(s. Milano, Italia, luultavasti 1598; k.Bologna, Italia, 30. marraskuuta 1647). matematiikka.

Cavalierin syntymäaika on epävarma; edellä mainittu dale on Cavalierin opetuslapsi ja elämäkerran kirjoittaja Urbano D ’ Aviso. Nimi Bonaventura ei ollut hänen kastenimensä vaan hänen isänsä. Se on nimi, jonka matemaatikko omaksui, kun hän pikkupoikana tuli Jesuati – uskontokuntaan, Pyhän Augustinuksen säännön kannattajiin. Cavalieri sai vuonna pieniä tilauksia Milanossa vuonna 1615 ja vuonna 1616 siirretty Jesuati luostari Pisassa, jossa hän oli onni tavata Benediktiini munkki Benedetto Castelli, jotka olivat opiskelleet Galileo Padovassa ja oli tuolloin luennoitsijana matematiikan Pisa. Hänen kauttaan Cavalieri aloitettiin osaksi tutkimuksen geometria. Hän omaksui nopeasti Eukleideen Arkhimedeen klassiset teokset. Apollonios, ja Pappus, osoittaa niin poikkeuksellisen soveltuvuus, että hän joskus korvata hänen opettaja yliopistossa Pisan. Castelli esitteli hänet Galileolle, jonka opetuslapsena hän piti aina itseään. Hän kirjoitti Galileo ainakin 112 kirjeet, jotka sisältyvät national edition, Opere di Galileo; vain kaksi Galileo n kirjeitä Cavalieri on tullut alas meille, kuitenkin.

vuonna 1620 Cavalieri palasi Roomaan esimiestensä määräyksestä, ja vuonna 1621 hänet vihittiin diakoniksi kardinaali Federigo Borromeolle, joka piti fra’ Bonaventuraa suuressa arvossa ja keskusteli mielellään hänen kanssaan matematiikasta; kardinaali kirjoitti myöhemmin kirjeen, jossa hän kiitti Galileita. Cavalieri oli tuskin kaksikymmentäyksi, kun hän opetti teologiaa San Girolamon luostarissa Milanossa, herättäen huomiota syvällisellä tietämyksellään aiheesta.

Milanon-kaudellaan (1620-1623) Cavalieri kehitti ensimmäiset ajatuksensa indivisibles-metodista, joka oli hänen merkittävä panoksensa matematiikkaan. Vuosina 1623-1626 hän oli Lodin Pietarinkirkon priori. Myöhemmin hän oli Roomassa Monsignore Ciampolin vieraana, jolle hän myöhemmin omisti geometriansa. Vuodesta 1626-16291 hän oli ennen luostarin Jesuati, Parma, toivoen turhaan on nimittänyt lehtori matematiikan yliopistossa. Syksyllä 1626 ollessaan matkalla Parmasta Milanoon hän sairastui kihtiin, josta hän oli kärsinyt lapsesta asti ja jonka oli määrä vaivata häntä elämänsä loppuun asti. Tämä sairaus piti hänet Milanossa useita kuukausia. 16 päivänä joulukuuta 1627 hän ilmoitti Galileo ja kardinaali Borromeo, että hän oli suorittanut hänen Geometria. Vuonna 1628, oppiminen, että virkaan luennoitsijana Bolognassa oli tullut vapautunut kuoleman kautta tähtitieteilijä G. A. Magini, hän kirjoitti Galileo apua turvaamaan nimittämistä. Galileo, vuonna 1629, kirjoitti Cesare Marsili, herrasmies Bologna ja jäsen, Accademia dei Lincei, jotka oli toimeksiannosta löytää Uusi lehtori matematiikassa. Kirjeessään Galilei sanoi Cavalierista: ”Arkhimedeen jälkeen vain harvat, jos ketkään, ovat syventyneet yhtä pitkälle ja yhtä syvälle geometriaan.”Tukenaan hakemukselleen Bolognan kannalle Cavalieri lähetti Marsilille hänen geometrian käsikirjoituksensa ja pienen tutkielman kartioleikkauksista ja niiden sovelluksista Optiikassa. Galilein todistus, kuten Marsili kirjoitti hänelle. Induced ”Gentlemen of the Regiment” antaa ensimmäisen johdolla matematiikan Cavalieri, jotka pitivät sitä jatkuvasti vuodesta 1629 kuolemaansa.

