(f. Milano, Italia, sannsynligvis 1598; D. Bologna, Italia, 30 November 1647). matematikk.Cavalieri fødselsdato er usikker; dale gitt ovenfor er en sitert Av Urbano d ‘ Aviso, en disippel Og biograf Av Cavalieri. Navnet Bonaventura var ikke hans dåpsnavn, men heller at av sin far. Det er navnet matematikeren vedtok da han som gutt kom inn I Jesuati religiøs orden, tilhenger Av regelen Av St. Augustine. Cavalieri ble mottatt i mindre ordrer I Milano i 1615 og i 1616 overført Til Jesuati klosteret I Pisa, hvor han hadde hell med å møte Benediktinermunken Benedetto Castelli, som hadde studert Med Galileo I Padova og var på den tiden en foreleser i matematikk I Pisa. Gjennom Ham Cavalieri ble innledet i studiet av geometri. Han absorberte raskt de klassiske verkene Til Euclid, Archimedes. Apollonius, Og Pappus, demonstrere slike eksepsjonelle evner at han noen ganger erstattet sin lærer Ved Universitetet I Pisa. Han ble introdusert Av Castelli Til Galileo, hvis disippel han alltid betraktet seg selv. Han skrev Galileo minst 112 bokstaver, som er inkludert i den nasjonale utgaven Av Opere Di Galileo; bare to Av Galileos brev Til Cavalieri har kommet ned til oss, men.I 1620 Cavalieri tilbake til Roma på ordre fra sine overordnede, og i 1621 ble Han ordinert til diakon Til Kardinal Federigo Borromeo, som holdt Fra’ Bonaventura i stor aktelse og gjerne diskutert matematikk med ham; kardinal senere skrev et brev rose Ham Til Galileo. Cavalieri var knapt tjueen da han underviste i teologi ved klosteret San Girolamo I Milano, og tiltrakk seg oppmerksomhet ved sin dype kunnskap om emnet.I Løpet Av Sin Milano periode (1620-1623) Cavalieri utviklet sine første ideer om metoden for udelelig, hans store bidrag til matematikk. Fra 1623 til 1626 var han prior Av St. Peters Ved Lodi. Senere var Han gjest I Roma Av Monsignor Ciampoli, som han senere viet Sin Geometria. Fra 1626 til 16291 var han prior Av Klosteret Jesuati I Parma, håper forgjeves å bli utnevnt foreleser i matematikk ved universitetet der. Høsten 1626, under en tur Fra Parma Til Milano, ble han syk med gikt, som han hadde lidd siden barndommen og som skulle plage ham til slutten av livet. Denne sykdommen holdt Ham I Milano i flere måneder. Den 16. desember 1627 annonserte Han Til Galileo Og Kardinal Borromeo at Han hadde fullført Sin Geometria. I 1628, da han fikk vite at en stilling som foreleser i Bologna hadde blitt ledig etter at astronomen G. A. Magini døde, skrev Han Galileo For å få Hjelp til å sikre utnevnelsen. Galileo, i 1629, skrev Til Cesare Marsili, en gentleman Av Bologna og medlem Av Accademia dei Lincei, som hadde fått i oppdrag å finne en ny foreleser i matematikk. I Sitt brev Sa Galileo Om Cavalieri: «få, om noen, Siden Arkimedes, har dykket så langt og så dypt inn i vitenskapen om geometri.»Til støtte for sin søknad Til Bologna-stillingen sendte Cavalieri Marsili sitt geometrimanuskript og en liten avhandling om koniske seksjoner og deres applikasjoner i optikk. Galileos vitnesbyrd, Som Marsili skrev ham. Indusert «Herrer Av Regiment» å overlate den første stolen i matematikk Til Cavalieri, som holdt det kontinuerlig fra 1629 til sin død.samtidig ble han utnevnt til prior av et kloster av sin egen orden i Bologna, spesielt I Kirken Santa Maria della Mascarella, slik at han kunne forfølge uten hindringer både sitt arbeid i matematikk og hans universitet undervisning. I Løpet Av Perioden Som Cavalieri underviste I Bologna, utga Han elleve bøker i byen, inkludert Geometria (1635).Cavalieris teori, som utviklet seg i dette verket