Cantorin lause, joukko-oppi, jonka mukaan joukon kardinaalisuus (numeerinen koko) on ehdottomasti pienempi kuin sen potenssijoukon kardinaalisuus eli osajoukkojen kokoelma. Symboleissa Äärellinen joukko S, jossa on n-alkioita, sisältää 2n osajoukkoja siten, että joukon S kardinaalisuus on n ja sen potenssijoukko P(S) on 2n. Vaikka tämä on selvää, finite asetetaan, kukaan ei ollut vakavasti harkinnut tapauksessa ääretön asetetaan ennen Saksa matemaatikko Georg Cantor—jotka on yleisesti tunnustettu perustaja moderni joukko-alkoi työskennellä tällä alalla loppupuolella, 19 th century.

vuoden 1891 todistus Cantorin lauseesta äärettömille joukoille perustui hänen niin sanotun diagonalisaatioargumenttinsa versioon, jota hän oli aiemmin käyttänyt todistaakseen, että rationaalilukujen kardinaalisuus on sama kuin kokonaislukujen kardinaalisuus asettamalla ne yksi yhteen-kirjeenvaihtoon. Ajatus, että, jos kyseessä on ääretön asetetaan, koko joukko voisi olla sama kuin yksi sen asianmukainen subsets ei ollut liian yllättävää, kuten ennen Cantor lähes kaikki olettivat, että on olemassa vain yksi koko äärettömään. Cantorin todistus siitä, että jotkut äärettömät joukot ovat suurempia kuin toiset—esimerkiksi reaaliluvut ovat suurempia kuin kokonaisluvut—oli kuitenkin yllättävä, ja se kohtasi aluksi suurta vastustusta joiltakin matemaatikoilta, erityisesti saksalaiselta Leopold Kroneckerilta. Lisäksi Cantorin todistus siitä, että minkä tahansa joukon potenssijoukko, mukaan lukien mikä tahansa ääretön joukko, on aina suurempi kuin alkuperäinen joukko, johti hänet luomaan jatkuvasti kasvavan kardinaalilukujen hierarkian, ℵ0, ℵ1, ℵ2…, joka tunnetaan transfiniittilukuina. Cantor esitti, että ensimmäisen transfiniittiluvun ℵ0 eli kokonaislukujen kardinaalisuuden ja reaalilukujen jatkumon (c) eli kardinaalisuuden välillä ei ole transfiniittilukua, toisin sanoen c = ℵ1. Tämä tunnetaan nykyään kontinuumihypoteesina, ja sen on osoitettu olevan vakiojoukko-teoriassa undecidable proposition.