samaan aikaan hänet nimitettiin Bolognassa oman järjestyksensä luostarin prioriksi, tarkemmin sanottuna Santa Maria della Mascarellan kirkkoon, mikä mahdollisti hänelle esteettömän sekä matematiikan että yliopisto-opetuksen harjoittamisen. Aikana, jolloin Cavalieri opettanut Bologna, hän julkaisi yksitoista kirjoja, että kaupunki, mukaan lukien Geometria (1635).

Cavalierin teoria, sellaisena kuin se on kehitetty tässä teoksessa ja muissa myöhemmin julkaistuissa teoksissa, liittyy infinitesimaaleja koskevaan tutkimukseen, joka johtuu herätetystä kiinnostuksesta Arkhimedeen teoksiin, jotka renessanssin aikana käännettiin kreikasta latinaksi kommentaareineen. Käännökset Tartaglia, Maurolico, ja Commandino on mainittu, koska ne toimivat lähtökohtana uuden matemaattisen kehityksen.

Arkhimedeen ainoat seitsemästoista-luvun matemaatikkojen tuntemat kirjoitukset olivat ankaraan sammumismenetelmään perustuvia kirjoituksia, joilla muinaiset matemaatikot käsittelivät infinitesimaalisia kysymyksiä turvautumatta äärettömään tai varsinaiseen infinitesimaaliin. Kuitenkin, suuri matemaatikot, seventeeth century olivat niin perusteellisesti läpäisty kanssa henki Arkhimedes, että ymmärtää, että sen lisäksi, että ”menetelmä sammumisen” antiikin geometricians on tuntenut helpommin hallittavissa ja tehokas menetelmä tutkimukseen. Tästä Torricelli kirjoitti:

en uskaltaisi väittää, että tämä jakamattomien geometria on itse asiassa uusi löytö. Minun pitäisi pikemminkin uskoa, että antiikin geometricians käyttää itseään tämän menetelmän, jotta voidaan löytää vaikeampaa teoreemojen, vaikka niiden esittelyä ne ovat ehkä mieluummin toisella tavalla, joko salata salaisuus niiden taidetta tai varaa mitään tilaisuutta kritiikkiä invidious parjaajia. Mikä se oli, se on varmaa, että tämä geometria edustaa ihmeellinen talouden työvoiman mielenosoituksia ja vahvistetaan lukemattomia, lähes käsittämätön, teoreemojen avulla lyhyt, suora, ja myöntävästi mielenosoituksia, jotka opin antiikin oli kykenemätön. Geometria indivisibles oli todellakin, matemaattinen briar bush, niin sanottu royal road, ja yksi, että Cavalieri ensin avattu ja säädetyt yleisölle kuin laite ihmeellinen keksintö .

vuonna 1906 J. L. Heiberg löysi Konstantinopolin kirjastoon kuuluvasta palimpsestista Arkhimedeen Eratostheneelle lähettämän kirjeen muodossa tekemän pienen teoksen, jossa selitettiin menetelmä, jonka avulla voidaan määrittää as, volyymit ja painopisteet. Tämä menetelmä, joka puolestaan liittyi menettelyihin Demokritos, Abdera, pidetään plane pinta koostuu soinnut rinnakkain tietyn suoran, ja kiintoaineiden kuin koostuu plane osien rinnakkain toisiaan. Lisäksi Arkhimedeen mukaan sovellettiin statiikan periaatteita, joissa raskaina pidetyt luvut punnittiin ihanneasteikossa. ”Minä uskon”, Arkhimedes sanoi,” että minun aikani ja tulevaisuuden ihmiset, ja tämän menetelmän kautta, saattavat löytää vielä muita teoreemoja, jotka eivät ole vielä tulleet mieleeni ”(Rufini , II” Metodo ”di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale Nell’ antichità, S. 103). Haaste, että Arkhimedes laajennettu ei tarttunut, kuten tiedämme, hänen contemporaries ja putosi unohduksiin monta vuosisataa.

