harkitse seuraavaa peliä: kirjoitan satunnaisen reaaliluvun 0: n ja 1: n väliltä ja pyydän arvaamaan sen. Mikä on todennäköisyys, että arvaat sen oikein? Vastaus on nolla. Saatat ihmetellä: ”mutta minun on mahdollista arvata oikea vastaus! Se tarkoittaa, että todennäköisyyden on oltava enemmän kuin nolla!”ja sinulla olisi oikeus ihmetellä, mutta olisit väärässä. On totta, että tapahtumilla, jotka ovat mahdottomia, on nolla todennäköisyys, mutta converse ei ole totta yleensä. Muissa tämän viestin, osoitamme, miksi vastaus edellä oli itse asiassa nolla, ja miksi tämä ei tarvitse tehdä korjaamatonta vahinkoa nykyisen maailmankuvan.

aloitetaan osoittamalla, että todennäköisyys sille, että arvaat numeroni oikein, on nolla. Olkoon kyseessä oleva todennäköisyys. Ideana on osoittaa, että mille tahansa positiiviselle reaaliluvulle . Tiedämme, että , ja jos se on pienempi kuin mikään positiivinen luku, niin sen on oltava nolla! Perustelu on seuraava. Soitetaan satunnaisesti valitsemaani numeroon . Kuvitelkaa, että väli on maalattu valkoiseksi. Valitse mikä tahansa positiivinen reaaliluku . Sitten on väli väli , joka sisältää . Kuvitelkaa, että tämä osaväli on maalattu mustaksi, joten nyt meillä on musta kaistale, jonka pituus alkuperäisellä valkoisella nauhalla, ja valitsemani numero oli mustassa nauhassa. Mikä on todennäköisyys, että arvauksesi osuu mustalle kaistaleelle? Sen on oltava , koska se on se osuus valkoisesta nauhasta, joka on katettu. Mutta jotta arvauksesi vastaisi minun lukuani , sen on laskeuduttava mustaan liuskaan, joten todennäköisyytesi arvaamisesta ei voi olla suurempi kuin todennäköisyys arvata luku mustalle liuskalle! Siksi .

sinun pitäisi nyt olla vakuuttunut siitä, että tällä tapahtumalla todellakin on nollatodennäköisyys, mutta se on silti totta. Ilmiö johtuu seuraavasta geometrisesta faktasta: on mahdollista, että on olemassa ei-tyhjä joukko, jonka ”tilavuus”on nolla. Termi ” tilavuus ”riippuu asiayhteydestä; kun kyseessä on pisteen intervalli,” tilavuus ” on pituus. Intervallilla mitatun tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin sen pituus, ja yhdellä intervallin pisteellä on nollapituus, mutta se on silti intervallin ei-tyhjä osajoukko! Todennäköisyys on periaatteessa ”tilavuuden” mitta, jossa koko avaruuden ”tilavuus” on yhtä suuri kuin 1. Määrittelemällä todennäköisyys tällä tavalla, voimme todistaa kaikenlaisia siisti tosiasiat käyttämällä jotain kutsutaan mittateoria.

kerrataksesi tästä viestistä olisi pitänyt oppia seuraavaa:

• todennäköisyys valita satunnaisesti tietty luku väliltä on nolla
• tapahtumat, joilla on nolla todennäköisyys ovat edelleen mahdollisia