og i andre senere publiserte, relaterer seg til en undersøkelse i infinitesimals, som stammer fra gjenopplivet interesse For Arkimedes ‘ verk, som under Renessansen ble oversatt fra gresk til Latin, med kommentarer. Oversettelsene Av Tartaglia, Maurolico, Og Commandino er sitert siden de fungerte som et utgangspunkt for nye matematiske utviklingen.De eneste Skriftene Til Arkimedes som var kjent for matematikere fra det syttende århundre var de som var basert på den strenge utmattelsesmetoden, hvor de gamle matematikerne behandlet spørsmål om en uendelig karakter uten å ty til det uendelige eller til det faktiske uendelige. Likevel var De store matematikere fra det syttende århundre så grundig gjennomsyret Av Archimedes ånd som å sette pris på at i tillegg til «utmattelsesmetoden» må de gamle geometricians ha kjent en mer håndterbar og effektiv metode for forskning. På dette punktet skrev Torricelli:
jeg burde ikke våge å bekrefte at denne geometrien av indivisibles faktisk er en ny oppdagelse. Jeg bør heller tro at de gamle geometricians benyttet seg av denne metoden for å oppdage de vanskeligere teoremer, selv om de i sin demonstrasjon kan ha foretrukket en annen måte, enten å skjule hemmeligheten i sin kunst eller ikke ha råd til kritikk av invidious detractors. Uansett hva det var, er det sikkert at denne geometrien representerer en fantastisk arbeidsøkonomi i demonstrasjonene og etablerer utallige, nesten uutgrunnelige, teoremer ved hjelp av korte, direkte og bekreftende demonstrasjoner, som læren om de gamle ikke var i stand til. Geometrien til udelelige var faktisk, i den matematiske briar bush, den såkalte kongeveien, og En Som Cavalieri først åpnet og lagt ut for publikum som en enhet av fantastisk oppfinnelse .
I 1906 J. L. Heiberg fant, i et palimpsest tilhørende Et Konstantinopels bibliotek, et lite arbeid Av Arkimedes i form av et brev Til Eratosthenes, som forklarte en metode som er as, volumer og tyngdepunkt kunne bestemmes. Denne metoden, som igjen var relatert til prosedyrene Til Democritus Av Abdera, betraktet en plan overflate som består av akkorder parallelt med en gitt rett linje, og faste stoffer som består av plan seksjoner parallelt med hverandre. I Tillegg, Ifølge Archimedes, ble statikkprinsipper anvendt, hvor ved tallene, tenkt som tunge legemer, ble veid i en ideell skala. «Jeg tror, «sa Archimedes,» at menn i min tid og i fremtiden, og gjennom denne metoden, kan finne fortsatt andre teoremer som ennå ikke har kommet til mitt sinn» (Rufini, II «Metodo» di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell ‘ antichit , s. 103). Utfordringen Som Archimedes utvidet ble ikke tatt opp, som vi vet, av hans samtidige og falt i glemsel i mange århundrer.begrepet udelelige dukker noen ganger opp flyktig i historien om menneskelig tanke: for eksempel i et avsnitt av den hebraiske filosofen Og matematikeren Abraham Bar Hiyya (Savasorda) Fra det ellevte århundre; i sporadiske spekulasjoner-mer filosofisk enn matematisk—av Middelalderens Skolastikere; I Et avsnitt Av Leonardo Da Vinci; I Keplers Nova stereometria doliorum (Linz, 1615). Ved en oppfatning forskjellig Fra Cavalieri s, udelelig behandles Av Galileo i Sin Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno en due nuove scienze.I Cavalieri kommer Vi til en rasjonell systematisering av metoden for udelelige, en metode som ikke bare anses nyttig i søket etter nye resultater, men også, i motsetning Til Hva Archimedes antok, anses som gyldig, når det er hensiktsmessig modifisert, for å demonstrere teoremer.