jakamattomuuden käsite esiintyy joskus ohimennen ihmisajattelun historiassa: esimerkiksi yhdennellätoista vuosisadalla eläneen heprealaisen filosofin ja matemaatikon Abraham bar hiyyan (Savasorda) katkelmassa, keskiajan skolastikkojen satunnaisissa-enemmän filosofisissa kuin matemaattisissa—spekulaatioissa, Leonardo da Vincin katkelmassa, Keplerin Nova stereometria doliorumissa (Linz, 1615). By a conception different from Cavalieri ’ s, indivisibles are treated by Galileo in his Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

Cavalieriissa päädytään indivisibles-menetelmän rationaaliseen systematisointiin, menetelmään, jota ei ainoastaan pidetä hyödyllisenä uusien tulosten etsinnässä, vaan myös, toisin kuin Arkhimedes oletti, pidetään pätevänä, kun sitä on asianmukaisesti muutettu, teoreemojen osoittamiseksi.

tässä vaiheessa herää ensisijainen kysymys: minkä merkityksen Cavalieri antoi jakamattomilleen? Tämä matemaatikko, vaikka hän tuntee täydellisesti hienovaraiset filosofiset kysymykset, jotka liittyvät ongelmaan mahdollisuudesta muodostaa jatkuvia magnitudeja jakamattomilla, pyrkii luomaan kohteen hypoteeseista riippumattoman menetelmän, joka olisi pätevä riippumatta siitä, mikä käsite on muodostettu tässä suhteessa. Vaikka Galilei väitti, että” jatkuva korkein ja perimmäinen, vaikka sen pääkomponentit ovatkin, ovat äärettömiä jakamattomia osia ” (Opere, VII, 745-750),

Cavalieri ei uskaltanut väittää, että jatkuva koostuu jakamattomista elementeistä, joista hän ei antanut täsmällistä määritelmää eikä selventänyt, olivatko ne aktuaalisia vai potentiaalisia infinitesimaaleja. On myös todennäköistä, että Cavalieri n käsitys hänen indivisibles koki muutoksen ja että nämä syntyivät todellinen infinitesimals (kuten Galileo) ja kasvoi tulla potentiaalinen infinitesimals (KS. Cellini). On vielä korostettava, mukaan L. Lombardo Radice, että Cavalieri näkemys indivisibles on antanut meille syvemmän käsityksen asetetaan: se ei ole välttämätöntä, että elementit joukko on osoitettu tai luovutettavissa, pikemminkin se riittää, että tarkka kriteeri on olemassa sen määrittämiseksi, kuuluuko osa joukko.

täysin erillään kaikista filosofisista pohdinnoista jakamattomien alueiden luonteesta, Cavalierin tekemät pinta-alan ja tilavuuksien määritykset perustuvat hänen nimeään kantavaan periaatteeseen, joka voidaan muotoilla seuraavasti:

Jos kaksi yhdensuuntaisten suorien joukon leikkaamaa tasolukua leikkaavat toisensa, molemmilla näillä suorilla on yhtäläiset soinnut, kaksi lukua ovat ekvivalentteja; jos joukon yhdelle suoralle kuuluvilla soinnuilla on vakiosuhde, saadaan sama suhde näiden kahden luvun välille.

vastaavasti avaruudessa: jos kahden keskenään yhdensuuntaisten tasojen avulla saadut kiintoaineen osuudet ovat ekvivalentteja kaksi kertaa kaksi, ovat kaksi kiintoainetta ekvivalentteja; jos kaksi osaa saadaan tietyllä tasolla on vakio suhde, kun taso on vaihteleva, kaksi kiintoaineiden on suhde, joka on yhtä suuri kuin kaksi niiden osien saatu yhdellä samalla tasolla.

