Comment vous souvenez-vous de l’endroit sur une île déserte où vous avez enterré votre trésor ? Vous choisissez un point de repère, disons un palmier, et mesurez le nombre de pas nord / sud et le nombre de pas est / ouest que vous devez parcourir depuis ce point de repère pour vous rendre au trésor. C’est une idée simple mais, étonnamment, les mathématiciens ont mis des siècles à développer son plein potentiel dans leur propre domaine. Quand ils l’ont finalement fait, il a révolutionné les mathématiques en réunissant deux domaines qui, à première vue, ont peu à voir l’un avec l’autre: l’algèbre et la géométrie.

Lorsque nous commençons à apprendre la géométrie, nous pensons généralement à des formes simples comme des lignes, des triangles et des cercles dans le plan bidimensionnel. Vous pouvez construire ces formes et des formes plus compliquées à l’aide d’une règle, d’un compas et d’un rapporteur. Les anciens Grecs étaient maîtres de ce type de géométrie: en utilisant uniquement des boussoles et une arête droite (une règle non marquée), ils ont pu construire une gamme de formes et ils ont même pu prouver des résultats mathématiques, tels que le théorème de Pythagore, en utilisant ces outils simples.

Il y a certaines choses, cependant, que vous ne pouvez pas faire en utilisant ces méthodes de base. Deux formes, disons une ligne et un cercle, peuvent ou non se croiser, et elles peuvent se croiser de différentes manières: peut-être que la ligne touche simplement le cercle, peut-être qu’elle le rase d’un petit arc, ou peut-être qu’elle le coupe en deux. Pour enregistrer ces informations, vous avez besoin d’un moyen de décrire l’emplacement des formes.

C’est là que l’idée de l’île au trésor est utile. Il illustre ce qu’on appelle le système de coordonnées cartésiennes. Choisissez un point dans le plan, appelé l’origine, et tracez-y deux axes perpendiculaires, un horizontal et un vertical. Tout point du plan peut être atteint depuis l’origine en parcourant une certaine distance \(x\) le long de l’axe horizontal et une certaine distance \(y\) le long de l’axe vertical. Les nombres \((x, y)\) sont les coordonnées du point. L’origine elle-même a les coordonnées \((0,0)\). La partie de l’axe horizontal (également appelée axe \(x\)) située à gauche de l’origine et la partie de l’axe vertical (axe \(y\)) située en dessous de l’origine sont décrites par des nombres négatifs.

Les coordonnées cartésiennes sont nommées d’après le philosophe et mathématicien français du 17ème siècle René Descartes. Il y a une histoire (probablement fausse) selon laquelle Descartes aurait inventé ces coordonnées alors qu’il était allongé dans son lit en regardant une mouche au plafond et en se demandant comment décrire son emplacement. Le penchant de Descartes pour rester au lit jusqu’à midi peut en fait avoir été la cause de sa disparition, survenue à Stockholm en 1650. Descartes était en Suède pour servir de tuteur en mathématiques à la reine Christina, qui préférait malheureusement travailler tôt le matin. Selon certains rapports, ce sont ces premières heures et les températures scandinaves qui ont causé la pneumonie qui l’a finalement tué. D’autres ont suggéré qu’il a été empoisonné par un prêtre catholique inquiet de la théologie radicale de Descartes.

De toute façon, le système de coordonnées cartésiennes est l’un des héritages les plus importants de Descartes (bien qu’il ne soit pas le seul à en avoir l’idée). Cela nous permet de répondre à des problèmes géométriques en utilisant l’algèbre et de visualiser des relations algébriques qui resteraient autrement assez abstraites. Prenons par exemple l’équation \ Nous pouvons tracer le graphique de cette fonction dans un système de coordonnées cartésiennes en traçant tous les points dont les coordonnées sont de la forme \((x, 2x-1)\): des points tels que \((0, -1)\), \((1, 1)\), \((2,3)\), \((-1,-3)\), \((-2,-5)\), \((-\ frac{1}{2}, -2)\), et \((1.73, 2.46)\). Dans ce cas, le graphe est une droite qui rencontre l’axe \(y\) au point \((0, -1)\) et a une pente de \(2\).

