Vurder følgende spill: jeg skriver ned et tilfeldig reelt tall mellom 0 og 1, og ber deg om å gjette det. Hva er sannsynligheten for at du gjetter det riktig? Svaret er null. Du lurer kanskje på: «Men det er mulig for meg å gjette det riktige svaret ! Det betyr at sannsynligheten må være mer enn null!»og du ville være berettiget til å lure på, men du ville ha feil. Det er sant at hendelser som er umulige har null sannsynlighet, men det motsatte er ikke sant generelt. I resten av dette innlegget viser vi hvorfor svaret ovenfor faktisk var null, og hvorfor dette ikke trenger å gjøre uopprettelig skade på ditt nåværende verdenssyn.

La oss begynne med å vise at sannsynligheten for at du gjetter nummeret mitt riktig er null. La være sannsynligheten i spørsmålet. Tanken er å vise at for et positivt reelt tall . Vi vet at , og hvis det er mindre enn noe positivt tall, må det være null! Argumentet er som følger. La oss ringe nummeret jeg tilfeldig plukket . Tenk deg at intervallet er malt hvitt. Velg et positivt reelt tall . Deretter er det et underintervall med lengde innenfor intervallet som inneholder . Tenk deg at dette underintervallet er malt svart, så nå har vi en svart stripe med lengde på den opprinnelige hvite stripen, og nummeret jeg valgte var i den svarte stripen. Hva er sannsynligheten for at gjetningen din lander pa den svarte stripen? Det må være , siden det er andelen av den hvite stripen som er dekket. Men for at gjetningen din skal være lik nummeret mitt , må den lande i den svarte stripen, så sannsynligheten din for å gjette kan ikke være større enn sannsynligheten for å gjette et tall på den svarte stripen! Derfor.

Du bør nå være overbevist om at denne hendelsen faktisk har null sannsynlighet for å skje, men det er fortsatt sant. Dette fenomenet skyldes følgende geometriske faktum: det er mulig å ha et ikke-tomt sett med null «volum». Begrepet «volum» avhenger av konteksten; i tilfelle av punktet på intervallet er «volum» lengde. Sannsynligheten for en hendelse målt på intervallet er lik lengden, og et enkelt punkt på intervallet har null lengde, men det er fortsatt en ikke-tom delmengde av intervallet! Sannsynlighet er i utgangspunktet et mål på «volum» hvor hele rommet har «volum» lik 1. Ved å definere sannsynlighet på denne måten kan vi bevise alle slags ryddige fakta ved hjelp av noe som kalles målteori.

for å oppsummere, burde du ha lært følgende fra dette innlegget:

• sannsynligheten for tilfeldig å velge et bestemt tall i intervallet er lik null
• Hendelser som har null sannsynlighet er fortsatt mulig