan worden uitgevoerd door middel van oneindige operaties. De andere demonstratie

van het Cavalieri-principe wordt gedaan volgens de methode van uitputting van de ouden en is een rigoureuze voor de cijfers die aan bepaalde voorwaarden voldoen: dat wil zeggen, de demonstratie is geldig voor cijfers die, naast het voldoen aan de hypothese van het principe, vallen in een van de volgende klassen:

(1) veralgemeende parallelogrammen, namelijk figuren tussen rechte parallelle lijnen p en l die akkoorden van constante lengte snijden op rechte lijnen die in dezelfde richting lopen als p en l (zie Fig. 2).

(2) de figuur in alteram partem deficientes (“cijfers die in een ander deel tekortschieten”) wordt tussen twee evenwijdige lijnen p en l opgenomen en bovendien nemen de akkoorden die door een dwarslijn evenwijdig aan p worden onderschept af naarmate de afstand van de dwarslijn van rechte lijn p toeneemt (zie Fig. 3).

(3) cijfers die kunnen worden opgesplitst in een eindig aantal delen die tot een van de bovengenoemde twee klassen behoren (zie Fig. 4).ondanks de genoemde demonstraties en het succes van de methode van indivisibles, gingen hedendaagse wiskundigen, die meer gehecht waren aan de tradities van de klassieke wiskunde, in een polemiek met Cavalieri, zich niet bewust dat Archimedes zelf al methoden had gebruikt die vergelijkbaar waren met die waar ze tegenover stonden. Dit is het geval van Guldin, die een interessante discussie had met Cavalieri die is samengevat in oefening III van de Exercitationes geomeiricae seks.

veel resultaten die moeizaam werden verkregen door de methode van uitputting werden eenvoudig en snel verkregen door het Cavalieri-Principe: bijvoorbeeld het oppervlak van een ellips en het volume van een bol. Door zijn methoden had Cavalieri het resultaat gevonden dat in de huidige symbolen zou worden uitgedrukt als:

voor elk natuurlijk getal n (n = 1,2,3,…). Cavalieri was zich er niet van bewust dat dit resultaat, dat in de Centuria di varii problemi (1639) voorkomt, al in 1636 was gevonden door Fermat en Roberval, die er op een andere manier waren gekomen.door middel van de methode van indivisibles en gebaseerd op een lemma vastgesteld door zijn leerling G. A. Rocca, bewees Cavalieri de Stelling van Guldin over de oppervlakte van een oppervlak en het volume van roterende vaste stoffen. Deze stelling, die ook voorkomt in bepaalde edities van Pappus’ werken, hoewel deze als interpolatie werd beschouwd, werd verkondigd in de Centrobaryca van Guldin, die de juistheid ervan in bepaalde specifieke gevallen bewees, zonder echter het algemene bewijs te leveren.de belangrijkste vooruitgang op het gebied van de infinitesimale analyse volgens de door Cavalieri uiteengezette lijnen werd gemaakt door Evangelista Torricelli. In zijn Arithmetica infinitorum (1655) maakt John Wallis ook gebruik van indivisibles.vooral interessant is de mening van de Cavalieri methode die Pascal in zijn Letires de Dettonville (1658) uitdrukte: “alles wat wordt aangetoond door de ware regels van indivisibles zal ook en noodzakelijkerwijs worden aangetoond op de manier van de ouden. Daarom zal ik niet aarzelen om de taal van de afzonderlijke talen te gebruiken.”Hoewel in de volgende jaren op het gebied van de analyse van het infinitesimale, nieuwe ideeën vervangen de oude op de indivisibles, de methoden van Cavalieri en Torricelli uitgeoefend een diepgaande invloed, zoals Leibniz erkend in een brief aan G. Manfredi: “… in de sublimest van de meetkunde, de initiators en promotors die een yeoman ‘ s taak op dat gebied waren Cavalieri en Torricelli; later, anderen vorderden nog verder door gebruik te maken van het werk van Cavalieri en Torricelli.”Bovendien gebruikte Newton, terwijl hij in zijn Principia een kritische houding aannam in de kwestie van indivisibles, niettemin in zijn Tractatus de quadratura curvarum, de term fluens om een variabele magnitude aan te geven—een term die Cavalieri eerder gebruikte in zijn Exerciiationes geomeiricae seks.

in stelling I van Boek I van de meetkunde vinden we in meetkundige vorm de stelling van de gemiddelde waarde, ook bekend als de stelling van Cavalieri. De stelling wordt gepresenteerd als de oplossing van het volgende probleem: Gegeven een vliegtuig curve, voorzien van een raaklijn op elk punt en het passeren van twee punten A en B, een rechte lijn evenwijdig met AB en de raaklijn aan de kromme in een punt op de curve tussen A en B. Analytisch we hebben: Als de functie f(x) van de reële variabele x continu is op het interval (a, b) en op elk punt binnen dit interval is afleidbaar, ten minste één punt bestaat zodanig dat a<<b, dus dat

