Teorema di Cantor, in teoria degli insiemi, il teorema che la cardinalità (dimensione numerica) di un insieme è strettamente inferiore alla cardinalità del suo insieme di potenza, o insieme di sottoinsiemi. Nei simboli, un insieme finito S con n elementi contiene sottoinsiemi 2n, in modo che la cardinalità dell’insieme S sia n e il suo set di potenza P(S) sia 2n. Mentre questo è chiaro per insiemi finiti, nessuno aveva seriamente considerato il caso per insiemi infiniti prima che il matematico tedesco Georg Cantor-che è universalmente riconosciuto come il fondatore della moderna teoria degli insiemi-ha iniziato a lavorare in questo settore verso la fine del 19 ° secolo.

La dimostrazione del teorema di Cantor del 1891 per insiemi infiniti si basava su una versione del suo cosiddetto argomento diagonalizzazione, che aveva precedentemente usato per dimostrare che la cardinalità dei numeri razionali è la stessa della cardinalità degli interi mettendoli in una corrispondenza uno-a-uno. L’idea che, nel caso di insiemi infiniti, la dimensione di un insieme potesse essere la stessa di uno dei suoi sottoinsiemi propri non era troppo sorprendente, poiché prima di Cantor quasi tutti presumevano che esistesse una sola dimensione per l’infinito. Tuttavia, la prova di Cantor che alcuni insiemi infiniti sono più grandi di altri—ad esempio, i numeri reali sono più grandi degli interi-è stata sorprendente, e inizialmente ha incontrato grande resistenza da parte di alcuni matematici, in particolare il tedesco Leopold Kronecker. Inoltre, la prova di Cantor che l’insieme di potenza di qualsiasi insieme, incluso qualsiasi insieme infinito, è sempre più grande del set originale lo ha portato a creare una gerarchia sempre crescente di numeri cardinali, ℵ0, ℵ1, ℵ2 known, noti come numeri transfiniti. Cantor ha proposto che non ci sia un numero transfinita tra il primo numero transfinita ℵ0, o la cardinalità degli interi, e il continuum (c), o la cardinalità dei numeri reali; in altre parole, c = ℵ1. Questa è ora conosciuta come ipotesi del continuo, ed è stato dimostrato di essere una proposizione indecidibile nella teoria degli insiemi standard.