(B. Milánó, Olaszország, valószínűleg 1598; d. Bologna, Olaszország, 30 November 1647). matematika.Cavalieri születési ideje bizonytalan; a fent megadott dale az, amelyet Urbano d ‘ aviso, Cavalieri tanítványa és életrajzírója idézett. A Bonaventura név nem az ő keresztelési neve volt, hanem az apja neve. Ezt a nevet fogadta el a matematikus, amikor fiúként belépett a Jesuati vallási rendbe, a Szent Ágoston uralmának hívei. Cavalieri kapott a kisebb megrendelések Milánóban 1615-ben, és 1616-ban át a Jezsuati kolostor Pisa, ahol volt a szerencse, hogy a találkozó a bencés szerzetes Benedetto Castelli, aki tanult a Galileo Padovában, és abban az időben a tanár a matematika Pisában. Rajta keresztül Cavalieri-t kezdeményezték a geometria tanulmányozásában. Gyorsan felszívta Euklidész, Archimedes klasszikus műveit. Apollonius és Pappus, akik olyan kivételes alkalmasságot tanúsítottak, hogy néha helyettesítette tanárát a Pisai Egyetemen. Castelli bemutatta Galilei-nek, akinek tanítványa mindig magát tartotta. Legalább 112 levelet írt Galileo-nak, amelyek szerepelnek az Opere di Galileo nemzeti kiadásában; Galileo Cavalierihez intézett levelei közül azonban csak kettő érkezett hozzánk.
1620-ban Cavalieri visszatért Rómába parancsára felettesei, és 1621-ben szentelték diakónus bíboros Federigo Borromeo, aki tartotta fra’ Bonaventura nagy becsben, és szívesen tárgyalt matematika vele; a bíboros ezt követően levelet írt neki, hogy Galileo. Cavalieri alig huszonegy éves volt, amikor teológiát tanított a milánói San Girolamo kolostorban, a téma mély ismereteivel vonzza a figyelmet.
alatt Milánói időszakban (1620-1623) Cavalieri kifejlesztette első ötleteit a módszer oszthatatlan, a fő hozzájárulása a matematika. 1623-tól 1626-ig a Lodi Szent Péter Priora volt. Később vendég volt Rómában Monsignor Ciampoli, akinek később szentelte Geometria. 1626-tól 16291-ig a parmai Jesuati kolostor Priora volt, hiába remélve, hogy kinevezik az ottani egyetem matematika oktatójának. 1626 őszén, egy Parmából Milánóba tartó út során megbetegedett a köszvényben, amely gyermekkorától szenvedett, és amely élete végéig sújtotta. Ez a betegség több hónapig Milánóban tartotta. December 16-án 1627-ben bejelentette, hogy a Galileo és bíboros Borromeo, hogy befejezte a Geometria. 1628-ban megtudta, hogy a Bolognai tanári poszt megüresedett a csillagász halála miatt G. A. Magini, írta Galileo segítségért a kinevezés biztosításában. Galileo, 1629-ben írt Cesare Marsili, egy úriember Bologna és tagja a Accademia dei Lincei, aki megbízást kapott, hogy talál egy új előadó a matematika. Galilei levelében azt mondta Cavalieriről: “Arkhimédész óta kevesen, ha egyáltalán vannak, mélyebbre ástak a geometria tudományában.”Alátámasztására az ő alkalmazása a Bolognai helyzetben, Cavalieri küldött Marsili a geometria kézirat és egy kis értekezést kúpos szakaszok és azok alkalmazásai optika. Galileo ajánlása, ahogy Marsili írta neki. Arra késztette az” ezred urait”, hogy a matematika első székét Cavalierire bízzák, aki 1629-től haláláig folyamatosan tartotta.
ugyanakkor nevezték ki előtt egy kolostor saját rendje Bologna, konkrétan a templom Santa Maria della Mascarella, amely lehetővé teszi számára, hogy folytassa akadály nélkül mind a munkáját a matematika és az egyetemi tanítás. Abban az időszakban, amikor Cavalieri Bolognában tanított, tizenegy könyvet adott ki abban a városban, köztük a Geometria (1635).