nykyaikaisen infinitesimaalianalyysin näkökulmasta Cavalieri-periaate vahvistaa asiasisällöltään, että kaksi integraalia ovat yhtäsuuret, jos integraalit ovat yhtäsuuret ja integraatiorajat ovat myös yhtäsuuret. Lisäksi integraation merkistä voidaan suorittaa vakio, joka esiintyy kertojana integraatiossa aiheuttamatta integraalin arvon vaihtelua.

integraalin käsite ei kuitenkaan A. Cauchyn määritelmän mukaan ollut juuri Cavalierin matemaattisessa ajattelussa, vaan sitä tutki P. Mengoli, hänen opetuslapsensa ja seuraajansa Bolognassa. Cavalieri pyrki monin tavoin osoittamaan periaatteensa, ja ne löytyvät hänen geometriansa kirjasta VII.

Tarkastellaanpa tilannetta tasogeometriassa, jossa lausutun periaatteen hypoteeseissa annettujen lukujen vastaavat soinnut ovat pareittain yhtä suuret (KS. 1). Tämän jälkeen Cavalieri esittää näiden samansuuntaisten suorien suuntaisen käännöksen kautta kaksi yhtä suurta sointua. Ne luvun osat, jotka näin ovat päällekkäin, ovat siis ekvivalentteja tai pikemminkin yhtäsuureita, koska ne ovat kongruentteja. Jäljelle jääneet osat eli jäännökset, joita ei ole päällekkäin, täyttävät edelleen ne ehdot suhteessa sointuihin, jotka täyttyivät alkuperäisessä kuvassa. Näin voidaan edetä perättäisissä superpositioissa käännöksen avulla, ja perättäisten operaatioiden tietyssä vaiheessa on mahdotonta, että yksi luku olisi käytetty loppuun, ellei toinenkin. Cavalieri päättelee

, että annetut luvut ovat siis ekvivalentteja. Väite on nerokas ja intuitiivinen, mutta siinä on heikko kohta, koska ei ole osoitettu,että residuaalit, kuvatuissa operaatioissa, loppuvat ;eikä ole osoitettu, että summa tällaisia jäännöksiä voidaan tehdä alle tietyn pinnan. Vastatessaan Guldinin esittämiin väitteisiin Cavalieri kuitenkin väittää,että toisen luvun jäännösten poistaminen voidaan suorittaa äärettömillä operaatioilla. Cavalieri-periaatteen toinen demonstraatio

on tehty muinaisten sammumismenetelmällä, ja se on tarkka luvuille, jotka täyttävät tietyt ehdot: toisin sanoen demonstraatio on voimassa luvuille, jotka periaatteen hypoteesin täyttämisen lisäksi kuuluvat johonkin seuraavista luokista:

(1) yleistetyt parallelogrammit eli luvut, jotka sisältyvät suorien yhdensuuntaisten janojen p ja l väliin, jotka leikkaavat vakiopituisia sointuja suorilla, jotka kulkevat samaan suuntaan kuin p ja l (KS. 2).

(2)alteram partem deficientes-teoksen figuurit (”toisessa osassa vajavaiset”) sisältyvät kahden yhdensuuntaisen viivan p ja l väliin ja lisäksi p: n suuntaisen poikittaisviivan sieppaamat soinnut pienenevät, kun poikittaisviivan etäisyys suorasta p kasvaa (KS. 3).

(3) luvut, jotka voidaan jakaa äärelliseen määrään osia, jotka kuuluvat jompaankumpaan edellä mainituista kahdesta luokasta (KS. 4).

huolimatta mainituista mielenosoituksista ja indivisibles-menetelmän onnistumisesta, aikalaiset matemaatikot, jotka olivat enemmän kiinni klassisen matematiikan traditioissa, ryhtyivät Cavalierin kanssa polemiikkiin tietämättä, että Arkhimedes itse oli jo käyttänyt samanlaisia menetelmiä kuin ne, joita he vastustivat. Tällainen on tapaus Guldin, joka oli mielenkiintoinen keskustelu Cavalieri, joka on tiivistää harjoituksen III, Exercitationes geomeiricae sukupuoli.

