Cantor’s theoremは、集合論において、集合の基数（数値サイズ）がその冪集合の基数、または部分集合の集合よりも厳密に小さいという定理である。 記号において、n個の元を持つ有限集合Sは2n個の部分集合を含むので、集合Sの基数はnであり、その冪集合P(S)は2nである。 これは有限集合については明らかであるが、現代の集合論の創始者として普遍的に認められているドイツの数学者ゲオルク—カントールが19世紀末にこの分野で働き始める前に、無限集合の場合を真剣に考えていた人はいなかった。1891年の無限集合に対するカントールの定理の証明は、彼が以前に有理数の基数が整数の基数と同じであることを証明するために使用していた、いわゆる対角化引数のバージョンにかかっていた。 無限集合の場合、集合の大きさはその適切な部分集合の一つと同じであり得るという概念は、カントール以前のほとんどの人が無限の大きさが一つしかないと仮定していたように、あまり驚くべきことではなかった。 しかし、いくつかの無限集合が他のものよりも大きいというカントールの証明（例えば実数が整数よりも大きい）は驚くべきことであり、最初は何人かの数学者、特にドイツのレオポルド・クロネッカーから大きな抵抗を受けた。 さらに、任意の無限集合を含む任意の集合の冪集合が常に元の集合よりも大きいというカントールの証明により、彼は超極小数として知られる基数π0,π1,π2…のますます増加する階層を作成するようになった。 カントールは、最初の半極限数σ0または整数の基数と連続体(c)または実数の基数との間に半極限数は存在しない、つまりc=σ1を提案した。 これは現在では連続体仮説として知られており、標準集合論では決定不能な命題であることが示されている。