Plus généralement toute droite est donnée par une équation de la forme \ où \(m\) vous donne la pente de la droite et \((0,b)\) est le point où elle croise l’axe \(y\). Une ligne verticale qui ne traverse pas l’axe \(y\) est donnée par une équation de la forme \(x = c\). Dans ce cas, \((c, 0)\) est le point auquel il croise l’axe \(x\).

Qu’en est-il d’un cercle ? Un cercle est constitué de tous les points situés à égale distance \(r\) d’un point donné \(m\). Supposons que \(m\) soit le point \((0,0)\). D’après le théorème de Pythagore, nous savons que si un point \((x,y)\) se trouve à distance \(r\) de \((0,0)\), alors \

C’est donc l’équation d’un cercle de rayon \(r\) centré sur l’origine. Vous pouvez déterminer vous-même qu’un cercle de rayon \(r\) centré sur le point \((a,b)\) a l’équation \ Mais voici une question plus compliquée: quelle forme obtenez-vous lorsque vous considérez tous les points situés à égale distance d’un point donné et d’une ligne donnée? Sans système de coordonnées, vous pouvez dessiner le point et la ligne et expérimenter avec votre règle ou votre compas. Vous pouvez dessiner quelques points situés à égale distance des deux et voir si vous pouvez deviner la forme générale.

Armé d’un système de coordonnées, cependant, la réponse devient beaucoup plus facile et beaucoup plus précise. Supposons que le point donné soit à distance \(1\) de la ligne donnée. Plaçons le point donné à l’origine et la ligne donnée de sorte qu’elle soit horizontale, donnée par l’équation \ Par le théorème de Pythagore la distance de tout point \((x,y)\) de \((0,0)\) est \(\sqrt{x^2 +y^2}\). La distance d’un point \((x,y)\) à la ligne \(y =-1\) est \(|y + 1 |\) (nous utilisons la valeur absolue ici car la coordonnée \(y\) peut être négative). Si ces deux sont égaux, alors \Quadrature des deux côtés donne \Réarranger donne \ Donc tout point à égale distance du point \((0,0)\) et la ligne \(y =-1\) a les coordonnées \(\left(x, \frac{x^2}{2} – \frac{1}{2} \ right)\). Vous pouvez vérifier par vous-même que l’inverse est également vrai: chaque point avec ces coordonnées se trouve à égale distance du point \((0,0)\) et de la ligne \(y =-1\).

Nous pouvons tracer le graphique de cette fonction pour voir la forme requise, qui s’avère être une parabole. En fait, chaque fonction quadratique \ pour les constantes \(a\), \(b\) et \(c\) nous donne une parabole. Cette forme familière, qui peut se décliner en tant de variations subtiles — longues et fines ou trapues et plates — est capturée par cette expression algébrique pratique. Le fait qu’aujourd’hui les termes « fonction quadratique » et « parabole » soient presque considérés comme synonymes souligne à quel point l’idée de Descartes a été couronnée de succès. Plus généralement, toute relation algébrique entre deux variables \(x\) et \(y\) nous donne une courbe que nous pouvons tracer en utilisant des coordonnées cartésiennes.

La représentation algébrique permet de répondre facilement à toute une gamme de questions géométriques. Pour calculer les points d’intersection de la droite donnée par \ et la parabole \(y = \frac{x^2}{2} – \frac{1}{2}\), nous notons simplement que la coordonnée \(y\) de tout point \((x,y)\) se trouvant sur les deux doit satisfaire les deux équations, donc \ Cela donne \ Résoudre l’équation quadratique que nous obtenons \ et \ donc les points d’intersection sont à \

En plus de résoudre des problèmes géométriques, les coordonnées cartésiennes aident également à visualiser les relations algébriques. Par exemple, supposons qu’une voiture roule à la vitesse \(u\) et que le conducteur appuie sur les freins, ce qui entraîne une décélération constante de, par exemple, \(-4\) mètres/secondes \(^2\). La distance d’arrêt \(s\) — la distance parcourue par la voiture avant de s’arrêter — est donnée par la relation algébrique \ Le fait de tracer cela en utilisant des coordonnées cartésiennes montre à quel point il est important de ralentir en zone urbaine, car la distance d’arrêt augmente rapidement avec \(u\).