på dette punktet oppstår et primært spørsmål: Hvilken betydning tilskrev Cavalieri sine udelelige? Denne matematikeren, mens han er helt kjent med de subtile filosofiske spørsmålene knyttet til problemet med muligheten for å utgjøre kontinuerlige størrelser av udelelige, søker å etablere en metode uavhengig av fagets hypoteser, som ville være gyldig uansett konseptet dannet i denne forbindelse. Mens Galileo hevdet, «den høyeste og den ultimate, selv om primære komponenter av kontinuerlig, er uendelige udelelige» (Opere, VII, 745-750),
Cavalieri våget ikke å hevde at den kontinuerlige er sammensatt av udelelige elementer, som han ikke gi en eksplisitt definisjon, heller ikke avklare om de var faktiske eller potensielle infinitesimals. Det er også sannsynlig At Cavalieri oppfatning av hans udelelige gjennomgikk en endring, og at disse ble født som faktiske infinitesimals (Som De Av Galileo) og vokste til å bli potensielle infinitesimals (se G. Cellini). Det må videre påpekes, Ifølge L. Lombardo Radice, at Cavalieri-visningen av de udelelige har gitt oss en dypere oppfatning av settene: det er ikke nødvendig at elementene i settet tilordnes eller overdras; det er nok at et presist kriterium eksisterer for å avgjøre om et element tilhører settet eller ikke.
Helt bortsett fra noen filosofiske betraktninger om arten av udelelige, bestemmelse av areal og volumer Gjort Av Cavalieri er basert på prinsippet bærer hans navn, som kan formuleres som følger:
hvis to plan figurer kuttet av et sett av parallelle rette linjer skjærer, på hver av disse rette linjene, lik akkorder, de to tallene er ekvivalente; hvis akkordene knyttet til en enkelt rett linje av settet har et konstant forhold, får det samme forholdet mellom de to tallene.
På samme måte, i rommet: hvis seksjonene av to faste stoffer oppnådd ved hjelp av fly som er parallelle med hverandre, er ekvivalente to og to, er de to faste stoffene ekvivalente; hvis de to seksjonene oppnådd med et gitt plan har et konstant forhold når flyet er variert, har de to faste stoffene et forhold som er lik det for to av deres seksjoner oppnådd med ett samme plan.
Fra synspunktet til moderne uendelig analyse bekrefter Cavalieri-prinsippet i substans at to integraler er like hvis integrandene er like og integrasjonsgrensene er også like. Videre kan en konstant som vises som en multiplikator i integranden utføres av integrasjonstegnet uten at verdien av integralet varierer.
begrepet integral, ifølge definisjonen Av A. Cauchy, var imidlertid ikke nettopp I Den matematiske tanken Til Cavalieri, men ble sett på Av P. Mengoli, hans disippel og etterfølger i stolen I Bologna. Cavalieri fulgte mange veier for å demonstrere hans prinsipp, og de finnes i BOK VII av Hans Geometri.
la oss vurdere saken i plangeometri, hvor, på hypotesene til det angitte prinsippet, er de tilsvarende akkordene av de oppgitte tallene like i par (Se Fig. 1). Cavalieri deretter, gjennom en oversettelse i retning av de parallelle rette linjene i spørsmålet, overlegger to like akkorder. Delene av figuren som dermed er overlagret er derfor ekvivalente eller heller like, fordi de er kongruente. De resterende delene, eller rester, som ikke er overlappet, vil fortsatt tilfredsstille betingelsene i forhold til akkordene som var fornøyd i den opprinnelige figuren. På denne måten kan man fortsette med suksessive superposisjoner ved oversettelse, og det er umulig på et gitt punkt i de suksessive operasjonene at en figur blir utmattet med mindre den andre er også. Cavalieri konkluderer
at de gitte tallene derfor er ekvivalente. Argumentet er genialt og intuitivt, men det inneholder et svakt punkt ved at det ikke er bevist at residualene i de beskrevne operasjonene blir utmattet ;det er heller ikke fastslått at summen av slike residualer kan gjøres mindre enn en gitt overflate. Likevel Hevder Cavalieri, ved å svare På innvendingene fra Guldin, at eliminering av resterne i en av figurene,dermed i den andre, kan utføres ved hjelp av uendelige operasjoner. Den andre demonstrasjonen
Av Cavalieri-prinsippet er laget av de gamle utmattelsesmetoden og er streng for tallene som tilfredsstiller visse forhold: det vil si at demonstrasjonen er gyldig for figurer som, i tillegg til å tilfredsstille prinsippets hypotese, faller inn i en av følgende klasser:
(1) Generaliserte parallellogrammer, nemlig tall som inngår mellom rette parallelle linjer p og l som skjærer akkorder av konstant lengde på rette linjer som går i samme retning som p og l (Se Fig. 2).
