(B.ミラノ,イタリア,おそらく1598;d.ボローニャ,イタリア,30November1647). 数学。
カヴァリエリの生年月日は不明であり、上記のデールはカヴァリエリの弟子で伝記作家であるUrbano d’Avisoによって引用されたものである。 ボナヴェントゥラという名前は洗礼名ではなく、父親の名前であった。 それは、少年として、彼が聖アウグスティヌスの支配の支持者であるイエズス会の宗教秩序に入ったときに数学者が採用した名前です。 カヴァリエリは1615年にミラノでマイナーオーダーで受信され、1616年に彼はパドヴァでガリレオと勉強していたベネディクト会の修道士ベネデットカステリ、ピサで数学の講師の時にあった会議の幸運を持っていたピサのイエスアーティ修道院に転送されました。 彼を通してCavalieriは幾何学の研究に開始されました。 彼はすぐにEuclid、Archimedesの古典的な作品を吸収しました。 アポロニウス、パップス、彼は時々ピサ大学で彼の教師の代わりに、このような例外的な適性を実証します。 彼はカステリによってガリレオに紹介され、その弟子は常に自分自身を考えていました。 ガリレオは少なくとも112通の手紙を書いており、ガリレオのカバリエリへの手紙のうち2通しか私たちに届いていない。
1620年にカヴァリエリは上司の命令でローマに戻り、1621年にはフェデリーゴ-ボロメオ枢機卿の執事に叙任され、フラ’Bonaventuraを尊敬し、喜んで彼と数学を議論した。 彼は主題の彼の深遠な知識によって注目を集めて、ミラノのサン-ジローラモの修道院で神学を教えたときカヴァリエリはほとんど二十から一だった。
彼のミラノ時代（1620年から1623年）の間にキャバリエリは、不可分の方法、数学への彼の主要な貢献に彼の最初のアイデアを開発しました。 1623年から1626年まで、ロディの聖ペテロの前座を務めた。 その後、彼はモンシニョール-チャンピーノのローマのゲストであり、彼は後に彼の幾何学を捧げた。 1626年から16291年まで、彼はパルマのイエズス会の修道院の前であり、そこの大学で数学の講師に任命されることを無駄に望んでいた。 1626年の秋、パルマからミラノへの旅行中に、彼は子供の頃から苦しんでいた痛風で病気になり、彼の人生の終わりまで彼を苦しめることになった。 この病気は数ヶ月のためにミラノで彼を保ちました。 1627年12月16日、彼はガリレオとボロメオ枢機卿に幾何学を完成させたことを発表した。 1628年、天文学者G.A.Maginiの死によってボローニャの講師のポストが空いていたことを知り、彼は任命を確保するための援助のためにガリレオを書いた。 ガリレオは、1629年に、チェーザレMarsili、ボローニャの紳士とアカデミア*デイ*リンチェイ、数学の新しい講師を見つけるために委託されていたのメンバーに書いた。 彼の手紙の中で、ガリレオはカヴァリエリについて言った、”アルキメデス以来、いくつかは、もしあれば、限り深く幾何学の科学に掘り下げてきました。”ボローニャの位置に彼のアプリケーションをサポートするために、CavalieriはMarsili彼の幾何学の原稿と円錐のセクションと光学におけるそのアプリケーションに小 ガリレオの証言、マルシリが彼を書いたように。 “連隊の紳士”は、1629年から彼の死まで継続的にそれを開催したカヴァリエリに数学の最初の椅子を委託するように誘導しました。
同時に、彼はボローニャの彼自身の順序の修道院の前に任命されました,具体的には,サンタ*マリア*デッラ*マスカレラの教会で,彼は数学で彼の仕事と彼の大学の教えの両方を障害することなく追求することができます. カヴァリエリがボローニャで教えていた期間に、彼はその都市で幾何学（1635年）を含む十一冊の本を出版した。
カヴァリエリの理論は、この作品で開発され、その後出版された他のものでは、ルネサンスの間に注釈付きでギリシャ語からラテン語に翻訳されたアルキメデスの作品への復活した関心に起因する、無限小における探求に関連している。 Tartaglia、Maurolico、およびCommandinoの翻訳は、新しい数学的発展の出発点として役立ったので引用されています。
十七世紀の数学者に知られているアルキメデスの唯一の著作は、古代の数学者が無限または実際の無限小に頼ることなく、無限小の文字の質問を扱った厳格な枯渇の方法に基づくものであった。 それにもかかわらず、十七世紀の偉大な数学者は、”枯渇の方法”に加えて、古代の幾何学者が研究のためのより管理しやすく効果的な方法を知ってい この点でトリチェリは書いた：
私は、この独立性の幾何学が実際には新しい発見であることを断言すべきではありません。 私はむしろ、古代の幾何学者がより困難な定理を発見するためにこの方法を利用したと信じるべきですが、彼らのデモンストレーションでは、彼らの芸術の秘密を隠すために、または悪意のある中傷者による批判の機会を与えないために、別の方法を好んだかもしれません。 それが何であったとしても、この幾何学はデモにおける労働の驚くべき経済を表し、古代人の教義が不可能であった簡潔で直接的で肯定的なデモ 不可分の幾何学は、数学的なブライアーブッシュでは、いわゆる王道であり、キャバリエリが最初に開いて、驚くべき発明の装置として一般に公開されたものであった。p>