monet uupumusmenetelmällä työläästi saadut tulokset saatiin yksinkertaisesti ja nopeasti Cavalieri-periaatteen avulla: esimerkiksi ellipsin pinta-ala ja pallon tilavuus. Menetelmillään Cavalieri oli löytänyt tuloksen, joka nykyisissä symboleissa ilmaistaisiin seuraavasti:

mille tahansa luonnolliselle luvulle n (n = 1,2,3,…). Cavalieri ei tiennyt, että tämä tulos, joka esiintyy Centuria di varii problemissa (1639), oli löydetty jo vuonna 1636 Fermat ’ n ja Robervalin toimesta, jotka olivat saapuneet siihen muilla keinoin.

indivisibles-menetelmällä ja oppilaansa G. A. Roccan perustaman lemman avulla Cavalieri todisti guldinin lauseen pinta-alasta ja pyörivien kiintoaineiden tilavuudesta. Tämä lause, joka näkyy myös tietyissä painoksissa Pappus ” teoksia, vaikka pidetään interpolointi, oli enunciated, Centrobaryca, Guldin, jotka osoittivat sen oikeellisuuden tietyissä erityistapauksissa, ilman kuitenkin, että yleistä näyttöä.

merkittävimmän edistyksen äärettömän pienen analyysin alalla Cavalierin esittämien linjojen mukaisesti teki Evangelista Torricelli. Myös John Wallis käyttää teoksessaan ”Arithmetica infinitorum” (1655) jakamattomuutta.

erityisen kiinnostava on Pascalin Letires de Dettonville-teoksessaan (1658) esittämä mielipide Cavalieri-menetelmästä: ”kaikki, mikä osoitetaan jakamattomien todellisten sääntöjen avulla, tulee myös ja välttämättä osoitetuksi muinaisten tavalla. Tästä syystä en epäröi käyttää seuraavassa jakamattomien kielten kieltä.”Vaikka seuraavina vuosina alalla analyysin äärettömän pieni, uusia ideoita korvasi vanhan, indivisibles, menetelmät Cavalieri ja Torricelli käytti syvällinen vaikutus, kuten Leibniz myönsi kirjeessä G. Manfredi: ”… vuonna sublimest geometrian, aloitteentekijät ja promotors jotka suorittivat yeoman tehtävä, että alalla olivat Cavalieri ja Torricelli; myöhemmin, toiset edistyivät vielä pidemmälle hyödyntämällä itse työtä Cavalieri ja Torricelli.”Lisäksi, vaikka Newton omaksui Principia – teoksessaan kriittisen asenteen jakamattomuuteen, hän kuitenkin käytti Tractatus de quadratura curvarum-teoksessaan termiä fluens ilmaisemaan muuttuvaa magnitudia-termiä, jota Cavalieri aiemmin käytti Exerciiationes geomeiricae-sukupuolessaan.

geometrian kirjan I propositiosta I löydämme geometrisessa muodossa keskiarvon lauseen, joka tunnetaan myös nimellä Cavalierin lause. Lause esitetään seuraavan ongelman ratkaisuna: Koska tasokäyrä, joka on varustettu tangentilla jokaisessa pisteessä ja kulkee kahden pisteen A ja B kautta, löytää suoran, joka on yhdensuuntainen AB: n kanssa ja tangentti käyrälle jossain pisteessä A: n ja B: n välillä.analyyttisesti meillä on: jos reaalimuuttujan X reaalifunktio f(x) on jatkuva intervallilla (A, b) ja jokaisessa tämän välin pisteessä se on differentiable, ainakin yksi piste on olemassa siten, että a<<B, niin että

logaritmit otettiin käyttöön matematiikassa Napierin työssä vuonna 1614. Italiassa tällaiset arvokkaat apulaitteet, numeerinen laskenta otettiin käyttöön Cavalieri, yhdessä huomionarvoista kehitystä trigonometrian ja sovellusten tähtitiede. Tässä yhteydessä voisimme mainita Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639), ja Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). Directorium, pratica, ja Trigonometria sisältävät lisäksi erinomainen logarithmictrig-onometric taulukoita.