(2)figurae i alteram partem deficientes («tall mangelfull i en annen del») er inkludert mellom to parallelle linjer p og l, og i tillegg akkorder fanget av en tverrgående linje parallelt med p avta som avstanden på tvers fra rett linje p øker (Se Fig. 3).
(3) Figurer som kan brytes ned i et begrenset antall deler som tilhører en av de to nevnte klassene (Se Fig. 4).Til tross for de nevnte demonstrasjonene og suksessen til metoden til udelelige, gikk moderne matematikere, som var mer knyttet til tradisjonene i klassisk matematikk, inn i en polemikk med Cavalieri, uvitende om At Archimedes selv allerede hadde brukt metoder som ligner på de som de motsatte seg. Slik er Tilfellet Med Guldin, som hadde en interessant diskusjon Med Cavalieri som er oppsummert I øvelse III Av Exercitationes geomeiricae sex.Mange resultater som ble oppnådd ved utmattelsesmetoden, ble oppnådd enkelt og raskt gjennom Cavalieri-prinsippet: for eksempel området av en ellipse og volumet av en sfære. Gjennom sine metoder hadde Cavalieri funnet resultatet som i dagens symboler ville bli uttrykt som:
for ethvert naturlig tall n (n = 1,2,3,…). Cavalieri var ikke klar over at dette resultatet, som opptrer I Centuria di varii problemi (1639), allerede hadde blitt funnet så tidlig som 1636 av Fermat Og Roberval, som hadde kommet til det på andre måter.Ved hjelp av metoden for indivisibles og basert på en lemma etablert av hans elev G. A. Rocca, viste Cavalieri Guldinsetningen på arealet av en overflate og volumet av roterende faste stoffer. Dette teoremet, som også opptrer i visse utgaver Av Pappus ‘ verker, skjønt holdt for å være en interpolasjon, ble fremsatt I Centrobaryca Av Guldin, som beviste dens korrekthet i visse særskilte tilfeller, uten, derimot, å gi den generelle bevis.
Den mest signifikante fremgangen innen uendelig analyse langs linjene fremsatt Av Cavalieri ble laget Av Evangelista Torricelli. I Sin Arithmetica infinitorum (1655), John Wallis gjør også bruk av udelelige.Spesielt interessant er oppfatningen Av Cavalieri-metoden uttrykt Av Pascal i Hans Letires De Dettonville (1658): «Alt som er demonstrert av de udelelige regler, vil også og nødvendigvis bli demonstrert på samme måte som de gamle. Derfor, i det følgende, skal jeg ikke nøle med å bruke selve språket av udelelige.»Selv i de følgende årene innen analyse av infinitesimal, nye ideer erstattet den gamle på udeleligles, metoder For Cavalieri Og Torricelli utøves en dyp innflytelse, Som Leibniz erkjent i et brev Til G. Manfredi:» … i sublimest geometri, initiativtakerne og arrangører som utførte en yeoman oppgave på dette feltet Var Cavalieri Og Torricelli; senere, andre kommet enda lenger ved å benytte seg Av Arbeidet Til Cavalieri og Torricelli. «Videre, Newton, mens forutsatt I Sin Principia en kritisk holdning i saken av udelelige, gjorde likevel i Sin Tractatus de quadratura curvarum, bruke begrepet fluens å indikere en variabel størrelsesklasse – et begrep som Tidligere ble brukt Av Cavalieri i Sin Exerciiationes geomeiricae sex.
i proposisjon i Av Bok I Av Geometria finner vi i geometrisk form teoremet av middelverdi, også kjent som Cavalieri teoremet. Teoremet presenteres som løsningen av følgende problem: Gitt en plankurve, forsynt med en tangent på hvert punkt og passerer gjennom to punkter A Og B, for å finne en rett linje parallelt MED AB og tangent til kurven på et tidspunkt på kurven Mellom A og B. Analytisk har vi: Hvis den virkelige funksjonen f(x) av den virkelige variabelen x er kontinuerlig i intervallet (a, b) og på hvert punkt innenfor dette intervallet er det differensierbart, eksisterer minst ett punkt av slik at a<<b, slik at
logaritmer ble introdusert i matematikk i napiers arbeid i 1614. I Italia ble slike verdifulle hjelpestoffer til numerisk beregning introdusert Av Cavalieri, sammen med bemerkelsesverdige utviklinger i trigonometri og applikasjoner til astronomi. I denne forbindelse kan vi nevne Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639), Og Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logaritmica (1643). Directorium, Pratica og Trigonometria inneholder dessuten gode logaritmisktrig-onometriske tabeller.
