Considera il seguente gioco: scrivo un numero reale casuale tra 0 e 1 e ti chiedo di indovinarlo. Qual è la probabilità che tu lo indovini correttamente? La risposta è zero. Potresti chiederti: “Ma è possibile per me indovinare la risposta corretta! Ciò significa che la probabilità deve essere più di zero!”e tu saresti giustificato a chiedertelo, ma ti sbaglieresti. È vero che gli eventi impossibili hanno probabilità zero, ma il contrario non è vero in generale. Nel resto di questo post, mostriamo perché la risposta sopra era in realtà zero, e perché questo non ha bisogno di fare danni irreparabili alla tua attuale visione del mondo.

Iniziamo mostrando che la probabilità che indovini il mio numero giusto è zero. Sia la probabilità in questione. L’idea è di mostrare che per qualsiasi numero reale positivo. Sappiamo che , e se è più piccolo di QUALSIASI numero positivo, allora deve essere zero! L’argomento è il seguente. Chiamiamo il numero che ho scelto a caso . Immagina che l’intervallo sia dipinto di bianco. Scegliere qualsiasi numero reale positivo . Quindi c’è un sotto-intervallo di lunghezza all’interno dell’intervallo contenente . Immagina che questo sub-intervallo sia dipinto di nero, quindi ora abbiamo una striscia nera di lunghezza sulla striscia bianca originale, e il numero che ho scelto era nella striscia nera. Qual è la probabilità che la tua ipotesi atterra sulla striscia nera? Deve essere , poiché questa è la proporzione della striscia bianca che è coperta. Ma affinché la tua ipotesi sia uguale al mio numero, deve atterrare nella striscia nera, quindi la tua probabilità di indovinare non può essere maggiore della probabilità di indovinare un numero sulla striscia nera! Quindi .

Ora dovresti essere convinto che questo evento abbia effettivamente zero probabilità di accadere, ma è ancora vero. Questo fenomeno è dovuto al seguente fatto geometrico: è possibile avere un set non vuoto con zero “volume”. Il termine “volume” dipende dal contesto; nel caso del punto sull’intervallo, “volume” è lunghezza. La probabilità di un evento misurato sull’intervallo è uguale alla sua lunghezza e un singolo punto sull’intervallo ha lunghezza zero, ma è ancora un sottoinsieme non vuoto dell’intervallo! La probabilità è fondamentalmente una misura di ” volume “in cui l’intero spazio ha” volume” uguale a 1. Definendo la probabilità in questo modo, possiamo dimostrare tutti i tipi di fatti accurati usando qualcosa chiamato teoria della misura.

Per ricapitolare, dovresti aver imparato quanto segue da questo post:

• La probabilità di scegliere casualmente un numero specifico nell’intervallo è uguale a zero
• Gli eventi che hanno probabilità zero sono ancora possibili