Teorema de Cantor, en teoría de conjuntos, el teorema de que la cardinalidad (tamaño numérico) de un conjunto es estrictamente menor que la cardinalidad de su conjunto de potencias, o colección de subconjuntos. En símbolos, un conjunto finito S con n elementos contiene subconjuntos 2n, de modo que la cardinalidad del conjunto S es n y su conjunto de potencia P(S) es 2n. Si bien esto es claro para los conjuntos finitos, nadie había considerado seriamente el caso de los conjuntos infinitos antes de que el matemático alemán Georg Cantor, reconocido universalmente como el fundador de la teoría de conjuntos moderna, comenzara a trabajar en esta área a finales del siglo XIX.
La prueba de 1891 del teorema de Cantor para conjuntos infinitos se basaba en una versión de su llamado argumento de diagonalización, que había utilizado anteriormente para demostrar que la cardinalidad de los números racionales es la misma que la cardinalidad de los enteros poniéndolos en una correspondencia uno a uno. La noción de que, en el caso de conjuntos infinitos, el tamaño de un conjunto podría ser el mismo que uno de sus subconjuntos propios no era demasiado sorprendente, ya que antes de Cantor casi todos asumían que solo había un tamaño para el infinito. Sin embargo, la prueba de Cantor de que algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros, por ejemplo, los números reales son más grandes que los enteros, fue sorprendente, e inicialmente se encontró con una gran resistencia de algunos matemáticos, particularmente el alemán Leopold Kronecker. Además, la prueba de Cantor de que el conjunto de poder de cualquier conjunto, incluyendo cualquier conjunto infinito, es siempre mayor que el conjunto original lo llevó a crear una jerarquía cada vez mayor de números cardinales ,00 ,11 ,22 known, conocidos como números transfinitos. Cantor propuso que no hay número transfinito entre el primer número transfinito00, o la cardinalidad de los enteros, y el continuo (c), o la cardinalidad de los números reales; en otras palabras, c = ℵ1. Esto se conoce ahora como la hipótesis del continuo, y se ha demostrado que es una proposición indecidible en la teoría de conjuntos estándar.