Cavalieri elmélete, amelyet ebben a műben és a később megjelent másokban fejlesztettek ki, a infinitesimals, amely az Arkhimédész művei iránti újjáéledt érdeklődésből ered, amelyeket a reneszánsz idején görögről latinra fordítottak, kommentárokkal. A Tartaglia, Maurolico és Commandino fordításait idézik, mivel az új matematikai fejlesztések kiindulópontjaként szolgáltak.a tizenhetedik századi matematikusok csak Arkhimédész írásait ismerték, amelyek a kimerültség szigorú módszerén alapultak, amellyel az ősi matematikusok végtelenül kis jellegű kérdésekkel foglalkoztak anélkül, hogy a végtelenhez vagy a tényleges végtelenhez folyamodtak volna. Mindazonáltal, a nagy matematikusok a tizenhetedik században annyira alaposan áthatja a szellem Arkhimédész, hogy értékelni, hogy amellett, hogy a” módszer a kimerültség ” az ősi geometrikusok kellett volna tudni egy kezelhető és hatékony módszer a kutatás. Ezen a ponton Torricelli írta:
nem merem kijelenteni, hogy az oszthatatlanoknak ez a geometriája valójában egy új felfedezés. Inkább azt hinném, hogy az ősi geometrikusok igénybe vették ezt a módszert annak érdekében, hogy felfedezzék a nehezebb tételeket, bár demonstrációjukban talán más módszert részesítettek előnyben, akár művészetük titkának elrejtésére, akár arra, hogy ne engedjenek alkalmat a rosszindulatú Becsmérlők kritikájára. Bármi is volt az, bizonyos, hogy ez a geometria a demonstrációk csodálatos munkagazdaságát képviseli, és számtalan, szinte kifürkészhetetlen tételt hoz létre rövid, közvetlen és megerősítő demonstrációk révén, amelyekre a régiek tanítása képtelen volt. Az oszthatatlanok geometriája valóban a matematikai briar bush-ban volt az úgynevezett királyi út, amelyet Cavalieri először megnyitott és lefektetett a nyilvánosság számára, mint csodálatos találmány eszközét .
1906-ban J. L. Heiberg egy Konstantinápolyi könyvtárhoz tartozó palimpszesztben talált Arkhimédész egy kis művét Eratoszthenészhez intézett levél formájában, amely elmagyarázta azt a módszert, amellyel meghatározhatók az as, a kötetek és a súlypontok. Ez a módszer, amely viszont az abderai Democritus eljárásaihoz kapcsolódott, egy sík felületet tekintett egy adott egyenessel párhuzamos akkordokból, a szilárd anyagokat pedig egymással párhuzamos sík szakaszokból. Ezenkívül Archimédész szerint a statika alapelveit alkalmazták,ahol a nehéz testeknek gondolt számokat ideális skálán mérték. “Azt hiszem,” mondta Arkhimédész,” hogy az emberek az én idő és a jövő, és ezzel a módszerrel, talán talál még más tételek , amelyek még nem jutott eszembe “(Rufini, II” Metodo “di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’ antichit, p. 103). Az Arkhimédész által nyújtott kihívást, mint tudjuk, kortársai nem vették fel, és sok évszázadra feledésbe merültek.
az oszthatatlanság fogalma néha futólag jelenik meg az emberi gondolkodás történetében: például a tizenegyedik századi Héber filozófus és matematikus, Abraham bar Hiyya (Savasorda) egyik passzusában; alkalmi-inkább filozófiai, mint matematikai—spekulációkban a középkori skolasztikusok által; Leonardo da Vinci egyik passzusában; Kepler Nova stereometria doliorum—jában (Linz, 1615). A Cavalieri-től eltérő felfogás szerint az oszthatatlanokat Galilei kezeli az övében Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.
a Cavalieri – ben az oszthatatlan módszer racionális rendszerezéséhez jutunk, egy olyan módszerhez, amelyet nemcsak az új eredmények keresésében tartanak hasznosnak, hanem-ellentétben azzal, amit Archimedes feltételezettnek tekint-érvényesnek tekintik, ha megfelelően módosítják, a tételek bemutatása céljából.