1906J.L. ハイベルクは、コンスタンティノープルの図書館に属するpalimpsestで、エラトステネスへの手紙の形でアルキメデスによる小さな作品を発見し、それによって、ボリューム、および重心を決定することができる方法を説明した。 この方法は、AbderaのDemocritusの手順に関連しており、与えられた直線に平行な和音で構成される平面面と、互いに平行な平面断面で構成される固体と考えられていた。 さらに、アルキメデスによれば、統計学の原則が適用され、重い体と考えられていた人物が理想的なスケールで秤量された。 “私は信じています,”アルキメデスは言いました,”私の時間のと将来の男性,そして、この方法を通じて,まだ私の心に来ていないまだ他の定理を見つけるかもしれない”(Rufini,II”Metodo”di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità,p.103). アルキメデスが拡張した挑戦は、私たちが知っているように、同時代の人々によって取り上げられず、何世紀にもわたって忘却に陥った。例えば、11世紀のヘブライ語の哲学者で数学者のアブラハム-バー—ハイヤ（Savasorda）の一節、中世のスコラスティクスによる時折の推測—数学よりも哲学的-、Leonardo da Vinciの一節、KeplerのNova stereometria doliorum（Linz、1615）の一節などである。 カヴァリエリとは異なる概念によって、不可分性はガリレオによって彼のDiscorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienzeで扱われます。
Cavalieriでは、新しい結果の検索に有用であると考えられるだけでなく、アルキメデスが想定していたものとは対照的に、定理を実証する目的で適切に修正された場合に有効であるとみなされる方法である、不可分の方法の合理的な体系化に至ります。
この時点で、主な質問が発生します：Cavalieriは彼の不可分性にどのような意義を帰しましたか？ この数学者は、不可分によって連続的な大きさを構成する可能性の問題に関連する微妙な哲学的質問に完全に精通しているが、主題の仮説とは独立した方法を確立しようとしており、これはこの点で形成された概念が何であれ有効であろう。 ガリレオは”連続の主要な構成要素ではあるが、最高で究極のものは無限の不可分である”と主張したが（Opere、VII、745-750）、
キャバリエリは、連続が不可分の要素で構成されていることを敢えて主張しなかった。 また、カヴァリエリの不可分性の概念は変化を遂げ、これらは実際の無限小（ガリレオのような）として生まれ、潜在的な無限小に成長した可能性もある（Gを参照）。 チェリーニ）。 L.Lombardo Radiceによると、indivisiblesのCavalieriビューは、集合のより深い概念を与えてくれたことをさらに指摘しなければならない：集合の要素が割り当てられているか割り当て可能である必要はなく、むしろ要素が集合に属しているかどうかを決定するための正確な基準が存在することで十分である。
独立性の性質に関する哲学的考察を除いて、Cavalieriによって行われた面積と体積の決定は、彼の名前を持つ原則に基づいており、次のように定式化され:
平行な直線のセットによってカットされた二つの平面図形が交差する場合、これらの直線のそれぞれに、等しい和音は、二つの図
同様に、空間内で：互いに平行な平面によって得られた二つの固体のセクションが二つずつ等価である場合、二つの固体は等価である; 与えられた平面で得られた二つの断面が一定の比を有する場合、平面が変化するとき、二つの固体は、一つの同じ平面で得られた二つの断面の比に等しい比を有する。
現代の無限小解析の観点から、キャバリエリの原理は、被積分関数が等しく、積分限界も等しい場合、2つの積分が等しいことを さらに、被積分関数の乗数として現れる定数は、積分の値を変化させることなく積分の符号から実行することができる。
しかし、積分の概念は、A.Cauchyの定義によれば、正確にはCavalieriの数学的思考ではなく、ボローニャの彼の弟子で後継者であるP.Mengoliによって検討されました。 カヴァリエリは、彼の原理を実証するために多くのパスを追求し、彼らは彼の幾何学の本VIIに記載されています。
述べられた原理の仮説では、与えられた数字の対応する和音が対で等しい平面幾何学の場合を考えてみましょう（図を参照）。 1). Cavalieriは、問題の平行直線の方向への翻訳を通じて、二つの等しい和音を重ね合わせます。 したがって、このように重畳されている図の部分は、合同であるため、同等であるか、むしろ等しい。 重畳されていない残りの部分、または残差は、元の図で満たされた和音に対する条件を依然として満たします。 このようにして、並進によって連続した重畳を進めることができ、連続した操作のある時点で、一方の図形が他方の図形でない限り使い果たされることは不可能である。 Cavalieriは、与えられた数字はしたがって同等であると結論づけています。
この議論は独創的で直感的であるが、記述された操作における残差が使い果たされることが証明されておらず、そのような残差の合計が与えられた表面よりも小さくなることが証明されていないという点で弱点がある。 それにもかかわらず、Cavalieriは、Guldinによって提起された異議に返信して、一方の図の残差の除去、したがって他方の図の残差の除去は無限の操作によって実 Cavalieri原理の他のデモンストレーション
は、古代人の枯渇の方法によって行われ、特定の条件を満たす数字のための厳密なものです：すなわち、デモは、原則の:(1)一般化された平行四辺形、すなわち、pおよびlと同じ方向に走る直線上で一定の長さの和音と交差する直線平行線pおよびlの間に含まれる図（図参照）。 2).
