La oss gjøre dette. Jeg skal utlede uttrykket for massesenteret for en riktig trekant. Hvorfor?

se, vi skal ha det gøy. Jeg har allerede tatt Med En Yoda meme. Hva kan gå galt?

her er trekanten.

oh, ser ut som en vanlig blå trekant. Ikke sant? Men antar at dette er noe tynt metallplate med en masse M. Hvordan vil du finne plasseringen av massesenteret? La oss starte med den grunnleggende definisjonen av massesenter.

dette er i hovedsak et vektet gjennomsnitt. OK, det ER et vektet gjennomsnitt. Men hvis du bryter objektet inn i en haug med små stykker, multipliserer du vektorposisjonen til hver masse og dens lille masse. Deretter legger du deretter alt opp og deler med totalmassen. Det er sentrum av massen. Her er et annet bilde.

selvfølgelig i dette tilfellet har vi ikke en haug med stykker. Vi har en kontinuerlig masse. Det betyr at vi i stedet kan slå summen til en integrert. I stedet for å håndtere både x og y-retningene samtidig, skal jeg bare vurdere y-senteret av masse.

jeg begynner med å bryte denne trekanten inn i en haug med horisontale rektangler. Her er en av disse rektanglene.

så jeg kan bruke disse tynne rektanglene til å finne massesenteret. Jeg trenger bare å multiplisere posisjonen til hvert rektangel og massen av hvert rektangel. Stillingen er ganske grei, det er «y». Massen er litt vanskeligere. Legg også merke til at for rektangler som beveger seg opp i trekanten, er de mindre med mindre masse.

området av dette lille rektangelet skal være proporsjonalt med området. La meg definere områdets tetthet for hele trekanten som:

det betyr at massen av det lille rektangelet vil være den lille verdien (dm) som avhenger av området.

til slutt må jeg få l i form av y. jeg vil gjøre det ved først å få et uttrykk i form av x. Jeg kan ringe venstre side av rektangel » x «og høyre side «s». Dette betyr at:

men venstre side av den trekanten kan beskrives som en linje med ligningen:

hvor (h / s) er skråningen. Jeg kan løse denne ligningen for x og erstatte i uttrykket For L.

hva med en rask reality check. La oss bare sørge for at ting fungerer før vi kommer for langt. Hva om vi lar y = h? Det bør være på toppen av trekanten med et rektangel lengde på null. Jepp. Det fungerer. Hva med y = 0 ? Rektangelet skal ha en lengde på s.Ser bra ut.

nå trenger jeg bare å sette alt dette sammen. Dette er massen av det stykket av et rektangel.

«s»avbryter ftw (for seieren).

det er bra nok for nå. Det neste trinnet er å skrive et uttrykk for y-massesenteret. Siden jeg skal la bredden på dette stykket gå til null, skal jeg få en integrert i stedet for en sum.

jeg kan integrere dette, men det er lettere hvis jeg bryter det i to deler. Bare en liten bit av algebra gir meg:

nå kan jeg integrere. Her er hva jeg får.

evaluering ved grensene (som er lett siden den nedre grensen er null):

boom. Det er y-senteret for masse. Det har til og med enheter av avstand(som det burde). Legg også merke til at y-massesenteret ikke er avhengig av lengden på trekanten i x-retningen (parameteren s). Det er kult. Det betyr også at vi lett kan finne x-senteret av masse. Alt jeg trenger å gjøre er å bryte den samme trekanten i vertikale rektangler.

for å gjøre matematikken det samme i x-retningen, må jeg flytte opprinnelsen over til det andre hjørnet av trekanten. Dette betyr at x-senter for masse er (1/3) s fra høyre side. Dette gir et totalt massesenter på:

kjølig.

Numerisk Beregning Av Massesenter

Åh, du trodde jeg var ferdig? Jeg er ikke ferdig. Hva med dette-en numerisk beregning av massesenteret? Ja, det blir morsomt. Her er planen min.

• Velg faktiske dimensjoner av en trekant. Jeg kan ikke gjøre en numerisk beregning med variabler. Jeg trenger tall. Jeg skal bruke s = 4, h=1. Ja, det skal være enheter, men det spiller ingen rolle. Ok, området tetthet er 1 (det bør være klart at også spiller ingen rolle).
• Velg en liten trinnstørrelse. La oss si at jeg har små blokker med størrelse på 0,01 med 0,01. Finn vektorplasseringen til denne blokken og dens masse (alle blokkene har samme masse).
• Bruk sumformelversjonen av massesenteret.
• Flytt blokken sammen til alle deler av trekanten er dekket.

La oss gjøre dette. OK, det er en liten vanskelighet. Jeg må gjøre en løkke inne i en løkke. Den indre sløyfen vil legge opp firkanter langs x-aksen fra venstre skråning til x = h. den ytre sløyfen vil flytte disse horisontale radene opp fra 0 til h.

her er hoveddelen av koden (full kode her):

while y<=h:
x=(s/h)*y
while x<=s:
r=vector(x,y,0) rsum=dm*r+rsum
x=x+dx
y=y+dyA=.5*s*h
M=sigma*Arcm=rsum/M

med en stykkestørrelse på 0,01 med 0,01 får jeg følgende:

ja, jeg jeg er ganske fornøyd med det.