Frane

Le frane sono un altro pericolo naturale che presenta statistiche sull’area di frequenza della legge di potere in un’ampia varietà di circostanze. Per prima cosa consideriamo un inventario regionale di 16.809 frane nell’area Umbria-Marche d’Italia (14). Questo inventario è stato ottenuto da analisi di fotografie aeree scattate in scala 1:33,000, integrate da indagini geomorfiche dettagliate in siti selezionati (15, 16). La distribuzione numero-area non cumulativa è riportata in Fig. 9 (set di dati A). Le frane medie e grandi si correlano bene con la relazione power-law con esponente aL = 2.5 e intercetta C = 300 (AL in km2). Questo set di dati si discosta dal ridimensionamento della legge di potenza per AL < 10-1 km2 (A ≈ 300 m). La distribuzione cumulativa equivalente per Eq. 21 is Consideriamo quindi un inventario di 4.233 frane nella regione Umbria che sono state innescate da un improvviso cambiamento di temperatura il 1 gennaio 1997. Questo inventario è stato ottenuto da analisi di fotografie aeree scattate in scala 1:20,000 3 mesi dopo l’evento di scioglimento della neve, integrate da indagini sul campo. La distribuzione non cumulativa numero-area di queste frane è anche dato in Fig. 9 (set di dati B). Si noti che le scale verticali sono state regolate in modo che i due set di dati si sovrappongano. Queste frane anche correlano bene con la relazione potere-legge in Eq. 21, di nuovo prendendo aL = 2,5 e C = 0,3 (AL in km2). Questo set di dati si discosta dal ridimensionamento della legge di potenza per AL < 10-3 km2 (A ≈ 30 m).

La sovrapposizione dei due set di dati illustrati in Fig. 9 mostra che la scala della legge di potenza è valida nell’intervallo delle aree franose, 10-3 km2 < AL < = 4 km2, cioè per scale di lunghezze superiori a ≈ 30 m. L’inventario delle frane indotte dallo scioglimento della neve (il set di dati B) è certamente più completo delle frane storiche (set di dati A). Concludiamo che il rollover (AL = 2 × 10-2 km2 delle frane nell’inventario regionale nel set di dati A è causato dall’incapacità di misurare le aree delle frane più piccole sulle fotografie aeree e/o causato dall’erosione e da altri processi di spreco.

D’altra parte, il rollover delle frane nel set di dati B non è un artefatto ed è il risultato del troncamento della scala della legge di potenza a una scala di lunghezza di circa A ≈ 30 m. A causa della freschezza delle frane innescate dallo scioglimento della neve e della qualità e della scala (1:20.000) delle fotografie aeree, la più piccola area franosa costantemente mappata è di circa 2,5 × 10-4 km2 (A ≈ 16 m), cioè inferiore alla dimensione A ≈ 30 m alla quale il set di dati si discosta dal rapporto potere-legge. Questa conclusione è stata supportata anche da indagini geomorfiche dettagliate in siti selezionati, che hanno confermato che gli inventari delle fotografie aeree sono praticamente completi.

Il contributo delle frane innescate dallo scioglimento della neve all’inventario totale delle frane può anche essere dedotto dal confronto dei set di dati A e B in Fig. 9. Negli inventari delle frane effettive, le frane innescate dalla fusione della neve (set di dati B) hanno una superficie totale di frana di 12,7 km2 e rappresentano lo 0,7% della superficie totale di frana di 1.831 km2 delle frane a lungo termine (regionali) (set di dati A). Tuttavia, le distribuzioni frequenza-area come presentato in Fig. 9 racconta una storia diversa. Supponiamo che entrambi gli inventari siano completi per le frane più grandi. La prova che questo è vero può essere visto in Fig. 9, dove entrambi i set di dati A e B hanno le stesse distribuzioni di legge di potenza. Confrontando il valore C da Eq. 21 per entrambe le distribuzioni (Fig. 9), il set di dati B ha C = 0,3 e il set di dati A ha C = 300; il rapporto è 1: 1.000.

L’area sotto le due distribuzioni di area di frequenza rappresenta l’area di frana totale relativa per ciascun set di dati. Cambiare C in Eq. 21 per 1.000 equivale a cambiare l’area sotto la curva frequenza-area di un fattore di 1.000. Pertanto, in base alla distribuzione dell’area di frequenza, l’area totale delle frane innescate dalla fusione della neve (set di dati B) rappresenta lo 0,1% dell’area totale delle frane regionali a lungo termine (set di dati A). Il valore più basso dello 0,1% (rispetto allo 0,7% come discusso nell’ultimo paragrafo) riflette il fatto che il set di dati A è incompleto.