(2)alteram partem deficientesのfigurae(“別の部分の欠損した図形”)は、二つの平行線pとlの間に含まれており、さらに、pに平行な横線によって傍受された和音は、直線pからの横線の距離が増加するにつれて減少する(図参照)。 3).
(3)前述の二つのクラスのいずれかに属する有限数の部分に分解することができる図（図参照）。 4).
言及されたデモンストレーションと不可分の方法の成功にもかかわらず、古典数学の伝統にもっと愛着を持っていた現代の数学者は、アルキメデス自身がすでに彼らが反対していた方法と同様の方法を使用していたことに気づいていないカヴァリエリと論争に入った。 そのようなものは、Exercitationes geomeiricae sexの演習IIIに要約されているCavalieriと興味深い議論をしたGuldinの場合です。
疲労の方法によって苦労して得られた多くの結果は、楕円の面積や球の体積など、キャバリエリの原則によって簡単かつ迅速に得られました。 彼の方法を通して、Cavalieriは今日の記号で次のように表現される結果を見つけました。
任意の自然数n（n=1,2,3、…）に対して。 Cavalieriは、Centuria di varii problemi（1639）に現れるこの結果が、1636年にはすでにFermatとRobervalによって発見されていたことに気づいていませんでした。
非自明の方法によって、彼の弟子G.A.Roccaによって確立された補題に基づいて、Cavalieriは表面の面積と回転する固体の体積に関するGuldin定理を証明しました。 この定理は、パップスの作品の特定の版にも現れるが、補間であるとされているが、一般的な証明を提供することなく、特定の特定の場合にその正しさを証明したGuldinのCentrobarycaに記載されていた。
Cavalieriによって示された線に沿った無限小分析の分野における最も重要な進歩は、Evangelista Torricelliによって行われました。 彼のArithmetica infinitorum（1655）では、John Wallisも不可分を使用しています。
特に興味深いのは、パスカルが彼のLetires de Dettonville（1658）で表現したCavalieriメソッドの意見です：”indivisiblesの真のルールによって実証されるすべてのものは、必然的に古代人の方 その理由のために、以下のもので、私は不可分の非常に言語を使用することを躊躇してはなりません。”無限小の分析の分野では、次の年に、新しいアイデアは、indivisibles上の古いものを置き換えますが、ライプニッツはG.マンフレディへの手紙で認めたように、カヴァリエリとトリチェリの方法は、深遠な影響を及ぼした：”…幾何学の崇高では、その分野でyeomanのタスクを実行したイニシエータとプロモーターはカヴァリエリとトリチェリでした。”さらに、ニュートンは、彼のプリンシピアで不可分の問題で批判的な態度を仮定しながら、それにもかかわらず、彼のTractatus de quadratura curvarumで、可変的な大きさを示すためにfluensという用語を使用しました—以前に彼のExerciiationes geomeiricae sexでCavalieriによって使用された用語です。幾何学の本Iの命題Iでは、Cavalieri定理としても知られている平均値の定理を幾何学的な形で見つけます。
幾何学的な形では、平均値の定理は、Cavalieriの定理とも呼ばれます。
この定理は、次の問題の解として提示されます: 解析的に我々が持っている：実変数xの実関数f（x）は、区間（a、b）で連続しており、この区間内のすべての点でそれが微分可能である場合、少なくとも一点が存在するようなa<<<<<<<<<bなので、
対数は1614年のネイピアの仕事で数学に導入されました。 イタリアでは、このような数値計算の貴重な補助者は、三角法の注目すべき発展と天文学への応用とともに、Cavalieriによって導入されました。 これに関連して、Directorium generale uranometricum（1632年）、Compendio delle regole dei triangoli（1638年）、Centuria di varii problemi（1639年）、Nuova pratica astrologica（1639年）、Trigonometria plana,et sphaerica,linearis et logarithmica（1643年）に言及することができる。 Directorium、Pratica、およびTrigonometriaには、さらに優れた対数三角表が含まれています。