Dans cet exemple, nous connaissions la relation entre deux variables car elle peut être dérivée des lois de la physique. Mais les coordonnées cartésiennes sont également utiles lorsque vous soupçonnez que deux variables sont liées mais que vous ne savez pas comment. Supposons que nous pensions qu’il existe une relation entre le profit réalisé par un vendeur de crème glacée et la température extérieure. Pour savoir ce que pourrait être cette relation, nous pouvons mesurer la température et le profit sur, disons, le cours d’une année et tracer les valeurs les unes par rapport aux autres, avec la température enregistrée sur l’axe \(x\) et le profit sur l’axe \(y\). Nous pouvons alors voir si nous pouvons repérer un motif. Dans le premier diagramme ci-dessous, nous pouvons deviner que la relation est linéaire, et nous pouvons essayer de trouver la ligne droite \ qui correspond le mieux à nos données (il existe des méthodes pour trouver ce meilleur ajustement). Dans le deuxième diagramme ci-dessous, nous pouvons deviner que la relation est quadratique et encore une fois nous pouvons essayer de trouver la fonction \ qui correspond le mieux aux données.

Les coordonnées cartésiennes ont joué un rôle majeur dans le développement du calcul dans la seconde moitié du 17ème siècle. Le calcul permet de déterminer des attributs de courbes tels que leur pente en un point donné ou l’aire de la région située entre une courbe et l’axe \(x\). Ceux-ci peuvent aussi avoir des interprétations physiques. Par exemple, si l’on trace la distance parcourue par une voiture par rapport au temps qu’elle a parcouru, la pente de la courbe résultante à un moment donné — le taux de variation de la distance par rapport au temps — représente la vitesse à laquelle la voiture roulait à ce moment-là dans le temps: c’est la dérivée de la fonction qui nous donne la distance en termes de temps. Voir aussi Pourquoi les gradients sont-ils importants dans le monde réel?.

Nous pouvons également monter une dimension en considérant un troisième axe perpendiculaire aux deux premiers, que vous pouvez imaginer comme sortant de votre feuille de papier et pointant vers vous. En utilisant un tel système tridimensionnel, vous pouvez maintenant représenter des objets tridimensionnels et visualiser comment une troisième variable \(z\) dépend de vos deux premières, \(x\) et \(y\).

Ces exemples devraient vous donner une idée des raisons pour lesquelles les coordonnées sont devenues si indispensables dans tous les domaines de la science, de la physique à l’astronomie et à l’ingénierie, ainsi que dans les industries visuelles pour produire de l’infographie et l’imagerie générée par ordinateur que nous admirons dans les films et les jeux.

En mathématiques même, le lien entre l’algèbre et la géométrie a abouti à tout un domaine appelé géométrie algébrique, qui a sa propre fascination. Le résultat le plus célèbre qui a émergé de ce domaine est peut-être le Dernier Théorème de Fermat, du nom d’un contemporain de Descartes, Pierre de Fermat, qui a également contribué de manière significative au développement du système de coordonnées cartésiennes. Fermat envisageait une question qui lie la géométrie à la théorie des nombres. Selon le théorème de Pythagore, si \(a\), \(b\) et \(c\) sont les côtés d’un triangle rectangle et \(c\) est le côté opposé à l’angle droit, alors \(a^2 + b^2 = c^2\). Il existe une infinité de triplets de nombres entiers \(a\), \(b\) et \(c\) qui satisfont cette relation; \((3,4,5)\) est un exemple.

Supposons maintenant que nous changions l’exposant et considérons des expressions telles que \ et \ et plus généralement \ où \(n\) est un nombre naturel supérieur à \(2\). Pouvons-nous encore trouver des nombres entiers positifs \(a \), \(b \) et \(c \) satisfaisant l’équation? Fermat soupçonnait que nous ne pouvions pas et il griffonnait autant dans la marge de son livre de mathématiques, disant qu’il avait une « preuve merveilleuse » de ce fait que la marge était trop étroite pour contenir.

Ce gribouillage allait hanter les mathématiciens pendant plus de 350 ans. Ce n’est qu’en 1994 qu’une preuve correcte de ce résultat apparemment anodin a finalement été annoncée par le mathématicien Andrew Wiles. Wiles avait fait un usage intensif de la géométrie algébrique. En particulier, il avait utilisé des résultats concernant les courbes elliptiques décrites par des points du plan dont les coordonnées satisfont la contemplation d’une mouche par Descartes a fait du chemin !