I Centuria behandlet Cavalieri slike emner som den generelle definisjonen av sylindriske og koniske overflater, formler for å bestemme volumet av en tønne og kapasiteten til et hvelv med spisse buer og midler til å skaffe logaritmer av to tall logaritmen til summen eller forskjellen, et problem som senere ble tatt opp av ulike matematikere. Gauss blant annet. Lo specchio ustorio («Det Brennende Glasset») inneholder noen interessante historiske data om opprinnelsen til teorien om kjeglene Blant Grekerne; Ifølge Cavalieri, opprinnelsen er å finne i gnomonic krav. I dette arbeidet finner vi en teori om konikk med applikasjoner til optikk og akustikk. Blant de tidligere noterer vi ideen om det reflekterende teleskopet, hvorav-Ifølge Piola Og Favaro-Var Cavalieri den første oppfinneren, før Gregory Og Newton; bestemmelse av brennvidden til en linse med ujevn sfæriskitet Og eksplikasjoner Av Det brennende glasset Archimedes, innen akustikk, Forsøkte Cavalieri den arkeologiske rekonstruksjonen av resonansvaser nevnt Av Vitruvius og brukt i teatre for forsterkning av lyd.
i dette arbeidet vises ulike punktvise konstruksjoner av conies. Mer interessant er fortsatt konstruksjonene gitt I Geometria og I Exercitationes, oppnådd ved hjelp av projektive blyanter som antedated Steiners arbeid.et delikat spørsmål relaterer seg til de astrologiske aktivitetene Som Cavalieri engasjert seg i i kraft av sitt kontor, men som påpekt Av D ‘ Aviso, var Han imot spådommer basert på stjernens posisjon og sier det på slutten av Hans Pratica astrologica.
BIBLIOGRAFI
I. Originale Verk. Cavalieri arbeider inkluderer Directorium generere uranometricum (Bologna, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; 2.utg., 1653). Oversatt til russisk Av S. J. Lure (Moskva-Leningrad, 1940). Oversatt Til italiensk, B Luc Lucio Lombardo-Radice, som Geometri Av Indivisibles Av Bonaventura Cavalieri ,ith Compendium of the rules of triangles with their demonstrations (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bologna, 1639); Prima logaritmisk tabell. Andre logaritmiske tabell. Merknader i arbeidet, og rettelser av de mest bemerkelsesverdige feil( Bologna, n. d.); vedlegg av den nye astrologiske praksis (Bologna. 1640); Triganometria plana, et sphaerica, linearis et logaritmica (Bologna, 1643); Treatise on the perpetual planetary wheel (Bologna, 1646); og geometr
II. Sekundær Tent Se U. D ‘ aviso, «livet Av P. Buonaventura Cavalieri», I Treatise Of The Sphere (Roma 1682); G. Piola, ros Av Bonaventura Cavalieri (Milano, 1844); A. Bonaventura Cavalieri i studiet Av Bologna (Bologna, 1885); E. Bortolotti, «the progress av infinitesimal metode i geometriske arbeidet til torricelli», i tidsskrift for matermatiche, 4.Ser., 8 (1928), 19–59; «Oppdagelsen og påfølgende generaliseringer av en fundamental teorem Av Integral Kalkulus», I Archivio Di Storia della scienza (1924), s.205-227; F. Conforto, «the scientific work Of Bonaventura Cavalieri Og Evangelista Torricelli», I Proceedings Of The Pisa conference (23-27 September. 1948), s. 35-56; A. Masotti. «Markeringen Av Bonaventura Cavalieri», I rapporter Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, del generable og offisielle handlinger, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, opprinnelsen til infinitesimal kalkulus i moderne tid (Milano, 1962), s.43-53; G. Cellini. «Den Udelelige i den matematiske og filosofiske tanken Om Bonaventure Cavalieri», I Journal of mathematics, 4. ser., 44 (1966), 1-21; «Ridderne demonstrasjoner av hans., prinsipp», ibid., s.85-105.
Ettore Carruccio