Logaritmen werden geïntroduceerd in de wiskunde in het werk van Napier in 1614. In Italië werden dergelijke waardevolle hulpmiddelen voor numerieke berekening geïntroduceerd door Cavalieri, samen met opmerkelijke ontwikkelingen in trigonometrie en toepassingen in de astronomie. In dit verband kunnen we Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639), en Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logaritmica (1643) noemen. De Directorium, de Pratica en de Trigonometria bevatten bovendien uitstekende logaritmictrig-onometrische tabellen.in de Centuria behandelde Cavalieri onderwerpen als de algemene definitie van cilindrische en conische oppervlakken, formules om het volume van een vat en de capaciteit van een gewelf met puntbogen te bepalen, en de middelen om uit de logaritmen van twee getallen de logaritme van de som of van het verschil te verkrijgen, een probleem dat later door verschillende wiskundigen werd opgenomen. Gauss onder anderen. Lo specchio ustorio (“het brandende glas”) bevat enkele interessante historische gegevens over de oorsprong van de theorie van de kegelsneden onder de Grieken; volgens Cavalieri, de oorsprong zijn te vinden in de gnomonic eisen. In dit werk vinden we een theorie van kegelsneden met toepassingen op optica en akoestiek. Onder de eerste merken we het idee op van de reflecterende telescoop, waarvan—volgens Piola en Favaro-Cavalieri de eerste uitvinder was, voorafgaand aan Gregory en Newton; bepaling van de brandpuntsafstand van een lens van ongelijke bolvorm en explicitaties van het brandende glas van Archimedes, op het gebied van akoestiek, probeerde Cavalieri de archeologische reconstructie van de resonante vazen genoemd door Vitruvius en gebruikt in theaters voor het versterken van geluid.

in dit werk verschijnen verschillende puntsgewijze constructies van conies. Nog interessanter zijn de constructies gegeven in de geometrie en in de Exercitationes, verkregen door middel van projectieve potloden die voor het werk van Steiner.een delicate vraag heeft betrekking op de astrologische activiteiten die Cavalieri uit hoofde van zijn ambt verrichtte, maar, zoals D ‘ Aviso al aangaf, was hij tegen voorspellingen gebaseerd op de positie van de sterren en stelde deze vast aan het einde van zijn Pratica astrologica.

bibliografie

I. originele werken. Cavalieri ‘ s werken omvatten Directorium generate uranometricum (Bologna, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; 2nd ed., 1653). Vertaald in het Russisch door S. J. Lure (Moskou-Leningrad, 1940). Vertaald in het Italiaans, B Luc Lucio Lombardo-Radice, als meetkunde van Indivisibles door Bonaventura Cavalieri, ith Compendium van de regels van driehoeken met hun demonstraties (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); Nuova pratica astrologica (Bologna, 1639); Prima logaritmische tabel. Tweede logaritmische tabel. Annotaties in het werk, en correcties van de meest opmerkelijke fouten (Bologna, n. d.); bijlage van de nieuwe astrologische praktijk (Bologna. 1640); Triganometria plana, ET sphaerica, linearis et logaritmica (Bologna, 1643); Zie U. D ‘ aviso, “life of P. Buonaventura Cavalieri”, in Treatise Of The Sphere (Rome 1682); G. Piola, praise of Bonaventura Cavalieri (Milaan, 1844); A. Bonaventura Cavalieri in the study of Bologna (Bologna, 1885); E. Bortolotti, “the progress of the infinitesimal method in the geometric work of Torricelli”, in periodical of Matermatiche, 4th ser. , 8 (1928), 19–59; “The discovery and subsequent generalisations of a fundamental theorem of Integral Calculus”, in Archivio di Storia della scienza (1924), PP.205-227; F. Conforto,” the scientific work of Bonaventura Cavalieri and Evangelista Torricelli”, in Proceedings of the Pisa conference (23-27 Sept. 1948), PP. 35-56; A. Masotti. “Herdenking van Bonaventura Cavalieri”, in reports Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, part generable and official acts, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, the origins of infinitesimal calculus in the modern era (Milaan, 1962), PP.43-53; G. Cellini. “The Indivisibles in the mathematical and philosophical thought of Bonaventure Cavalieri” , in Journal of mathematics, 4th ser., 44 (1966), 1-21; “the Knights demonstrations of his., Principe”, ibid., PP. 85-105.

Ettore Carruccio