Ezen a ponton felmerül az elsődleges kérdés: milyen jelentőséget tulajdonított Cavalieri oszthatatlanjainak? Ez a matematikus, bár tökéletesen ismeri a finom filozófiai kérdéseket, amelyek azzal a problémával kapcsolatosak, hogy a folyamatos nagyságokat oszthatatlanok alkotják, az alany hipotéziseitől független módszert kíván létrehozni, amely az e tekintetben kialakult koncepciótól függetlenül érvényes lenne. Míg Galilei azt állította, hogy “a legmagasabb és a végső, bár a folytonos elsődleges összetevői, végtelen oszthatatlanok” (Opere, VII, 745-750),
Cavalieri nem merte azt állítani, hogy a folytonos oszthatatlan elemekből áll, amelyekről nem adott kifejezett meghatározást, és nem tisztázta, hogy tényleges vagy potenciális végtelenek-e. Az is valószínű, hogy Cavalieri felfogása az ő oszthatatlan ment a változás, és hogy ezek születtek, mint a tényleges infinitezimals (mint a Galileo) és nőtte ki magát potenciális infinitezimals (lásd G. Cellini). L. Lombardo Radice szerint továbbá ki kell emelni, hogy az oszthatatlanok Cavalieri-nézete mélyebb képet adott nekünk a halmazokról: nem szükséges, hogy a halmaz elemeit hozzárendeljük vagy hozzárendeljük; elég, ha pontos kritérium létezik annak meghatározására, hogy egy elem a halmazhoz tartozik-e vagy sem.
eltekintve az oszthatatlanság természetével kapcsolatos filozófiai megfontolásoktól, Cavalieri által a terület és a kötetek meghatározása az ő nevét viselő elven alapul, amely a következőképpen fogalmazható meg:
ha két párhuzamos egyenes vonal által vágott síkfigura keresztezi egymást, ezen egyenesek mindegyikén egyenlő akkordok, a két alak egyenértékű; ha a halmaz egyetlen egyenes vonalához tartozó akkordok aránya állandó, akkor ugyanaz az arány érhető el a két ábra között.
Hasonlóképpen, az űrben: ha két szilárd anyag egymással párhuzamos síkokkal kapott szakaszai ekvivalensek kettővel, akkor a két szilárd anyag ekvivalens; ha az adott síkkal kapott két szakasznak állandó aránya van, amikor a sík változik, akkor a két szilárd anyag aránya megegyezik az ugyanazon síkkal kapott két szakasz arányával.
a modern infinitezimális analízis szempontjából a Cavalieri-elv lényegében megerősíti, hogy két integrál egyenlő, ha az integrandusok egyenlőek és az integrációs határok is egyenlőek. Ezenkívül az integrandusban szorzóként megjelenő állandó elvégezhető az integráció jeléből anélkül, hogy az integrál értéke megváltozna.
az integrál fogalma azonban A. Cauchy definíciója szerint nem volt pontosan Cavalieri matematikai gondolatában, hanem P. Mengoli, tanítványa és utódja a bolognai székben. Cavalieri számos utat követett, hogy bemutassa elvét, és ezek megtalálhatók a geometria VII.könyvében.
vizsgáljuk meg a síkgeometria esetét, ahol a megadott elv hipotézisei alapján az adott számok megfelelő akkordjai párban egyenlőek (Lásd az ábrát. 1). Cavalieri ezután a szóban forgó párhuzamos egyenes vonalak irányába történő fordítással két egyenlő akkordot helyez el. Az ábra azon részei, amelyek így egymásra helyezkednek, ezért egyenértékűek, vagy inkább egyenlőek, mert egybevágóak. A fennmaradó részek vagy maradványok, amelyek nem kerülnek egymásra, továbbra is megfelelnek az akkordokhoz viszonyított feltételeknek, amelyek az eredeti ábrán teljesültek. Ily módon fordítással folytathatjuk az egymást követő szuperpozíciókat, és az egymást követő műveletek egy adott pontján lehetetlen, hogy az egyik alak kimerüljön, hacsak a másik nem is. Cavalieri arra a következtetésre jut
hogy a megadott számok ekvivalensek. Az érvelés ötletes és intuitív, de tartalmaz egy gyenge pontot, mivel nem bizonyított, hogy a leírt műveletek során a maradványok kimerülnek ;és nem bizonyított, hogy az ilyen maradványok összege kevesebb lehet,mint egy adott felület. Mindazonáltal Cavalieri A Guldin által felvetett kifogásokra válaszolva azt állítja,hogy a maradványok eltávolítása az egyik ábrán, tehát a másikban végtelen műveletekkel hajtható végre. A Cavalieri-elv másik demonstrációja
az ősök kimerülési módszerével történik, és szigorú az olyan számok esetében, amelyek megfelelnek bizonyos feltételeknek: vagyis a demonstráció olyan számokra érvényes, amelyek az elv hipotézisének kielégítése mellett a következő osztályok egyikébe tartoznak:
(1) általánosított paralelogrammák, nevezetesen a p és l egyenes párhuzamos vonalak közötti ábrák, amelyek állandó hosszúságú akkordokat kereszteznek a p és l azonos irányú egyenes vonalakon (Lásd az ábrát. 2).