Centuriaでは、Cavalieriは円筒形と円錐形の表面の一般的な定義、樽の体積と尖ったアーチを持つ金庫の容量を決定する公式、二つの数の対数から合計または差の対数を得る手段などのトピックを扱った。 他の中のGauss。 Lo specchio ustorio（”燃えるガラス”）は、ギリシャ人の間で円錐の理論の起源に関するいくつかの興味深い歴史的データが含まれています; Cavalieriによると、起源はgnomonicの要件にあります。 本研究では，光学と音響への応用を伴う円錐の理論を見いだした。 前者の中で、私たちは反射望遠鏡のアイデアに注目しています—PiolaとFavaroによれば、CavalieriはGregoryとNewtonに先行して最初の発明者でした; 不均一な球形のレンズの焦点距離の決定とアルキメデスの燃焼ガラスの解説,音響の分野で,カヴァリエリは、ウィトルウィウスによって言及され、音を増幅するための劇場で使用される共鳴花瓶の考古学的再構築を試みました.
この作品では、円錐の様々な点ごとの構成が現れます。 より興味深いのは、幾何学と演習で与えられた構造であり、シュタイナーの仕事に先行する射影鉛筆によって得られたものである。
微妙な質問は、Cavalieriが彼のオフィスのおかげで従事していた占星術の活動に関連していますが、D’Avisoによって指摘されたように、彼はPratica astrologicaの終わりに星や州の位置に基づいた予測に反対していました。
参考文献
I.オリジナルの作品。 カヴァリエリの作品には”Directorium generate uranometricum”（ボローニャ、1632年）、”Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna”（ボローニャ、1635年）、”2nd ed”（ボローニャ、1635年）などがある。, 1653). S.J.Lure（モスクワ-レニングラード、1940年）によってロシア語に翻訳された。 イタリア語に翻訳,B Luc Lucio Lombardo-Radice,Bonaventura CavalieriによってIndivisiblesの幾何学として,彼らのデモと三角形のルールのIth大要(ボローニャ,1638);Centuria di varii problemi(ボローニャ,1639);Nuova pratica astromlogica(ボローニャ,1639);プリマ対数表. 第二対数表。 作業中の注釈、および最も注目すべきエラーの修正（ボローニャ、n.d。）;新しい占星術の練習の付録（ボローニャ。 1640);Triganometria plana,ET sphaerica,linearis et logarithmica(Bologna,1643); 永久惑星ホイールに関する論文（ボローニャ、1646）;とgeometr
II.二次点灯U.d’aviso、”P.Buonaventura Cavalieriの人生”、球の論文（ローマ1682）;G.Piola、Bonaventura Cavalieriの賞賛（ミラノ、1844）;A.Bonaventura Cavalieri In The study of Bologna（ボローニャ、1885）;E.Bortolotti、”the progress of the progress Of The Sphere”（ボローニャ、1885）;E.Bortolotti、”The progress of The sphere”（ボローニャ、1885）。Torricelliの幾何学的作業における無限小法”、matermaticheの定期刊行物、4th Ser。, 8 (1928), 19–59; “積分計算の基本定理の発見とその後の一般化”,In Archivio di Storia della scienza(1924),pp.205-227;F.Conforto,”Bonaventura Cavalieri and Evangelista Torricelliの科学的研究”,In Proceedings of The Pisa conference(23-27Sept. 1948),pp.35-56;A.Masotti. “Memorial of Bonaventura Cavalieri”,in reports Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere,part generable and official acts,81(1948),43-86;G.Castelnuovo,the origins of infinitesimal calculus in the modern era(Milan,1962),pp.43-53;G.Cellini.Moderna Lstituto lombardo di scienze e lettere,part generable and official acts,81(1948),43-86;G.Cellini. “Bonaventure Cavalieriの数学的および哲学的思考における不可分”、Journal of mathematics、4th ser。,44(1966),1-21;”彼の騎士のデモ.、原則”、同著。、85-105頁。
エットーレ-カルッチオ
