Considere el siguiente juego: escribo un número real aleatorio entre 0 y 1, y pídale que adivine. ¿Cuál es la probabilidad de que lo adivines correctamente? La respuesta es cero. Tal vez te preguntes: «¡Pero es posible que adivine la respuesta correcta! ¡Eso significa que la probabilidad tiene que ser más de cero!»y estaría justificado preguntarse, pero estaría equivocado. Es cierto que los eventos que son imposibles tienen cero probabilidad, pero lo contrario no es cierto en general. En el resto de esta publicación, mostramos por qué la respuesta anterior fue de hecho cero, y por qué esto no necesita causar un daño irreparable a su visión del mundo actual.

Comencemos por mostrar que la probabilidad de que adivines mi número correcto es cero. Sea la probabilidad en cuestión. La idea es mostrar que para cualquier número real positivo . Sabemos que , y si es más pequeño que cualquier número positivo, ¡entonces tiene que ser cero! El argumento es el siguiente. Llamemos al número que elegí aleatoriamente . Imagine que el intervalo está pintado de blanco. Elija cualquier número real positivo . A continuación, hay un sub-intervalo de longitud en el intervalo contiene . Imagine que este sub-intervalo está pintado de negro, por lo que ahora tenemos una tira negra de longitud en la tira blanca original, y el número que elegí estaba en la tira negra. ¿Cuál es la probabilidad de que su conjetura aterrice en la franja negra? Tiene que ser , ya que esa es la proporción de la franja blanca que se cubre. Pero para que su conjetura sea igual a mi número , tiene que aterrizar en la tira negra, por lo que su probabilidad de adivinar no puede ser mayor que la probabilidad de adivinar un número en la tira negra! Por lo tanto .

Ahora deberías estar convencido de que este evento de hecho tiene cero probabilidad de suceder, pero sigue siendo cierto. Este fenómeno se debe al siguiente hecho geométrico: es posible tener un conjunto no vacío con cero «volumen». El término «volumen» depende del contexto; en el caso del punto en el intervalo, «volumen» es longitud. La probabilidad de un evento medido en el intervalo es igual a su longitud, y un solo punto en el intervalo tiene una longitud cero, ¡sin embargo, sigue siendo un subconjunto no vacío del intervalo! La probabilidad es básicamente una medida de» volumen «donde todo el espacio tiene «volumen» igual a 1. Al definir la probabilidad de esta manera, podemos probar todo tipo de hechos nítidos usando algo llamado teoría de la medida.

Para recapitular, deberías haber aprendido lo siguiente de este post:

• La probabilidad de elegir aleatoriamente un número específico en el intervalo es igual a cero
• Los eventos que tienen cero probabilidad siguen siendo posibles