(2) a figurae in alteram partem deficientes (“más rész hiányos alakjai”) két párhuzamos p és l vonal közé tartoznak, továbbá a P-vel párhuzamos keresztirányú vonal által elfogott akkordok csökkennek, amikor a keresztirányú távolság a P egyenes vonaltól növekszik (Lásd az ábrát. 3).
(3) számok, amelyek véges számú részre bonthatók, amelyek a fent említett két osztály valamelyikéhez tartoznak (Lásd az ábrát. 4).
Az említett demonstrációk és az oszthatatlan módszer sikere ellenére a kortárs matematikusok, akik jobban ragaszkodtak a klasszikus matematika hagyományaihoz, vitába léptek Cavalieri-vel, nem tudva, hogy maga Arkhimédész már használt hasonló módszereket, mint amelyekkel szemben álltak. Ilyen például Guldin, aki érdekes beszélgetést folytatott Cavalieri – vel, amelyet a Exercitationes geomeiricae szex III.
sok olyan eredményt, amelyet a kimerültség módszerével fáradságosan kaptunk, egyszerűen és gyorsan megkaptuk a Cavalieri-elven keresztül: például egy ellipszis területét és egy gömb térfogatát. Módszereivel Cavalieri megtalálta azt az eredményt, amelyet a mai szimbólumokban a következőképpen fejeznek ki:
bármely természetes számra n (n = 1,2,3,…). Cavalieri nem tudta, hogy ez az eredmény, amely megjelenik a Centuria di varii problemi (1639), már talált már 1636-ban Fermat és Roberval, akik megérkeztek, hogy más eszközökkel.
az oszthatatlan módszer és a tanítványa, G. A. Rocca által létrehozott lemma alapján Cavalieri bizonyította a Guldin-tételt a felület területére és a forgó szilárd anyagok térfogatára. Ezt a tételt, amely Pappus műveinek bizonyos kiadásaiban is megjelenik, bár interpolációnak tartották, a Guldin Centrobaryca, aki bizonyos konkrét esetekben bizonyította helyességét, anélkül azonban, hogy az Általános bizonyítékot szolgáltatta volna.
az infinitezimális elemzés terén a Cavalieri által meghatározott irányvonalak mentén a legjelentősebb előrelépést Evangelista Torricelli tette. Az övében Arithmetica infinitorum (1655), John Wallis oszthatatlanokat is használ.
különösen érdekes a Cavalieri-módszer véleménye, amelyet Pascal fejezett ki Letires de Dettonville (1658): “minden, amit az oszthatatlanok valódi szabályai mutatnak be, szükségszerűen az ősök módján is megmutatkozik. Ezért a következőkben nem fogok habozni az oszthatatlanok nyelvét használni.”Bár a következő években az elemzés területén a végtelenül kis, új ötletek helyébe a régi a oszthatatlan, a módszerek Cavalieri és Torricelli mély hatást gyakorolt, mint Leibniz elismerte egy levelet, hogy G. Manfredi: “… a legmagasztosabb geometria, a kezdeményezők és promotors, akik végre egy yeoman ‘ s feladat ezen a területen voltak Cavalieri és Torricelli; később, mások haladt tovább élni magukat a munka Cavalieri és Torricelli.”Sőt, Newton, miközben Principia—ban kritikai hozzáállást feltételez az oszthatatlanság kérdésében, ennek ellenére Tractatus de quadratura curvarum-ban a fluens kifejezést használta változó nagyság jelzésére-ezt a kifejezést Cavalieri korábban használta Exerciiationes geomeiricae szex.
a Geometria I. könyvének I. tételében geometriai formában megtaláljuk az átlagérték tételét, más néven Cavalieri tételt. A tétel a következő probléma megoldásaként jelenik meg: Adott egy sík görbe, feltéve, hogy egy tangens minden ponton, és áthaladó két pont A és B, találni egy egyenes párhuzamos AB és érintő a görbe egy bizonyos ponton a görbe között A és B. analitikusan van: ha a valós függvény f(x) a valós változó x folyamatos az intervallumban (a, b) és minden pontján ezen intervallumon belül ez differenciálható, legalább egy pont létezik, hogy egy< GmbH <B, így
logaritmusokat vezettek be a matematikába Napier munkájában 1614-ben. Olaszországban ilyen értékes segédeszközök numerikus számítás vezették be Cavalieri, valamint figyelemre méltó fejlesztések trigonometria és alkalmazások csillagászat. Ebben az összefüggésben említhetjük a Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639) és Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). A Directorium, a Pratica, a Trigonometria pedig kiváló logaritmikustrig-onometrikus táblákat tartalmaz.