Una questione importante è l’importanza relativa delle frane innescate nell’inventario delle frane a lungo termine. La maggior parte delle frane sono generate nei più grandi eventi franosi innescati o l’inventario delle frane è dominato dallo sfondo regolare delle frane? Certamente i terremoti, gli eventi di scioglimento della neve e gli eventi di pioggia ad alta intensità o prolungata innescano molte frane. Ma quali sono le statistiche di frequenza-grandezza per questi eventi? Il confronto fatto in Fig. 9 fornisce una base razionale per quantificare l’intensità di un evento di frana innescato. Semplicemente prendendo il numero di frane contati è inappropriato; facendo questo per il confronto dato in Fig. 8 comporterebbe un grave errore, in quanto il set di dati B è relativamente completo (cioè, viene conteggiata tutta o una grande percentuale delle frane innescate) e A è incompleto. Sulla base degli inventari effettivi delle frane, le intensità relative dei due set di dati sarebbero 4.233/16.809 o ≈1/4. Questo è molto diverso dalla nostra precedente conclusione basata sulla distribuzione della legge di potenza per ciascun set di dati e sul rapporto 1:1.000 per i valori di C, che le intensità relative sono 1/1.000.

Per confronto, consideriamo ora la distribuzione della frequenza-area di 10.000 frane innescate su un’area di 10.000 km2 dal terremoto del 17 gennaio 1994, Northridge, CA. Un inventario di queste frane è stato effettuato da Arpa e Jibson (17). Hanno usato la fotografia aerea in scala 1: 60.000, scattata la mattina dopo il terremoto, e hanno confrontato queste foto con le foto scattate in precedenza. Le foto digitalizzate sono state integrate dal lavoro sul campo. Hanno stimato che l’inventario è quasi completo per le frane con una scala di lunghezza maggiore di un ≈ 5 m. La distribuzione numero-area non cumulativa di queste frane è riportata in Fig. 10. Queste frane correlano bene con la relazione di potere-legge Eq. 21 prendendo aL = 2.3 e C = 1.0 (AL in km2). Questo set di dati si discosta dal ridimensionamento della legge di potenza per AL < 10-3 km2 (A ≈ 30 m).

I dati per queste frane innescate dal terremoto in California sono notevolmente simili alle frane innescate dallo scioglimento della neve nell’Italia centrale. L’esponente di legge di potenza più adatto è aL = 2.3 per i dati della California e aL = 2.5 per i dati italiani. I rollover per le piccole frane si verificano essenzialmente nelle stesse aree franose per i due set di dati. Le intensità relative delle frane innescate dallo scioglimento della neve possono essere ottenute dalle correlazioni fornite in Figs. 9 e 10. Un confronto fatto a AL = 10-2 km2 mostra che l’intensità dell’evento franoso della California era circa il doppio dell’intensità dell’evento franoso italiano. Poiché entrambi gli inventari sembrano essere relativamente completi, le intensità relative sono proporzionali al numero di frane, cioè 11.000/4.233 = 2,6.

Confrontiamo i risultati sopra riportati con studi precedenti. Fujii (18) ha ottenuto un inventario cumulativo numero-area di 800 frane causate da un evento di forti piogge in Giappone. Un’eccellente correlazione con la relazione potere-legge Eq. 22 è stato trovato, prendendo bL = 0.96. L’equivalente non cumulativo potenza-legge esponente in Eq. 21 è aL = 1,96. Hovius et al. (19) hanno fornito un inventario numero-area di 4.984 frane nella zona montane est della faglia alpina in Nuova Zelanda. Hanno stimato che queste frane si sono verificate in un periodo da 40 a 60 anni. I loro dati logaritmicamente binned correlavano bene con una relazione di potere-legge con esponente bL = 1.17. Perché binning logaritmica è equivalente a una distribuzione cumulativa (Eq. 22), l’equivalente non cumulativo potenza-legge esponente da Eq. 21 è aL = 2,17.

Hovius et al. (20) hanno fornito un inventario di 1.040 frane fresche nei bacini di Ma-An e Wan-Li sul lato orientale della catena centrale di Taiwan. Hanno stimato che le frane hanno un’età inferiore a 10 anni. I loro dati logaritmicamente binned avevano un esponente della legge di potenza di bL = 1.66. L’equivalente non cumulativo potenza-legge esponente da Eq. 21 è aL = 2,66. Questo set di dati si discosta dal ridimensionamento della legge di potenza per AL < 10-3 km2 (A ≈ 30 m). È interessante notare che l’esponente della legge di potere e la deviazione dal ridimensionamento della legge di potere per questo set di dati e i due eventi franosi che abbiamo dato sopra (Italia e California) sono molto simili.

Malamud e Turcotte hanno fornito distribuzioni di numero-area non cumulative per diversi inventari regionali delle frane (21). Risultati per 1.130 frane dalla Valle di Challana, Bolivia correlano bene con la relazione potere-legge non cumulativa, Eq. 21, prendendo aL = 2.6; 3.243 frane dalla gamma Akishi, Giappone centrale correlano bene, prendendo aL = 3.0; e 709 terremoti da Eden Canyon, Alameda, CA correlano bene, prendendo aL = 3.3.