Centuriassa Cavalieri käsitteli muun muassa lieriömäisten ja kartiomaisten pintojen yleistä määritelmää, kaavoja tynnyrin tilavuuden ja teräväkärkisten kaarien holvin kapasiteetin määrittämiseksi sekä keinoja saada kahden luvun logaritmeista summan tai erotuksen logaritmi, mikä on myöhemmin eri matemaatikkojen omaksuma ongelma. Gauss muun muassa. Lo specchio ustorio (”Palava lasi”) sisältää joitakin mielenkiintoisia historiallisia tietoja teorian conics keskuudessa kreikkalaiset; Cavalierin mukaan alkuperä on gnomonisissa vaatimuksissa. Tässä työssä löydämme teorian conics kanssa sovelluksia optiikka ja akustiikka. Edellisten joukossa huomaamme ajatuksen heijastavasta teleskoopista, jonka—Piolan ja Favaron mukaan-Cavalieri oli ensimmäinen keksijä, ennen Gregorya ja Newtonia; epätasaisen pallomaisen linssin polttovälin määrittäminen ja Arkhimedeen palavan lasin selitykset akustiikan alalla Cavalieri yritti arkeologista rekonstruktiota Vitruviuksen mainitsemista kaikuvista maljakoista, joita käytettiin teattereissa äänen vahvistamiseen.

tässä teoksessa esiintyy erilaisia pointwise-konstruktioita conieista. Mielenkiintoisempaa on edelleen konstruktioita annetaan Geometria ja Exercitationes, joka on saatu avulla projective lyijykyniä, jotka antedated työn Steiner.

herkkä kysymys liittyy astrologiseen toimintaan, jota Cavalieri virassaan harjoitti, mutta kuten D ’ Aviso huomautti, hän vastusti pratica astrologicansa lopussa tähtien asemaan ja valtioihin perustuvia ennustuksia.

Lähdeluettelo

I. alkuperäisteokset. Cavalierin teoksia ovat Directorium generate uranometricum (Bologna, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635; 2., 1653). Kääntänyt venäjäksi S. J. Lure (Moskova-Leningrad, 1940). Käännetty italiaksi, B Luc Lucio Lombardo-Radice, kuten geometria Indivisibles Bonaventura Cavalieri, ith Compendium of the rules of triangles with their demonstrations (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bologna, 1639); Prima logarithmic table. Toinen logaritminen taulukko. Selitykset teoksessa ja merkittävimpien Virheiden korjaukset (Bologna, n. d.); lisäys uudesta astrologisesta käytännöstä (Bologna. 1640); Triganometria plana, ET sphaerica, linearis et logarithmica (Bologna, 1643); Translitteratio on the perpetual planetary wheel (Bologna, 1646); and geometrir

II. Secondary Lit See U. d ’ aviso, ”life of P. Buonaventura Cavalieri”, in translitteratio of the Sphere (Rooma 1682); G. Piola, praise of Bonaventura Cavalieri (Milano, 1844); A. Bonaventura Cavalieri in the study of Bologna (Bologna, 1885); E. Bortolotti, ”the progress of the infinitesimal method in the geometric work of Torricelli”, in periodical of matermatiche, 4th ser., 8 (1928), 19–59; ”The discovery and later generalizations of a fundamental theorem of Integral Calculus”, teoksessa Archivio di Storia della scienza (1924), s.205-227; F. Conforto,” the scientific work of Bonaventura Cavalieri and Evangelista Torricelli”, teoksessa Proceedings of the Pisa conference (23-27 Sept. 1948), s.35-56; A. Masotti. ”Memoration of Bonaventura Cavalieri”, teoksessa reports Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, part generable and official acts, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, the origins of infinitesimal calculus in the modern era (Milano, 1962), s.43-53; G. Cellini. ”The Indivisibles in the mathematical and philosophical thought of Bonaventure Cavalieri”, Journal of mathematics, 4th ser., 44 (1966), 1-21; ”hänen Ritariesityksensä., periaate”, sama., s. 85-105.

Ettore Carruccio