a Centuriában Cavalieri olyan témákkal foglalkozott, mint a hengeres és kúpos felületek általános meghatározása, a hordó térfogatának és a hegyes boltívekkel ellátott boltozat kapacitásának meghatározására szolgáló képletek, valamint a két szám logaritmusából az összeg vagy a különbség logaritmusának megszerzésére szolgáló eszközök, ezt a problémát később különböző matematikusok vették fel. Gauss többek között. Lo specchio ustorio (“az égő üveg”) érdekes történelmi adatokat tartalmaz a görögök körében a kúpok elméletének eredetéről; Cavalieri szerint az eredet a gnomonikus követelményekben található meg. Ebben a munkában találunk egy elmélet kúpok alkalmazások optika és akusztika. Az előbbiek közül megemlítjük a fényvisszaverő távcső ötletét, amelynek-Piola és Favaro szerint-Cavalieri volt az első feltaláló, megelőzve Gregoryt és Newtont; az egyenetlen gömbölyű lencse gyújtótávolságának meghatározása és Archimédész égő üvegének magyarázata az akusztika területén Cavalieri megkísérelte a Vitruvius által említett rezonáns vázák Régészeti rekonstrukcióját, amelyeket a színházakban a hang erősítésére használtak.
ebben a munkában a kúpok különböző pontszerű konstrukciói jelennek meg. Még érdekesebbek azok a konstrukciók, amelyeket a Geometria és a Exercitationes, projektív ceruzák segítségével nyertek, amelyek megelőzték Steiner munkáját.
egy kényes kérdés kapcsolódik az asztrológiai tevékenységekhez, amelyeket Cavalieri hivatala miatt folytatott, de, amint arra D ‘ aviso rámutatott, ellenezte a pratica astrologica végén a csillagok helyzetén és állapotain alapuló előrejelzéseket.
bibliográfia
I. eredeti művek. Cavalieri művei közé tartozik directorium generate uranometricum (Bologna, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; 2.kiadás., 1653). Oroszra fordította S. J. Lure (Moszkva-Leningrád, 1940). Olaszra fordítva, B Luc Lucio Lombardo-Radice, mint oszthatatlan geometria által Bonaventura Cavalieri, A háromszögek szabályainak I. összefoglalója demonstrációikkal (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bologna, 1639); Prima logaritmikus táblázat. Második logaritmikus táblázat. Megjegyzések a műben, valamint a legjelentősebb hibák kijavítása (Bologna, n. d.); az új asztrológiai gyakorlat függeléke (Bologna. 1640); Trianometria plana, ET sphaerica, linearis et logarithmica (Bologna, 1643); Értekezés az örök bolygókerékről (Bologna, 1646); és geometrr
II. másodlagos Lit lásd U. D ‘ aviso, “P. Buonaventura Cavalieri élete”, a gömb Traktátusában (Róma 1682); G. Piola, Bonaventura Cavalieri dicsérete (Milánó, 1844); A. Bonaventura Cavalieri A Bologna tanulmányában (Bologna, 1885); E. Bortolotti, “az örök bolygó kereke az infinitezimális módszer előrehaladása Torricelli geometriai munkájában”, a matermatiche folyóiratában, 4.szer., 8 (1928), 19–59; “Az integrálszámítás alapvető tételének felfedezése és későbbi általánosítása”, in Archivio di Storia della scienza (1924), 205-227.o.; F. Conforto, “Bonaventura Cavalieri és Evangelista Torricelli tudományos munkája”, a Pisai konferencia (szeptember 23-27. 1948), 35-56. “Bonaventura Cavalieri megemlékezése”, a jelentésekben Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, part generable and official acts, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, a végtelen kis számítás eredete a modern korban (Milánó, 1962), 43-53; G. Cellini. “Bonaventure Cavalieri matematikai és filozófiai gondolkodásának Oszthatatlanjai”, in Journal of mathematics, 4.ser., 44 (1966), 1-21;” a lovagok demonstrációi., elv”, UO., 85-105.o.
Ettore Carruccio