Hungr et al. (22) hanno fornito scorte cumulative in volume di frequenza per 1.937 cascate di roccia e scivoli di roccia lungo i principali corridoi di trasporto della Columbia britannica sud-occidentale. I dati correlano bene ragionevole con una relazione di potere-legge prendendo la pendenza per essere -0.5 ± 0.2. Supponendo che il volume V correli con l’area secondo V A A3 / 2, l’equivalente cumulativo frequenza-area potenza-legge esponente (Eq. 22) è bL = 0.75 ± 0.30, e l’equivalente non cumulativo frequenza-area potenza-legge esponente (Eq. 21) è aL = 1,75 ± 0,30.

Dai e Lee (23) hanno fornito inventari cumulativi in volume di frequenza per 2.811 frane a Hong Kong che si sono verificate durante il periodo 1992-1997. I dati si correlano ragionevolmente bene con una legge di potenza che porta la pendenza a -0.8. Di nuovo assumendo V A A3 / 2, l’equivalente cumulativo frequenza-area potenza-legge esponente (Eq. 22) è bL = 1.2, e l’equivalente non cumulativo frequenza-area potenza-legge esponente (Eq. 21) è aL = 2.2.

Sebbene vi sia certamente variabilità, molti inventari di frane sembrano soddisfare le statistiche non cumulative di potenza-legge frequenza-area con un esponente aL = 2.5 ± 0.5. Una domanda importante è se questa dispersione relativamente grande nei valori di aL sia causata dalla dispersione nei dati o da diversi valori di aL associati a diverse geologie. Per un singolo set di dati, la barra di errore su aL può essere relativamente grande. Ad esempio, a seconda di dove la coda è adatta, Stark e Hovius (24) trovano variazioni nell’ordine di aL = 2,88 ± 0,22. Questa variazione è anche tranquilla evidente nella nostra Fig. 9, dove per ogni set di dati è ragionevole una barra di errore di aL = 2,5 ± 0,25. Ma, quando i due set di dati sono combinati, l’errore è ridotto a aL = 2,5 ± 0,10. Questa combinazione suggerisce che la distribuzione della legge di potenza delle frane può essere valida su un intervallo di valori più ampio di quello mostrato da studi precedenti.

Crediamo che le prove siano convincenti che le frane medie e grandi soddisfino costantemente le statistiche di frequenza-area della legge di potenza (frattale), ma perché? Una spiegazione è semplicemente richiamare il modello di pila di sabbia come analogo per le frane nello stesso modo in cui i modelli a blocchi di scorrimento sono associati ai terremoti. Tuttavia, l’esponente della legge di potenza non cumulativa per le frane è aL = 2.5 ± 0.5 mentre l’esponente della legge di potenza non cumulativa per le valanghe del modello del mucchio di sabbia è aL 1 1.0. Per spiegare questa differenza, Pelletier et al. (25) ha combinato un’analisi della stabilità del pendio con la topografia auto-affine e il contenuto di umidità del suolo e ha trovato una distribuzione di frequenza-area non cumulativa di power-law con aL = 2.6.

Hergarten e Neugebauer (26) hanno utilizzato un modello numerico che combina la stabilità della pendenza e il movimento di massa e hanno trovato un’approssimazione a una distribuzione della legge di potenza con un esponente di aL 2 2.1. Questi autori (27) in seguito hanno utilizzato un modello di automi cellulari con indebolimento dipendente dal tempo, simile al modello di pila di sabbia, e hanno trovato una distribuzione della legge del potere con aL ∼ 2.0. Sebbene sia certamente possibile sviluppare modelli che riproducano la dipendenza osservata dalla legge di potere dei dati reali, c’è una vera domanda se questi modelli siano realistici in termini di fisica che governa. Certamente molto più lavoro è necessario per fornire una spiegazione completa per il comportamento di potere-legge.

Anche il rollover dei dati lontano dalla correlazione power-law per piccole frane sembra essere sistematico e richiede una spiegazione. Una possibilità è che la scala di rollover abbia una spiegazione geomorfologica. Il rollover si verifica per scale inferiori a circa 30 m, la scala su cui si formano reti di flusso ben definite. Il gabbiano associato alle reti fluviali e fluviali dovrebbe svolgere un ruolo significativo nella geometria delle frane per guasti controllati climaticamente, come quelli del set di dati B, o altre frane innescate dalle precipitazioni. Per le frane controllate climaticamente, l’acqua e le acque sotterranee sono questioni importanti ed entrambe riguardano le dimensioni di un pendio, che a sua volta dipende dal modello e dalla densità della rete fluviale. Per le frane sismicamente indotte, la relazione è meno chiara. Queste frane, e in particolare le cadute di roccia, si verificano dove i pendii sono più ripidi, dove si concentra lo scuotimento sismico e dove la roccia è più debole. Una spiegazione alternativa per il rollover dei dati è che questa scala rappresenta una transizione da guasti controllati dalla coesione a guasti controllati dall’attrito basale.